Mathématiques 1 2003 Classe Prepa MP Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2003

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures

Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations: On noteEl’espace vectoriel des applications continues de [1,1] dans ! . On désigne parE l’espacevectoriel des fonctions polynomiales de [1,1] dans!de degré n inférieur ou égal ànoùnest un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E , on posef=supf(x). ∞ x∈ [ −1 ,1 ] Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômesde Tchebychev Dans toute cette partie,ndésigne un entier naturel. 1. Existenceet unicité a)un polynôme DéterminerTà coefficients réels de degrénvérifiant la propriété (*): (*) : ∀ ∈! ,T ( cos ) =cos ( nθ ) . n  (onpourra remarquer que cos(nθla partie réelle de(cos) est θ +isin θ ) ). b)Montrer qu’un polynôme vérifiant (*) est unique.  Onl’appelle le polynôme de Tchebychev d’indicen, on le note T . n On définit alors une fonction polynomiale sur [1,1] par : ∀x∈[−1, 1],T(x)=cos(narcosx). n Tournez la page S.V.P.

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ontrer que2 ()T(x) 2. a)M∀x∈[−1, 1],T +2 (x)xT +1 x n nn ( )+( )). (on pourra calculerT +2 x Tx n n b)CalculerT,T,T,T. 0 1 2 3 c) Donnerdele coefficient du terme de plus haut degré T . n 3.  Racineset extrema n−1 n−1 (2k+1)π a) que Montrer ∀x [1,1],T(x)=2 (x−cosθ) oùθ=. ∏ n kk k=0 2n kπ b)On pose pourkdans {0, 1,…,n},c=.cos( ) k n  CalculerTpuis montrer que : n ∞ ∀ ∈ { n } T c=T−∀ ∈ } = − k0,1,..., , n ( k ) n ∞ :et quek0,1,...,n1 ,T(c + )T(c) . n k1n k  Les n+1 réelsc,c,...,csont appelés points de Tchebychev. 0 1n c) Dessinerle graphe deT, préciser sur le graphe les réelsc,c,c,c. 3 01 2 3 II. Polynômesde Tchebychev et orthogonalité Orthogonalité desT n h(t) 4. Montrerque pour toute fonctionhdeE, l’applicationt"est intégrable sur ]1,1[. 2 1−t f(t)g(t) 1 Pourfetgéléments deE, on pose f,g= dt. ∫ −1 2 1−t 1 h(t) 5. a) Soithune fonction positive deEd, montrer que sit=0alorshest la fonction ∫ −1 2 1−t nulle. b)Montrer que,définit un produit scalaire surE. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne surE: pour tout élémenthdeE, on pose h=h,h. 2 6.CalculerT,Tles valeurs des entiers naturels selonm etn. En déduire pour tout entier n m naturelnque la famille ( T,T,...,T ) est une base orthogonale (pour,) deE. 0 1n n Polynôme de meilleure approximation quadratique Dans toute la suite de la partie II.,fdésignera un élément deEetnun entier naturel. On pose d(f,E)=inf { f−Q,Q∈E } . 2n n 2

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f,T k Le but de la suite de la partie II. est d’exprimer f en fonction des . 2 T k 2 7. a)un théorème justifiant l’existence et l’unicité d’un vecteur Enoncert(f) dansEtel que n n f−t(f)=d(f,E) . n2n 2 b) Exprimert(f) àl’aide des polynômes de Tchebychev. n  Ondit quet(f) estle polynôme de meilleure approximation quadratique defsurE. n n 2 n 2 f,T k 2 ∑ 2 8.Montrer qued(f,E)=f−. 2n k=0 T k 2 2 f,T k 9. a)déduire que la série Enest convergente. ∑ 2 k≥0 T k 2 f(t)T(t) 1 n b)dQue pensezvous de la limite detlorsquentend vers+ ∞? ∫ −1 2 1−t Convergence en norme quadratique 10. a)Soit h un élément de E , montrer que h ≤ π h . 2∞  b)Montrer en utilisant un théorème de Weierstrass que : limf−t(f)=0 . n 2 n→+∞ +∞ 2 f,T k 11. a)déduire que Enf=. ∑ 2 2 k=0 T k 2 b) Application : un théorème des moments.  Quepeuton dire d’une fonctionh deEque pour tout entier naturel tellen, h(t)T(t) 1 n dt =0 ? ∫ −1 2 1−t III. Polynômede meilleure approximation au sens de Tchebychev Dans toute cette partie,ndésigne un entier naturel etfun élément deE. On note d f ∞ ( ,E n )=inf { f−Q,Q∈E } . n ∞ On dit qu’un élémentPdeE, est un polynôme de meilleure approximation (on notera en abrégé n PMA) au sens de Tchebychev defd’ordren, s’il vérifie une des deux conditions équivalentes : (i)f−P=d(f,E) ∞ n ∞ (ii) ∀Q∈E,f−P≤f−Q . n ∞ ∞ Tournez la page S.V.P.

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Existence d’un PMA d’ordrenpourf On pose K= { Q∈E,f−Q≤f } n ∞ ∞ 12.a)que MontrerKest une partie non vide fermée et bornée deE. n b) En déduire queKest une partie compacte non vide deE. n 13. a)  MontrerquefE dd f ∞ ( , n )= ∞ ( ,K) .  b)En déduire qu’il existe un élémentPdeEtel quef−P=d ∞ (f,E) . n n ∞ Pest donc un PMA d’ordrendef. Condition suffisante pour être un PMA Soith unélément deE. On dit quehsur équioscillek+1 pointss’il existek+1 réels x<x<...<xde l’intervalle [1,1] , tels que 0 1k et∈ { 0 ,..−1 } ), (= −( ) ∀i∈ { 0,1,...,k } ,h(x)=h ∀i,1 .,xk h i+1 h x i . i ∞ (on dit que les extrema sont alternés). 14. Exemples 1 a)de Dessinerle graphe d’une fonctionEtelle queφ=sur 4 points.et équioscille ∞ 2 (on ne cherchera pas à expliciter une telle fonction). + + b)Montrer que le polynômeT + de Tchebychev d’indice n1 équioscille sur n2 points. n1 Le but de la question15.est de montrer le résultat suivant : SiPest un élément deEtel quef−Péquioscille sur n+2 points, alorsPest un PMA d’ordre n ndef. 15. SoitP unélément deE telquef−Péquioscille sur n+2 que l’on note points n < x<x<...x + . 0 1n1 SoitQun élément deEtel que−Q<f−P. n ∞ ∞ a) Soit i∈ { 0,1,...,n+1 } , montrer que sif(x)−P(x)>0 alorsQ(x)−P(x)>0 . i ii i On a de même, que sif(x)−P(x)<0 alorsQ(x)−P(x)<0 . i ii i  b) En déduire queP = Qet conclure. Détermination de PMA n+1 16. Dans cette question, pour∈[1,1], on prendf(x)=xet on pose : n+1−n q(x)x Tx n = −2 n+ .( ) 1 Montrer queqest un PMA d’ordrendef. n

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−n 17. En déduire que pour tout polynômePunitaire de degré n+1 , on a 2T + ≤P. n1 ∞ ∞ 18. a)  Danscette question,fest un polynôme de degré n+1 .  Déterminerun PMA d’ordrendef. 3 b)Application : déterminer un PMA d’ordre 2 def(x)=5x+2x−3 . Remarque : On peut montrer l’unicité du PMA. Il n’existe pas de formule générale qui donne l’expression du PMA d’une fonction quelconque. On peut cependant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de polynômes qui converge vers le PMA. Fin de l’énoncé

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