Mathématiques 2 2005 Classe Prepa PSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

CCPPSI2005Mathe´matiques2 Dure´e:4heures calculatricesautorise´es

Notations et objectifs:

d´esignel’ensembledesnombresre´els,de´signel’ensembledesnombrescomplexes.Pourλ, on R CC  ∈ noteλle module deλ. | | 2 .iefficscntplomesexlee’isngd)e´(icesmatredesspacedtesengilxueda`oeac,`esnnlocoux C  M M= (m i,j e´)tnattenoonicnestocpmelex,sunematrice`acoeffiM= (m i,j ) la matrice dont les  t coefficientssontlesconjugue´sdescoefficientsdeMs´podeeeeticnsraaL.rtamMeeetson´tM. 1 0 µ ¶ PourM 2 on note( ),det(Mdentnaimrete´del)Mettr(M) la trace deMnote. OnI 2 = . C  ∈M 0 1 Le probl`eme porte sur l’´etude des sousensembles de matrices de 2 ad´enir,pardeste)(`tiudnoc C M atrices de( ),des rotations d’un espace euclidien de dimension 3. C 2 M 2 Danslapremi`erepartie,onde´nitunproduitscalairesurl’espacecomplexeC. Dansladeuxi`emeetlatroisie`mepartie,on´etudiedessousensemblesdematricesde 2 ( ). C M Danslaquatri`emepartie,onde´nitunestructureeuclidiennesurunsousensembledematricesde ( )et on ´etudie des automorphismes de cet espace euclidien. C 2 Danstoutleprobl`eme,desquestionsdecalculpeuventetretrait´eesinde´pendammentdesautresques ions.

Partie I 2 On notele espacevectoriel des couples de nombres complexes.Les deux vecteurse 1 = (1,0) et C C 2 2 2 = (0,= (forment une base1) dee 1 , e 2 d)eapplee´beasecanonique. C C B a c 2 t µ ¶µ ¶ Etantdonne´deuxvecteursx= (a, b),y= (c, d) de, de matricesX= ,Y= relative C b d enta`labasecanonique,alaceriodprtsuindn´oeleit(x y) =ac+bd=X Y;dte´neianormeesl | 2 2 arx= (x x) =a+b. || ||| || || p p 2 estunespacevectorielpr´ehilbertiencomplexepourceproduitscalaireetBest une C 2 ase orthonormale de. C 2 I.1 Soientx= (a, b),y= (c, det) deux vecteurs deλ, µExprimer lesdeux scalaires complexes. C produits scalaires (y x), (λx y), (x µy) en fonction du produit scalaire (x y). | || | 2 I.2 Soientx= (a,1 + 3i),y5= (1 +i,3 2i.) deux vecteurs de C − − 2 I.2.1 Aquelle condition sur le nombre complexea, les vecteursxety?formentils une base de C I.2.2 Aquelle condition cette base estelle orthogonale?Dans ce cas calculer la norme dex. i √ 3 à 2 2 ! 2 2 I.3 SoitT).= ( √ 3i C 2 ∈ M − − I.3.1 D´eterminerles valeurs propres (complexes) et les sousespaces propres deT. I.3.2Ende´duirequ’ilexisteunebaseorthonormaledevecteurspropresdeT, que l’on explicitera.

a c µ ¶ I.4 SoitU= 2 ( ).On notex= (a, b) ety= (c, d) les vecteurs colonnes deU. Exprimer C b d ∈ M t le produit matricielU Uen fonction de (x y),xety. | |||| ||||

Partie II

t On note=U 2 ( );U U=I 2 . C U {∈ M} a c µ ¶ II.1 SoitU= 2 avec( )x= (a, b),y= (c, d). Aquelle condition sur les vecteurs colonnes C b d ∈ M xetydeUatonU? ∈ U II.2 SoitU. Calculerdet(U) , le module dedet(U). ∈ U| | II.3 SoitU. ∈ U 1 II.3.1 MontrerqueUest inversible et queU − eitrappa.a`tn U t II.3.2 MontrerqueUitnepprateuq`taeaU.pparat`atien U U II.3.3 SoitV. Montrerque le produitU V.paaptreitna` ∈ UU II.4 SoitUe´emtnedestiotun´elλune valeur propre complexe deUinrmerD.ete´λ. U ||

Partie III

On note=U;det(U) = 1. SU {∈ U} i e0 µ ¶ . ourtneme´le´dno,edamtlnieceriat´Dpar:D= i R ∈ SU 0e − a c µ ¶ II.1 SoitU= 2 ( ). C ∈ M b d III.1.1 Donnerles quatre relations portant sur les scalairesa, b, c, dracauiqappa’ltnesire´tcnetrecnaed U`.a S U III.1.2 Onsuppose queU.Montrerquepaaptreitna`c=betd=a. S U− a b 2 2 III.1.2Ende´duirequeUentsulempaapitna`treiteesisU= − aveca+b= 1. µ ¶ S U| || | b a a b 2 2 − µ ¶ II.2 SoitUavec= ,a+b= 1.une matrice de b a | || |S U

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III.2.1De´terminerlepolynomecaracte´ristiqueχ(λ) =det(U λI 2 ) deU. − i i End´eduirequ’ilexisteunre´eltel que les valeurs propres deUsonteete − .

Etantdonn´eeunematriceU,on admetqueUtselbalbmeselogannemae`auediatric ∈ SU Davec une matrice de passageP,se’cda`tqeriu’ilexisteetPtels que R 1 ∈ SU ∈∈ SU U=PP D − stuenioarefbo’ldtejqaleiondecer´esultatL.dae´omsnrttaIV.7.

III.2.2Ve´rierquelamatriceTnie`d´etseuqalanoiI.ntiertpa´e.D`aunr´eeltpear3mineret une 1 S U matricePappeuqs`ael,ttearntnaT=P DP − . SU

Partie IV

Rappel:Ea`e´benuoesaohtrrmnoedalecirtetroppar,3noisnemdide´entieorendicuilcaeeenpsnaut´et 1 00  −  ² 1 , ² 2 , ² 3 ),´tenautnr´eel,onnoteR= 0cossinletacirene`tvimetebaacetelase,dtrmala   0 sincos otation deE’addixereveluetc´girrape²tunemesuetdonlgeetselered’lnaleer´. 1 t n note=A( );A=Aettr(A) = 0. C 2 V {∈ M} a c V.1 SoitA= . µ ¶ b d ∈ V a r+is µ − − ¶ IV.1.1 MontrerqueAest de la formeA= aveca, r, sd´Ens.elqureuiedeseutne´r r isa V 1 00 1 espacevectorielr´eeldontunebaseestforme´eparlesmatricesE= ,E= , µ − ¶ µ¶ 1 2 0 11 0 0i E 3 = . µ − ¶ i0 1 IV.1.2Montrerquel’applicationde´niesurpar:(A, B)A, B=tr(ABtprunuiod´e)ditn V ×V 7→h i 2 2 scalairesurl’espacevectorielre´el.EnnotantA=A, Ala norme deA, exprimerA V |||| hi |||| p en fonction dedet(A). IV.1.3 Pourjetkpaaptrnena`tla’ensemble1,2,3 ,calculer les produits scalairesE ,E. Quepeut j k { }h i onende´duire?

Danslasuiteonconside`recommeunespaceeuclidien,pourleproduitscalaired´eni V cidessus. Onoriente desorte que la base(EE ,E ,)soit direct. 1 2 3 V

1 V.2 SoitP.On note` P tourtuop:rapruseineond´catipplil’aA,` P (A) =P AP − . ∈ SU V∈ V IV.2.1 Montrerque`endnriueoen(lidit`adc’esdlane’lecapscueerpmosmhirteogohoetsnuuaot P V morphisme dequi conserve la norme). V IV.2.2 SoientPetQdans .Montrer que le produitP Qaptreitnpantrerque`aetmoee´sopmocal S US U ` P ` Q eierv´` P ` Q =` P Q .

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