Mathématiques 2001 Concours FESIC

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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 25 juillet 2008
• Nombre de lectures: 64
• Langue: Français

Extrait

Concoursd’entr´eeFESIC2001

Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementl’espace)est −→−→ rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, ı, ) = (Oxy) (respectivement   −→ −→−→ O, k, ı, = (Oxyz) ).

Exercice 1 Soitftcoifanol=]surIfiniend´e− ∞,1] par

f(x) = 2x1−x etCgiseapenalTrgnatse´eatnte.ivd´Onente`alacourbeprrebeurcosa Cau point d’abscissex= 0. 2−3x  a)Pour toutx <1, on a:f(x) =. 1−x 4 3 b)Pour toutx∈I, on a:f(x). 9 c)ednneseTt´arieestauqcnoiUte´eny= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.

Exercice 2 Soitfetgd´nsioctonsfleIr]=seusfiein− ∞,1] par

−x x f(x) = ln(x+ 1) + eetg(x) = e−(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. −x e  b)Pour toutx∈I, on a:f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+∞[. d)´reeqieununusietlxelIαdans I tel quef(α) = 0.

Exercice 3 Soitfinseruefid´ontincfolaRpar

x f(x) = (−x+ 3)e ,

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etCtiveentaor´uersbesraecp. a)Pour toutx >0, on a:f(x)−x+ 3. b)Lonitauqe´’detiordayasymptot=0estbre`elacauoC. c)La fonctionfadmet un unique extremum. 2 d)ruotoPeeltu´rm,l’´=etionequaf(x) =madmet soit 0 soit 2 solutions.

Exercice 4 Soitfrlfaonctiond´efiniepa  2x x f(xe) = ln−1)e +, Dtnneeisooietmfinns´eedebdlCnese´rfierebruocsave.tati a):On aD=R. −x−2x b)Pour toutx∈ D:, on af(x) = 2x+ ln (1−e ).e + c)La courbeCtaoinet’de´uqetladroiadmy= 2xcomme asymptote en +∞. d)La courbeCepargentele`all`nuuemdtetenainuqaa’laO(exx).

Exercice 5 ∗ Soitfaflctonoidne´nfieiusrRpar   2 f(x) =xsin. x   4 4 a)On a:f= π π b)On af(x) = 0 si et seulement s’il existe un entier relatif non nulktel 1 quex= . kπ c): limOn af(x) = 1. x→0 d)On a: limf(x) = 2. x→+∞ Exercice 6 Pourtoutcoupleder´eelsaetbtels que (a, b)= (0,urts,)0d´onniefi ]0,+∞[ la fonction

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lnx f a, b (x) =ax+b+ x et on noteC a, b asocru.entseivatrebe´epr a)Pour tout couple (a, b)= (0,auit´’qetidedaor0),lony=ax+best asymptotea`lacourbeC a, b . b)Pour tout couple (a, b)= (0,: lim0), on af a, b (x) =b. + x→0 c)Il existe une unique courbeC a, b ssanpalepotparesocedAtnie´nnodro (1, 1). d)Il n’existe pas de courbeC a, b aptnpelrpassaoordonn´ointBdecees (1,ntgeanetunnBteandala`ele`llarapetionequaed’´roittedaemtt)0y= 2x.

Exercice 7 Soitnun entier naturel non nul etI n inperaefid´  1 n I n = (1+x) ln(1 +x)dx. 0 a)Pour toutx∈1], on a: 0[0 ;ln(1 +x)ln 2. b)Pour toutn∈N∗, on a: 0I n 2 ln 2. c)La suite (I n ) ∗ et.ssnarciodte´es n∈N d)La suite (I n ) ∗ converge vers 0. n∈N

Exercice 8 Soitnun entier naturel non nul etI n iefinrpa´ed  1 n1−x I n =xe dx. 0 a)On a: I 1 = e−1. b)La suite (I n ) ∗ est croissante. n∈N 1 e c)Pour tout entiern >0, on a:I n . n+ 1n+ 1 d)La suite (I n ) ∗ ne tend pas vers 0. n∈N

Exercice 9 SoitFsuiefin´endioacftolnrRpar  x 2 1−t F(x) =te dt. 1

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a)La fonctionFest positive pour toutxpositif.   1 2 1−x b)Pour toutxna:leo,re´F(xe) =−1. 2 2 1−x c)Pour toutxel´ena,o:rF(x) =xe−1. d): limOn aF(x) = +∞. x→+∞ Exercice 10 Onconside`relasuite(S n ) ∗ erlanutitretuneurtoe,poefinid´nnon nul, n∈N par n  k1 2n S n = =+ ++. 2 22 2 n nn n k=1 n+ 1 a)Pour tout entiern >0, on a:S n = . 2n 1 b)Pour tout entiern >0, on a: 0S n . 2 c): limOn aS n = 0. n→+∞ d)La suite (S n ) ∗ est croissante. n∈N Exercice 11 Soitf´dnoitcnofaluresniefiRpar x f(x) =−1−e. 1  a)Pour toutx−:1, on a−f(x)0. e b)noi´eL’atquf(x) =xadmet deux solutions surR. Onde´signeparαsoueiqunn´ontiludevitageauqe´’lenoi’tlf(x) =xet on consid`erelasuite(u n onder´eclarelatifieinpera)´decnerruu n+1 =f(u n ) n∈N pour tout entier natureln, et de premier termeu 0 −1. c)Pour tout entier natureln, on a:u n −1. 1 d)Pour tout entier natureln, on a:|u n −α||u 0 −α|. n e Exercice 12 Onconsid`erelenombrecomplexe

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2 iπ Z=−e. 3 1 + i a)On a:|Z|= 1. iπ b):On aZ=−(1−i)e . 3 iπ c)Ler´eel−enutsugratnemedZ. 12 13iπ d):On aZ= e. 12

Exercice 13  Sizetzuenxnedtisngde´esopnos,xelempcoesbrom

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  Z=zz+zz .  a)Siz= 2i etz=−1, alorsZ= 4i. iπ 3iπ b)Sizet= ez= e4, alorsZ= 0. 4  c)Siz=z, alorsZ= 2|z|. d)Sizest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθet   zest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθ, alorsZ=   2rrcos (θ−θ).

Exercice 14 Soitαtrappalee´rnuvallntertl’ienan[e0,π] et (E α nc’inuonatqundio’le´)e complexez

2 z+ 2(sinα)z+ 1 = 0(E α ) a)Pour toutα∈[0, πnoE(]l,´’qeauit α ) admet deux racines complexes conjugue´esdistinctes. b)Il existe une unique valeur deα∈[0, π] pour laquelle i est solution de (E α ). c)Pour toutα∈[0, π’le´uqtaoi(nE], α ) a pour solutions:

z 1 = sinα−i cosαetz 2 = sinα+ i cosα. d)Pour toutα∈[0, πl,´’]ontiuaeq(E α ) a pour solutions π π i i− ( 2 ) ( 2 ) z 1 et= ez 2 = e.

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Exercice 15 SoitA,B,Ctroispointsnonaligne´sduplanPetGapinreplntoiefid´

−→ 1 −→ 1 −→ AG= AB+ AC. 4 2 a)Le pointGltbesenertracy´dnopstnse´ret`ysusedoiepedem{(A, 1); (B, 1); (C,2)}. b)L’applicationf:P → Pta`,ptuontoiiuqMdu plan, associe le point  Mudlpparefiniand´ −−−→ −−→−→−→  M M=MA +MB + 2MC. estl’homothe´tiedecentreGet de rapport 3. c)Le pointGesilietlemgeemdusu]Co,tnI[le`uinpoestIemtleiliudu segment [AB]. d)Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alorsGA =GC.

Exercice 16 SoitC´mteaparruebalocparr´ee  t−t x+ e= 2e t−t y= 2e−e o`uleparam`etretd´riectRSoitMceoodrnon´ees(da, b) un point deC. −→ a)Le vecteurvceood´needrnos(b, a) est un vecteur directeur de la tangente`aCau pointM. −→ b)SoitNelopniectdrdoon´ons(eeb, a) etTliope´dtnOaprfieinT= −−→−→ OM+ ON . Alors la droite (M Tbeurcola`ateenngataltse)Cau pointM. 2 c)La courbeCt´arieeseatnqnuncioebrue´’dsnadocalcontenueestx− 2 y= 4. d)La courbeCn’a pas d’intersection avec l’axe (Ox).

Exercice 17 Onconsid`ereunesuccessiondesacsqu’onde´signeparS 1 , S 2 S, .. . , n , ...Aude´part,lesacS 1 ; tous lescontient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S 1 , que l’on place dans le sac S 2 . Puis, on tire au hasard un jeton du sac S 2 , que l’on place dans le sac S 3 , et ainsi