Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option technologique

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 4 pages

Année 2005

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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Tournez la page S.V.P

EXERCICE 1 On note'la fonction numérique dune variable réellexdénie par :   1 +x '(x) = ln2x 1x 1 +x 1. Etudierle signe du quotientsuivant les valeurs du réelx: 1x 2. Justierque lensemble de dénition de'est lintervalleI= ]1;1[: 3. Montrerque'est impaire. 4. Démontrerque pourxdansI; 2 x 0 '(x) = 2 2 1x 5. Endéduire le tableau de variation de'en précisant leslimites de'en1et en1: 6. (a)Quel est le signe de'(x)sur lintervalleI? (b) Calculerla dérivée seconde de'surI. (c) Endéduire que :   1 2 0 8x20; ;06'(x)6 2 3 (d) Etudierla convexité de':

7. Ondénit la suite(u n ) n2N par : ( 1 u= 0 2 8n2N; u n+1 ='(u n ) (a) Ondonneln 3<1;1. 1 1 Montrer que si06x6alors06'(x)6, puis que : 2 2   1 8n2N; u n 20; 2 (b) Enutilisant linégalité des accroissements nis, montrer que : 2 8n2N;ju n+1 j6ju n j 3 Puis que :   n 1 2 8n2N;ju n j6 2 3 (c) Endéduire la limite de la suite(u n ) n2N quandntend vers linni.

EXERCICE 2 On considère les matrices à coe¢ cients réelsPetQdénies par : 0 1 1 1 1 1 @ A P = 11 1 ; Q= (I+P) 4 1 1 1 oùIdésigne la matrice unité dordre 3.

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2 1. CalculerP ;P Q; QPen fonction deP: 2. Calculerles produits(4IP)QetQ(4IP):Quen concluez-vous pour la matriceQ? 3. Montrerque pour tout entier natureln, il existe des réelsa n etb n tels que : n Q=a n I+b n P Les suites(a n )et(b n )vériant les relations de récurrence : 8 1 > a n+1 =a n < 4 1 > b n+1 =a n +b n : 4 aveca 0 = 1etb 0 = 0

4. Endéduirea n en fonction den:

5. Montrerque pour tout entiern, non nul :

n1 X (bb) =b k+1 k n k=0

6. Endéduire que pour tout entiern: 1 1 b n = (1) n 3 4 n 7. Donneralors lexpression, sous forme matricielle, deQen fonction de lentiern.

8. Onconsidère les suites réelles(x n ) n2N ,(y n ) n2N ,(z n ) n2N , dénies par : 8 1 x n+1 = (2x n +y n +z n ) 4 > < 1 y= (x+ 2y+z) n+1nn n 4 1 > z n+1 = (x n +y n + 2z n ) : 4 avecx 0 = 1,y 0 =z 0 = 0

On pose alors : 0 1 x n @ A U= y n n z n (a) DéterminerU 0 ; U 1 . (b) Vérierque, pour tout entier natureln: U=QU n+1n (c) Puismontrer que, pour tout entier natureln: n U n =Q U 0

(d) Endéduire lécriture dex,y,zen fonction den;puis leur limite lorsquentend vers plus linni. n n n

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EXERCICE 3 Une entreprise de sondage interroge des consommateurs sur lutilisation dun produit commercialA. La probabilité quune personne choisie au hasard parmi les utilisateurs du produitAsestime satisfaite de ce 2 produit est de: 3 On admet que les réponses des consommateurs sont indépendantes les unes des autres. 1. Lenquêteest e¤ectuée auprès dun échantillon de20consommateurs du produitA. OnnoteXla variable aléatoire égale au nombre de personnes satisfaites du produitA.

(a) Dénirla loi deXlespérance mathématique et la variance de. DonnerX. (b) Déterminerla probabilité quaucun consommateur ne soit satisfait du produitA.

2. On interroge une succession de consommateurs du produitA. Lerang du premier consommateur deA satisfait de ce produit dénit une variable aléatoireY. (a) Pourtout entier naturelknon nul, déterminer la probabilité de lévénement[Y=k]: (b) Donnersous la forme dune fraction irréductible les probabilités suivantes : i.P[Y <3]: ii.P[Y <4=Y >2]: (c) Déterminerle nombre entier minimumk 0 tel que la probabilité de lévénement[Y >k 0 ]soit strictement   20 1 inférieure à. 3 3. Letemps, exprimé en minutes, consacré à interroger chaque consommateur est représenté par la variable aléatoireTdont une densité de probabilitéfest donnée par :  t f(t) =tesit>0 f(t) = 0sit <0 (a) Alaide dune intégration par parties, calculer pourx>0, lintégrale, x Z t te dt, 0 (b) Endéduire quefest bien une densité de probabilité. (c) Déterminerla fonction de répartitionF T deT. (d) Montrerque, pour tout entier natureln, la fonctionH n dénie par : n X k x x 8x2R,H n (x) = 1e k! k=0 est la primitive, qui sannule en0, de la fonctionh n dénie par : nx x e 8x2R; h n (x) = n! (e) Enchoisissant des valeurs convenables pourndans la question qui précède, montrer que les espérances 2 E(T)etE(T)En déduire la variance deexistent et les calculer.T.

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