Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

Description

Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 137
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option économique

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 5 pages

Année 1999

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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Exercice 1 Préliminaire Soit(x n )une suite numérique qui vérie, pour tout entier natureln, la relation : 1 1 x n+2 =x n+1 +x n 3 3 Montrer que :limx n = 0 n!+1 p p 1 +13 113 22 (on donne:= 0;77à10près par excès et=0;44à10près par défaut). 6 6 aetbsont deux réels supérieurs ou égaux à 1. On étudie la suite numérique(u n )dénie par :u 0 =a u 1 =bet pour tout entier naturel n: p p u=u+u n+2n n+1

Question 1 1.a :Montrer que, pour tout entier natureln,u n est bien déni et vérie :u n >1. 1.b :Montrer que la seule limite possible de la suite(u n )est4. 1.c :Ecrire un programme en Turbo Pascal qui calcule et a¢ che la valeur deu n pour des valeurs deaetbréelles supérieures ou égales à1et denentier supérieur ou égal à2, entrées par lutilisateur.

Question 2 On se propose détablir la convergence de la suite(u n )par létude dune suite auxiliaire(v n )dénie, pour tout entier naturelnpar: 1 p v n =u n 1 2 2.a :Montrer que silimv n = 0alorslimu n = 4 n!+1n!+1 v+v n+1n 2.b :Vérier, pour tout entiern:v n+2 =. 2(2 +v n+2 ) 1 En déduire que :jv n+2 j6(jv n j+jv n+1 j). 3 2.c :On note(x n )la suite dénie par :x 0 =jv 0 j,x 1 =jv 1 jet pour tout entier natureln: 1 1 x=x+x n+2n+1n 3 3 Montrer que, pour tout entier natureln,jv n j6x n et conclure quant à la convergence de la suite(u n ).

Exercice 2 Toutes les matrices de cet exercice sont des éléments de lensembleEdes matrices carrées dordre 2 à coe¢ cients réels.    0 01 0 On pose :O=,I=etH=fM2E=92Rtel queM=Ig 0 00 1   a b et pour toute matrice réelleM=,(M) =a+det(M) =adbc. c d

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Question 1   a n b n On dit que la suite de matrices(A n ) n2N oùA n =converge vers la matriceOsi(a n ),(b n ),(c n )et c n d n (d)sont des suites réelles de limite nulle. n Justier les résultats suivants:

1 a)Soit(A n ) n2N et(B n ) n2N deux suites de matrices,un réel etMune matrice: si(A)et(B)convergent vers la matriceO, alors ((A+B),( A),(M A)et n n 2N n n 2Nn n n 2N n n 2N n n 2N (A n M) n2N convergent aussi versO.   0 n 1 b)SiD=avecjj<1etjj<1, la suite de matrices(D) n2N converge versO. 0

1 c)Si une matriceAest diagonalisable, de valeurs propresettels quejj<1etjj<1, alors la suite n (D) n2N converge versO.

Question 2 Dans toute cette question,Adésigne un élément deEtel que(A)<0. On se propose de montrer quune telle matrice est diagonalisable.

2 a)Montrer queAnest pas élément deH.

2 b)Vérier par le calcul que, pour tout élémentMdeEon a: 2 M=(M)M(M)I()

2 c)Montrer quil existe deux réels distinctsettels que: +=(A)et=(A)

2 d)On poseM=AIetN=AI Montrer queM N=Oet en déduire que lhypothèse Mest inversible" conduit à une contradiction. Montrer de même queNnest pas inversible.

2 e)En déduire queAest diagonalisable et quil existe une matricePdeEinversible telle que   0 1 A=P DPavecD=. 0

Question 3   1 2 2 On noteUlouvert deRdéni parU=;]0;1[etflapplication dénie surUpar : 3 3 2 2 (x; y)!f(x; y) =xx+xyxy

3 a)Montrer quefest strictement négative surU.

3 b)Montrer (en rédigeant soigneusement) quefadmet un unique extremum surUet que celui-ci est un minimum dont on donnera la valeur. 25 En déduire que, pour tout élément(x; y)deU:6f(x; y)<0. 65

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Question 4 Soientaetbdeux réels tels que(a; b)soit un élément de louvertUdéni précédemment.   a b On poseQ= a(1b)a1 n On se propose de montrer que la suite de matrices(Q) n2N converge versO. 4 a)Calculer(Q)et(Q) Vérier que les résultats de la question 2 sappliquent pourA=Qet en déduire queQadmet deux valeurs propres distinctesettelles que: 1 125 < + <et660 3 364 2 22 2 4 b)Exprimer+en fonction de+etet en déduire que+ <1. n Pourquoi peut on a¢ rmer que la suite(Q) n2N converge versO?

Exercice 3 On modélise la durée de fonctionnement dun appareil par une variable aléatoire réelleTdénie sur un certain espace probabilisé(;A; P)admettant une densitéf. On noteFsa fonction de répartition et on suppose queFvérie les propriétés: F(t) = 0pour tout réelt60.

1 + Fest de classeCet strictement croissante surR.

Sous une hypothèse introduite dans la question 2, on se propose dexpliciterFetf, puis de calculer lespérance E(T)deT, temps moyen de fonctionnement".

Question 1 +1 R 2 1 p u On rappelle que lintégrale généraliséee duconverge et vaut. 2 0 + Soitun réel strictement positif; sixest un élément deR, on pose: x x Z Z 2 2 2u2(t=) I(x2) =u eduetJ(x) =t edt 0 0 + 1 a)A laide dun changement de variable, exprimer, pour tout élémentxdeR,   x J(x)en fonction deI.  + 1 b)A laide dune intégration par parties, montrer que, pour tout élémentxdeR: x Z 2 2 ux I(x) =e duxe 0 p +1 3 R 2   2(t=) 1 c)En déduire que lintégrale généraliséedtt e.converge et vaut 4 0

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Question 2 + 2 a)Montrer que, pour tout élémentudeR,F(u)<1, puis en déduire queP(T>u)6= 0.

2 b)Soientt 0 ettdes réels tels que06t 0 6t. 1 On pose :q(t 0 ; t) =P(t 0 6T6t = T>t 0 )(cest une probabilité conditionnelle). tt 0 q(t ;t)estle taux darrêt de fonctionnement entre les instantstett. 0 0 On dénit ensuite, sous réserve dexistence, letaux darrêt de fonctionnement instantané ent 0 par:

(t 0 ) =limq(t 0 ; t) + t!t 0

Exprimerq(t 0 ; t)en fonction det,t 0 ,F(t 0 )etF(t). 0 F(t 0 ) En déduire que(t 0 )existe et que(t 0 ) = 1F(t) 0 Dans la suite de lénoncé, on fait lhypothèse suivante: + il existe un réelc >0tel que, pour tout élémenttdeR,(t) =ct.

+ 2 c)Montrer que, pour tout élémenttdeR, on a :

2 t ln [1F(t)] =c 2

+ 2 d)Soittun élément deR. r 2 2 2 (t=) ExpliciterF(t), puis montrer, en posant=, quef(t) =te. 2 c  2 e)Montrer queE(T)existe et donner sa valeur en fonction dec.

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