ICNA - Epreuve optionnelle 2002 Classe Prepa PC ENAC

Fabrice Colin

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2002. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2002
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• Publié le: 13 juillet 2008
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Extrait

ÉNONCÉ

Questions faisant partie d'un même exercice.

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12] [13,14,15,16,17,18,19] [26,27,28,29,30,31,32] [33,34,35,36,37,38,39,40]

 [20,21,22,23,24,25]

1. Un solénoïdeS, d'axe vertical Oz, est constitué de N spires jointives coaxiales, de même rayon a, réparties sur une longueurAdésigne respectivement par R, L et m la. On résis nce re et la R Les t y a s n tè ce m , e l  'i S dessam sortresà p  r u o n p n d  n M c u u d a e t psneusR,xel'udontesenediméttxértifsse e.inbobale , y e r dont la raideur est k et dont la masse est négligeable, est astreint à sa déplacer O M  x suivant son axe Oz dans une région de l'espace où règne un champ magnétique i radialB=Be r B constante. On désigne par f le coefficient de norme  de g e(t) S proportionnalité à la vitesse de la force de frottement visqueux à laquelle le système est également soumis. Le circuit est alimenté par un générateur de force électromotrice e ( t) =E 0 cos(ωt ) , d'amplitude E 0  et de pulsationω. On note i la valeur z instantanée du courant qui traverse la bobine. Exprimer la résultanteF L forces de Laplace qui s'exerce sur la bobine.des a)F L =2πaNiBe z b)F L =BiAe z c)F L BiNAe z  d)F L πiBe z 

2. On désigne par z le déplacement de la bobine par rapport à la position d'équilibre qu'elle prend lorsqu'elle n'est parcourue par aucun courant. Écrire l'équation différentielle qui régit le mouvement du solénoïde lorsqu'il est parcouru par un courant d'intensité i. a)  m d 2 2 z + f dz +kz= d iB d g 2 t z + td dz + =BiNA dt dt A+mb) m 2 f kz z c)m d  d 2 t 2 z +f d dt +kz=2πaNiBd) d  d m 2 t 2 z + dz dt f+kz= πNiB+mg 3. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit le courant i dans la bobine quand le circuit se déplacedanslechampmagnétiqueaveclavitesse d dt z . d a) d d t i L+Ri+ d d t z aNB=E 0 cos(ωt ) b) d L t i +Ri+2π t zd d NBa=E 0 cos(ωt )  c)L i td d +Ri+ πiBNa z td d =E 0 cos(ωt ) d) i L dt d +Ri+iAB t dz d =E 0 cos(ωt ) 

4. I l'amplitude complexe du On suppose que le régime forcé sinusoïdal est établi et l'on désigne par courant dans la bobine. Montrer que l'on peut écrire : E 0  =  R+ α (ω) +jωL  () β+ω  I . Exprimer () αω. ( )  ( 2πN 2 a 2 Bω ) 2 22 a)α ω =f k−mω +fω

b) =α (ω)f

( NaBω ) 2 2  k−mω 2 +f 2 ω 2

AC

72

c)α (ω) =f

( NABω ) 2 2 2  2  k−mω +fω 2

5. Exprimer β (ω) . ) ( NaB ) 2 k−mω 2 a) =β (ω  2 2 2 k−mω +fω 2

( 2πNaB ) 2 k−mω 2 β ω =c) ( ) k−mω 2 2 +f 2 ω 2

d) =α (ω)f

2 ( πNaBω ) − ω 2 2 + 2 ω 2  k m f

b) =  ( β (ω) NAB ) 2 2 k 2 −m 2 ω 2 2  k−mω +fω d)= π () ( NAB ) 2 k−mω 2 βω k−mω 2 2 +f 2 ω 2

ICNA - SESSION 2002

6. On désigne parω 1  la valeur deω pour laquelle on aωα 1 ) = ω 1 βω 1 )  par etω 2  la valeur deω pour laquelle on aα (ω 2 ) = −ω 2 β (ω 2 ) . Donner l'expression deω 2 − ω 1 . f ω − ω =ω − ω =a) 2 1 m b)ω 2 −ω 1 = k m c)ω 2 − ω 1 = k m f d) 2 1 kf m

' α A'

F

B

A

O

F'

C

7. lentille mince convergente UneL de distance focale image f '=20cm est utilisée comme une loupe par un observateur dont la vision est normale. On désigne par a= distance qui sépare le foyer laF ' C B' image de la lentille du centre optique C de l'il. On appelle d= distance de vision lorsqueA ' C la l'observateur utilise la loupe (figure ci-contre). Pour cet α observateur, d m <d< ∞avec d m = 20 cm. Lorsque l'observateur regarde l'objet AB à travers la loupe, il voit son image A'B' sous l'angleα'. Lorsqu'il enlève la loupe sans changer la distance de l'objet à son il, il voit l'objet AB sous l'angleα. Exprimer la quantité G t = A'B' AB enofcnitnode,daetf'. a) G t = d+a b) G t = d f −  ' a c)  G t = f d+2 '  a d)  G t = 'f d +a 2f '

L

' 8. définit le grossissement G de la loupe par le rapport On G = α . On supposera les angles α

suffisamment petits pour que l'on puisse confondre le sinus et la tangente d'un angle avec sa valeur exprimée en radian. Exprimer G en fonction de a, d et f ' . a) f ' ( d−a 2 ) −f ' 2 b) a ( d−a) +f ' 2 =G= G d  f' 2  ( f '+a ) ( d+a ) 2f '+a d−a−f ' )  df ' d) G = )  df ' ) 2 c G=

9. Le centre optique de l'il est placé au foyer image de la loupe. Quelle est la valeur de d donnant un grossissement maximum ? a)d = 53 cmb)d = 20 cmc)d = 35 cmd)d =∞ 10. Que vaut alors ce grossissement G 1 ? a)G 1 = 2,0b)G 1 = 1,0c)G 1 = 5,1d)G 1 = 3,5 11. centre optique de l'il est placé à 2 cm du centre optique de la loupe et, suivant la position de Le l'objet, il accommode de l'infini jusqu'à sa distance minimale de vision distincte d m .

AC

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

73

Calculer la variation ∆G=G(∞ ) −G ( d m ) du grossissement. −1 a)∆G = 2b)∆G = 50.10 −2 c)∆G = 10 −2 d)∆G = 10 12. centre optique de l'oeil est place à 40 cm du centre optique de la loupe. Quelle est la valeur Le maximale G 2 du grossissement ? a)G 2 = 1,1b)G 2 = 1,5c)G 2 = 3,0d)G 2 = 2,5

13. On considère l'écoulement incompressible tourbillonnaire en régime stationnaire d'un fluide parfait homogène, de masse volumiqueρ, soumis à l'action du champ z de pesanteurg= −ge z . Un point P du fluide est repéré dans le r s e u p r è l r e e   s Raprzy)(xO,r(seuqirdnilycséenndoorcosle méaedlhcetcetru.erveLi-cntcofiaregu θ,z) définies P z g ourbillonωrelié au champ des vitessesv fluide par la relation duω = 2 1 rot v a e z e y une valeur uniformeω = ωe z  en tout point situé à l'intérieur e x O d'un cylindre infini d'axe Oz et de rayon a et une valeur nulle r y partout ailleurs. θ Les considérations sur les propriétés de symétrie des vecteurs x polaires et axiaux permettent de conclure que : a)Le vecteurvest radial.b)Le vecteurvest orthoradial. c)v ne dépend que de r et z.d)v ne dépend que de r. 14. Déterminer le champ des vitesses en tout point P(r,z) correspondant à r < a. a)v=rωe θ b)v=rωe r c)v= −2rωe θ d)v= −2rωe r  15. Déterminer le champ des vitesses en tout en tout point P(r,z) correspondant à r > a. b)v=e θ c ω a) v= a 2 r ω r r 2 ω )v= r 2 2 ω e r d)  a 2 e  v=e θ  a a  r 16. Lapression en tout point de la surface libre du fluide est la pression atmosphérique p  0 . Le plan xOy du repèreR(Oxyz) est tangent à la surface libre du fluide qui se trouve à grande distance de l'axe Oz ( r∞→ ) . Déterminer le champ de pression dans le fluide pour r > a.  On rappelle que : ( v.grad ) v=grad   2 v 2   −  v∧rot v. )ωρ−=−ρ () 2    r a2 4    b) p ( r, z ) 0 2  2r 2 4  a zp r, p 0 gz 2 =p+ ρgzωρ+   a    2 4   c) p ( r, z) = ρgzρ−ω 2    a r 2    d) p ( r, z) =p 0 − ρgzω−ρ 2   a 2 4    2r

17.de pression dans le fluide pour r < a. le champ  Déterminer 2 2 a) p ( r, z) =p 0 + ρgz+ρω 2    2 a−r    b) p ( r, z) =p 0 − ρgzωρ− 2    2a 2 2 −r 2     a 2 r 2 c) p ( r, z) = ρgz+ωρ 2    2a 2 2 +r 2    d) p ( r, z) =p 0 + ρgzωρ− 2    2 −    

18. Exprimerfonction z(r) représentant la surface libre du liquide pour r < a. la ω 2 a) z= 2 ω g 2 r 2 −2a 2 b) z=2r 2 −a 2 c) z= − 2ω 2 r 2 +a 2 d) z ω = 2 2 2g g g

19.

Exprimer la fonction z(r) représentant la surface libre du liquide pour r > a.

2r 2 +a

2



AC

74

2 4 a) z= 2 ωr ga 2 

b)  4ω 2 2 r 4 z = − g a

3ω 2 a 3 = z c)  2g r

d) z

ICNA - SESSION 2002

ω 2 a 4 = − 2g r 2 

20. récipient à parois rigides et calorifugées contient deux gaz Un parfaits diatomiques séparés par une paroi intérieure adiabatique Paroi mobile pouvant se déplacer sans frottement ; les volumes occupés par chaque gaz A et B peuvent donc varier (figure ci-contre). I Initialement, les paramètres pour chacun des gaz sont : p i = 10 5 Pa, R 0 (A) (B) T i = 300 K et V i = 1A. Un générateur électrique fournit de l'énergie au gaz A par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique, de résistance R 0 = 10Ω, de capacité thermique négligeable, parcouru par un courant continu I = 1 A, pendant une durée t au bout de laquelle le volume du gaz A atteint la valeur V Af = 1,1A. L'étatfinaldecetteévolutionsupposéeréversibleestalorsdéfiniparlesvaleurs:V Af , V Bf , p f , T Af et T Bf . C On donne : constante des gaz parfaits R = 8,31 SI etγ = C p V = C où1, 4 p et C V sont respectivement les capacités thermiques molaires à pression et volume constants des gaz considérés. Calculer la pression finale p f dans chacun des compartiments. a) p f =0, 87.10 6 Pab) p f =1,16.10 5 Pac) p f =2, 92.10 5 Pad) p=7, 37.10 4 Pa f

21. Calculer la température finale T Bf du gaz dans le compartiment B. a)T Bf = 282 Kb)T Bf = 406 Kc)T Bf = 313 Kd)T Bf 387 K = 22. la température finale T Calculer Af du gaz dans le compartiment A. a)T Af = 383 Kb)T Af = 280 Kc)T Af = 418 Kd)T Af = 311 K 23. Calculerτ. a)τ= 17 sb)τ= 5 sc)τ= 12 sd)τ= 8 s 24. le travail W Calculer B reçu par le gaz du compartiment B. a)W B = 17 Jb)W B = 23 Jc)W B = 11 Jd)W B = -5 J 25. Calculer gaz dans le compartiment A. du la variation d'entropie a)∆S A =3, 72J.K −1 b)∆S A =0, 23J.K 1  c)∆S A =12, 45J.K 1 d)∆S A =337, 25J.K −1 

26.sont reliées par un fil élastique de raideur k masses ponctuelles m et M  Deux et de masse négligeable, dont la longueur à tension nulle estA. Les deux masses sont disposées sur une même verticale, la masse M reposant sur un supportS. A l'instant t = 0, la masse m est lancée vers le haut avec une vitesse initialev 0 =v 0 e x depuis une position initiale x 0 =A(figure ci-contre). On suppose dans un premier temps que v 0 est telle que la masse M ne décolle jamais du supportS. On poseω 2 =. k m L'équation horaire du mouvement de la masse m peut se mettre sous la forme : x=A cos(ωt+ ϕ) +B . Exprimer A et tanϕ.

a)  A=

c) A=

AC

2 2 g − v 0 et tanϕ = − 2 v 0 ω  ω 2 ω 2  g g 2 v 2 vω 0 0 = − ω 4 ω + 2 et tanϕ g

b)  A=

d) A=

g − v 0 et tanϕ = − v 0 ω  ω ω2g

2g v 0 g 2 +et tanϕ = ω ωv 0 ω

S

x

m

M

v 0

e x O

g

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

27. B. Exprimer a) B=A g 2 + ω

b) B=2A− g 2ω 2 

c) B=A+ 2 ω g 2 

d) B=A ω − g 2 

28. Calculer la vitessev 1 de la masse m quand elle repasse par l'ordonnée x =A. a)v 1 = −v 0 b)v 1 = −2v 0 c)v 1 = − 2 1 v 0 d)v 1 = − 2 3 v 0 

29. Calculer la vitessev 2 sur le support en x = 0.de la masse m quand elle arrive a) 2 = − 0 g +1 v v v 02 A b) v 2 = −v 0 2 v g 2 0 A +1 c) v 2 = −2v 0 g v 02 A +1 d) v 2 = −v 0 g v 02 A +2

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30. Calculer la vitesse initiale limitev A  quem pour que la masse M puisse juste doit avoir la masse décoller du support. On poseΩ 2 =. k M a)v A Ω = g 2 Ω 2 +2ω 2 e x b)v A = 2g 2 Ω 2 +ω 2 e x  Ω c)v A Ω = g 2 2Ω 2 +ω 2 e x d)v A = g 2Ω 2 2Ω 2 +2ω 2 e x  31. Si v 0 ≥v A , l'instant t 1 où la masse M décolle du support se déduit de la relation : 1 a) cos(ωt 1 + ϕ) = g A   ω  1 2 − Ω 1 2    b) cos(ωt 1 + ϕ) = g A    2 2 + Ω 1 2     ω 1 1 c)  cos(ωt 1 + ϕ) = g A  ω   1 2 Ω + 1 2    d)  cos(ωt 1 + ϕ) = A g ω    2 − 2Ω 2    32. se place maintenant  Ondans le cas où la masse M peut décoller du support et l'on désigne par X son ordonnée. Montrer qu'à partir de l'instant t 1 où la masse M décolle et tant qu'elle est en l'air et que le fil reste tendu, les équations différentielles qui régissent le mouvement des deux masses s'écrivent : = a) d d  2 t 2 x −g− ω 2 ( x−X−A ) d d et 2 t 2 X = −g+ Ω 2 ( x−X−A )  b) d d  2 t 2 x = −g+ω 2 ( x−X−A ) d d te 2 t 2 X = −g− Ω 2 ( x−X−A )  2 2 c) d  x t d = −g+ω 2 ( x+X−A ) et d d t 2 X = −g− Ω 2 ( x+X−A )  2 d)  d 2 g x ( x XA ) e d 2 X − − Ω 2 ( − +A d 2 = − − ω 2 − +t dt 2 =g x X ) t

33. On étudie la propagation d'un champ électromagnétique sinusoïdal de pulsationω dans un conducteur de conductivitéγqui occupe le demi espace limité par le plan P d'équation z = 0 et situé du côté positif de l'axe Oz d'un repèreR(Oxyz). Le conducteur est défini par les constantesε 0 etµ 0 du vide ; on suppose queγ>>ε 0 ωet que la charge volumiqueρse restreint au cas où les champs électrique= 0. On et magnétique ne dépendent que du temps et de la coordonnée z et se mettent, en notation complexe, sous les formes suivantes : E ( z, t) =E 0 ( z ) exp iωt )  etBz, t) =B 0 z ) exp iωt )  les vecteursE 0 ( z ) etB 0 ( z ) ayant a priori des composantes complexes dans la base orthonorméee x ,e y , e z deR(Oxyz). Déduire des équations de Maxwell que l'amplitude complexeB 0 z )  cham magnétique obéit à du l'équation différentielle :∆B 0 ( z) =AB 0 z ) . Exprimer . A

AC

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a) A=iµ 0 γω

b) A= −µ 0 ε 0 γω

c)  A=

0 ε 0  ω

ICNA - SESSION 2002

d) A= −i γω  µ 0 ε 0

z 34. Montrer queBz, t ) peut se mettre sous la forme :B ( z, t) =C 1 exp    − z  δ   exp   i(ωt−k   ) , oùC 1  est un vecteur constant pouvant avoir des composantes complexes. Exprimerδ. 1 a)δ =b 0 0 2µ 0 γω )δ= γ µε ω c)δ = 2 0 ε ω 0 d)δ = 0 2 γω 

35. Exprimer k. k= 2 a) µ 0 γω

b)k µ 0 γω =  2

c) k= 2 ω  0 ε 0

d)  k=

2µ 0 ε 0  γω

36. Calculerδpourω =2π.10 10 rad.s 1 . On donne :ε 0 63 01. 1 −9 SI µ =4π.10 −7 SI etγ =0, 625.10 8 Ω −1 .m −1 . =, 0 π a)δ =0, 64.10 −6 mb)δ =1, 52.10 −5 mc)δ =3, 73.10 −4 md)δ =7, 25.10 −3 m

37. suppose OnB ( z, t ) porté par Oy et l'on note B 0 la valeur de l'amplitude du champ en tout point M de P. Montrer que l'on peut mettre le champ électriqueEz, t ) sous la forme :

 E ( z, t) =E 0 exp ( iϕ)exp   −  z δ    exp   i(ωt−kz  )  e x  Donner l'expression de E 0 . a)  E 0 = 2 0 ω B 0 b) E 0 = 2 ω µ 0 γ B 0 c) E 0 = ω 0 γ B 0 d) E

0 =

2ω B 0  µ 0 γ

38. Exprimerϕ. a)ϕ=π/2b)ϕ=π/4c)ϕ=πd)ϕ= 0 39. la valeur moyenne Calculerφ sur une période du flux du vecteur de Poynting à travers une surfaceΣappartenant au plan P. 2 a)φ = 2 ω µ 0 γ B 2 0 Σb)φ = 2πµ ω 0 γ B 2 0 Σc) µ γ = 0 ε ω 0 B 2 0 Σd)= 8µ ω 3 γ B 02 Σ 0

40. la puissance moyenne CalculerP dissipée par effet Joule sur une période dans le volume du conducteur défini par le cylindre de section droiteΣet de longueur infinie. 2µ 2 0 γ B 2 P= π 2ω µ 2 γ B 2 0 Σa)P= 8 ω 3 B 02 Σb)P  ω = − 0 Σc)P= 2πµ ω 0 γ B 2 0 Σd) 0 µ 0 γ  

AC