Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 124
• Langue: Français

Extrait

(a)

3. On considère dans ce paragraphe la fonctionhdéfinie surIRde la manière suivante : a

a d Justifier l'existence de l'intégrale ò 0 f a (x)x notée ,I a . Déterminer deux constantesa etb : telles que"xÎ[ 0 ;a 1 1 ], + -x x En déduire queI 1 =2 ln 2-1.

Montrer grâce au changement de variablex=auqueI a =I 1 .

 On noteXune vh. a ariable aléatoire réelle admettant une densité égale à a On noteH de rla f     a  de la variableonction épartitionX a .   (b)

Calculer l'espéranceE(a+X a ) . En déduire l'espéranceE(X a ) .

ï í ì sixÎ[ 0 ;a] ,h(x)= 2 1 2nl-1 f(x) a a   x a h x ï î siÏ[ 0 ; ] , a ( )=0

Montrer queh a  est une densité de probabilité.

Calculer l'espéranceE((a+X a ) 2 ) . En déduireE(X a 2 ) puis la varianceV(X a ) .

Soit la variable aléatoire à densitéT définie parT= 1 X a . a Montrer que pour tout réelt de [ 0 ; 1 ] :P(T£t)=H(at) . a

(c)

  1.

 

(d)

(b)

 

 

(c)

 

 

 

(c)

En déduire queTsuit la même loi queX 1 .

= a + 1 b . +x

Montrer quef a réalise une bijection de [ 0 ;a  1 ] sur [  0 ; a ] . On notef a -1 sa bijection réciproque. Donner le tableau des - récisant variations def a 1  lesen p valeurs aux bornes.

Montrer quef a -1 =f 1 . a

(a)

(b)

EXERCICE 1

On pose poura réel strictement positif la fonctionf a  définie sur [ 0 ;a :] par   Pour toutxÎ[ 0 ;a] ,f a (x)= a( a a - + x x ) .

Justifier la dérivabilité def a  0 ;sur [a calculer sa dérivée.] et

En déduire le tableau des variations def a en précisant les valeurs aux bornes.

(a)

 

2.

  

EXERCICE 2   On considère pournentier naturel non nul la matrice carrée d'ordre 3 suivante : 

æ 1 ç ç A n = - ç n 1 ç 1 è n

1 n n + 2 n -1 n

1 ö n ÷ 1 ÷  et on noteI n ÷ 1 ÷ ø

æ 1 ç = ç 0 ç 0 è

0 1 0

0 ö ÷ 0 ÷   1 ø ÷

f n morphisme deIR 3 représenté parA n  relativement à la base canonique deIR 3 . On note l'endo On considère également les vecteurs deIR 3 :u r =(1,1,-1) ,v r =(1,1,0) etw r =(0,-1,1) .

1. Déterminer pour tout triplet (x,y,z) deIR 3 l'expression def n ((x,y,z)) en fonction den,x,y,z. 2. (a) Montrer queu r ,v r ,w r  sont vecteurs propresf n . de (b) Montrer que la famille (u r ,v r , r w) est une base deIR 3 .

 

(c)

En déduire une matriceP telle que :

æ 1 · Pinversible etP -1 = ç ç 0 è ç 1

-1 1 -1

-1 ö ÷ 1 ÷   0 ÷ ø

· P -1 A n P=D n  où ,D=I+ 1 H etH n n

æ 0 ç = ç 0 ç è 0

0 0 ö ÷ 1 0 ÷   0 1 ø ÷

n 3. On pose pour tout entier atureln non nulP n =A 1 A 2 LA n  ( avecP 1 =A 1 ).

 

  4.

   

(a)

(b)

 

(c)

(a)

 

(b)

 

Montrer queP =PD 1 D 2 D P -1 . L n n Montrer par récurrence surn que pour tout entier natureln non nul :

 

D 1 D 2 LD=I+nH oùH est la matrice définie au 2(c). n

En déduire les neuf coefficients de la matriceP. n

Montrer que pour tout entier natureln non nulD 1 D 2 LD n est inversible

et que (D 1 D 2 LD n ) - 1 =I- n n+1 H oùH est la matrice définie au 2(c).

En déduire queP n  les neuf coefficents de et donnerest inversibleP -1 . n

EXERCICE 3  

On suppose quep est un réel fixé de ] 0 ;1[ qui représente la probabilité qu'un billet de 100 € soit faux.   On dispose d'un détecteur de faux billets imparfait qui allume une lumière qui est soit bleue lorsqu'il considère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu'il considère que le billet testé est faux . On noteF et: " Le billet testé est faux "BLa lumière qui s'allume est bleue ".: " On note P(F / B)= aetP(F / B)= b, et on suppose dans tout l'exercice quea + b >1. 1. (a) En utilisant une formule des probabilités totales pour exprimer P(F) ,  montrer que  P(B) b+a -b = p - 1 . En déduire que 1- a £p£ b.  (b) Montrer que la probabilité que le détecteur valide un faux billet est P(B / F)= (1 p( a a - + )(b- b-1 p . ) )  

 (c) On suppose dans cette question uniquement queb = a = on0,95 et note    x= a +p-1=p-0,05 . Montrer que 1-P(B / F)= 0,9(x 0,9 + 5x 0,05) . x. En déduire un réel a   tel que    P(B / F)=1-ax+xe(x) avec x li ® m 0 e( )=0 x>0 2. On considère le programme Turbo-Pascal suivant , où p  représente la valeurp citée en introduction :

   program ESC2003 ;     var       : real ;x , v , d , r    begin  randomize ;  if random < p then v := 0 else v := 1 ;         r := random ;  x := r*r ;          d := ( 1 - x )*v + x*( 1 - v ) ;            end.    On rappelle querandom   est une variable à densité qui suit une loi uniforme et qui fournit à chaque appel   un réel choisi au hasard   dans [ 0 ; 1 ]. Les deux appels à la fonctionrandomsont indépendants.   On note V, D, R,  les variables aléatoires égales au valeurs de v , d  ,r lorsque le programme a été exécuté.    (a) Montrer que  P(V=0)=p.  (b) Exprimer   D   en fonction de   R   et de   V.  (c) Soit   s    fixé deun réel ] 0 ; 1 [ , appelé " seuil ".  En remarquant queR etV sont deux variables aléatoires indépendantes, m ontrer que : P(D<s / V=0)=s etP(D³s / V=1)=1-s.     En déduire  P(D<s)=p s+( 1-p)(1-1-s) .

     On utilise ce programme pour simuler un détecteur , avec  (V= 0 ) pour " le billet est faux "    et  (D<s)      pour le rouge s'allume " . "

 

 

(d)

(e)

Montrer que la probabilité que le détecteur se trompe est égale à 1-( 1-p) 1-s-p 1 On suppose ici que  p=4 . Etudier sur ] 0 ; 1 [ la fonction définie par f(t)=3 1-t+

s.

t.

 

En déduire   que pour le seuil s= 10 1     la qualité du détecteur est maximum .