Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 74
• Langue: Français

Extrait

EDHEC 2005 Optione´conomique

Exercice 1      1 00 10 00 0 On noteJ 1 =, J 2 =, J 3 =,etJ 4 =,et on rappelle que la 0 00 01 01 0 famille(J 1 , J 2 , J 3 , J 4 ) est une base deM 2 (R).   a b Soitfrtamecita`,etuoationquil’applicM= deM 2 (R),associef(M) =M+ (a+d)I c d   1 0 o`uIecirtamagnel´esid 0 1 1. Montrerquefest un endomorphisme deM 2 (R). 2. a)Exprimerf(J 1 ), f(J 2 ), f(J 3 ),etf(J 4 edseria)ocmmceisnabiom´einslonJ 1 , J 2 , J 3 et J 4 .   2 0 0 1 0 1 0 0   b)V´erifierquelamatriceAdefdans la base (J 1 , J 2 , J 3 , J 4 ) estA=   0 0 1 0 1 0 0 2 c) Justifierquefest diagonalisable. 3. a)Montrer que (J 1 −J 4 , J 2 , J 3 , I) est une base deM 2 (R) ´ b) Ecrirela matriceDdefdans cette base. −1 c)Ende´duirel’existenced’unematricePinversible telle queA=PP D −1 4.a)D´eterminerlamatriceP. n n−1 b) Montrerque, pour toutndeN,A=P DP n c)Ende´duireexplicitementlamatriceA.

Exercice 2 2 ( ) 2 2 x y+1 Soitfeinfirusctiond´elafonRpar :∀(x, y)∈R, f(x, y) =x e 2 2 1. Justifierquefest de classeCsurR. 2.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellespremi`eresdef b)End´eduirequeleseulpointenlequelfseaclmuolemtrexunerntse´erpedelbitpecsust estA= (−1,0). 3.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellessecondesdef. b) Montrerqu’effectivement,funextrempr´esentenmuolacelAtunaetreiseclaerE.pn´ral valeur. 2x 4. a)Montrer que:∀(x, y)∈R, f(x, y)≥x e. x b)Ene´tudiantlafonctiongruseinfie´dRparg(x) =,x eortme´vuoccnlurequel’extremu 2 a`laquestion2b)estunextremumglobaldefsurR.

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Exercice 3 Dans cet exercice,a.fmeteictrtisipontgien´dseeeslnu´r  a−1 a(1−t) sit∈[0,1[ 1.Onconside`relafonctionfsurRpar :f(t) = 0 sit∈/[0,1[ Z x a) Pourtoutxde [0,1[,calculerf(t)dt 0 Z 1 b)Ende´duirequef(t)dtraegt´innetuesaleur.onnersavegtneedtelocvnre 0 c) Montrerquef´e.ilitneeummcoontincfoe´tisnedbaborped´eideer´reetnscopˆtue Onconsid`eremaintenantunevariableal´eatoireXadmettantfmedensit´eetonnoetmocFsa fonctiondere´partition. 2. ExpliciterF(xl´reeottuurpo)x. Onseproposeded´eterminerl’espe´ranceE(X)et la varianceV(Xraailbaed)levael´eatoirX. Pour ce faire, on poseY=−ln (1−X) et on admet queYn´e.Onsiterioeda`laeltae´vaneabritues note alorsGdnretcoifanosn.ioitrtpa´e 3.a)Pourtoutre´elxpositif, exprimerG(x) en fonction dex b)Ende´duirequeYedepeeille`rtramatluioialpoexntnesa. Z +∞ −λ x 4.a)Pourtoutre´elλ >0, donner la valeur dee dx. 0 −Y b)End´eduirequelavariableale´atoireeenurlevasaernndoposs`edrenaecteueense´p fonction dea. c) ExprimerXen fonction deYqerieue´udesdnp,iuXnop`ssouedeesneerp´ceanntdo donnera l’expression en fonction dea.   a −2Y −2Y d)Montrerquelavariableale´atoireeee`edopsssp´euneeeetqureancE e= a+ 2 −Y End´eduirelavariancedeepuis la variance deX.

Proble`me Unmobilesed´eplacesurlespoints`acoordonn´eesentie`resd’unaxed’origineO Aude´part,lemobileest`al’origine. Lemobilesed´eplaceselonlar`eglesuivante:s’ilestsurlepointd’abscissekns’inttala`n, alors, `al’instant(n+ 1)il sera sur le point d’abscisse (k+1)aeil´tabibpaorevlcp(0< p <1) ou sur le pointd’abscisse0aveclaprobabilite´1−p. Pour toutndeN, on noteX n tsna’lnisba’ltecedssci`antoiepnet l’on a doncX 0 = 0. On admet que, pour toutndeNX n nuseapecrpbobaliis´e(Ωed´stniefiures,A,P). Par ailleurs, on noteTibomeseluortopevlaurempreri`oiefl’instantauquelleo’ir`slas(naigens comptersonpositionnementaude´part). Parexemple,silesabscissessuccessivesdumobileapr`essond´epartsont0,0,1,2,0,0,1,alorson aT= 1.Si les abscisses successives sont:1, 2, 3, 0, 0, 1, alors on aT= 4. On admet queTr(Ωaeotridee´nfieiusunstarevblial´eae,A,P) ∗ 1. a)Pour toutkdeNv´´el’ert(enemenmirpxe,T=kenem´ev´mettentsneof)no’dcnitteann jeu certaines des variablesX i . EDHEC eco 2005Page 2/ 3

b) Donnerla loi deX 1 . ∗ c)Ende´duireP(T=k) pour toutkdeN, puis reconnaˆıtre la loi deT. 2.a)Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln,X n (Ω) = [[0, n]] ∗ b) Pour toutndeN,ueslritil`tmesesyetplomecenv´´ed’(stnemeX n−1 =k) pour 0≤k≤n−1 montrer que :P (X n = 0) = 1−p ´ 3. a)Etablir que :∀n∈N,∀k∈ {1,2, . . . n+ 1},P (X n+1 =k) =pP (X n =k−1) ∗k b)Ende´duireque:∀n∈N,∀k∈ {0,1,2. . . , n−1}(, PX n =k) =p(1−p). End´eduire´egalementlavaleurdeP(X n =n). Donnerune explication probabiliste de ce dernierr´esultat. n X c)V´erifierqueP(X n =k) = 1. k=0 1 4. Danscette question et dans cette question seulement, on prendp= . 3 On rappelle querandom(3)renvoie au hasard un entier de{0,1,2}. Compl´eterleprogrammesuivantpourqu’ilsimulel’expe´rienceal´eatoire´etudi´eeetaffichela valeur prise parX n pour une valeur dentu’lsilie´rtrapeenr.ateu Program edhec2005 ; Var k, n, u, X : integer ; begin Readln(n) ; Randomize ; X:=O; For k:=1 to n do begin u := random(3) ; if (u = 2) then X :=.........; else X :=.......; end ; Writeln (X) ; end. n−1 X n n−1 (n−1)p−n p+ 1 k−1 5. a)Montrer que :∀n≥2, kp= 2 (1−p) k=1 n p(1−p) b)End´eduirequeE(X) =. 1−p   2 2 6. a)Montrer, en utilisant la question 3a), que :∀n∈N, EX=p(E(X) + 2E(X n ) + 1). n+n n+1   p 2 E X2n−1) b) Pourtout entier natureln, on poseu n = n + ( 1−p p(1 +p) Montrer queu n+1 =p u n + 1−p 2 c)End´eduirel’expressiondeu n , puis celle deE(X) en fonction depetn. n p n 2n+1 d) Montrerenfin que:V(X n ) = 2 (1−(2n+ 1)p(1−p)−p) (1−p)

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