Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2005

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 178
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION TECHNOLOGIQUE Année 2005

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

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EXERCICE 1 Soient les matrices carrées : 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 4 1 11 1 1 @ A A = 11 P= 42 0etD= B 00 C B 2 C @ 2 A @ A 1 11 1 0 0 0 0 0 4

On noteIla matrice-unité dordre3.

1. (a)Montrer à laide du pivot de Gauss quePest inversible et calculer son inverse. (b) Vérierla relation : 1 P AP=D (c) Montrerpar récurrence que pour tout entier naturelnnon nul : n n1 A=PP D (d) Vérier: 0 1 1 0 1 0 6 1 1 @ A P1 = B  C @ 6 A 0 0

Et en déduire que pour tout :

  0 n 1 1 11   6 62 0 1   0 n 2 11 n A @ 1 A + = 3 32  0 B  n C @ 1 11 A   6 62

On considère désormais deux urnes : Une urne bleue contenant initialement un jeton marqué0et un jeton marqué1. Une urne rouge contenant initialement un jeton marqué0et un jeton marqué1. On appelle «échange »laction consistant à extraire simultanément un jeton de chaque urne puis à le remettre dans lautre urne.On e¤ectue des échanges successifs indéniment. Pour tout entier naturel non nulnon désigne parZ n la variable aléatoire réelle discrète égale à la somme des points marqués sur les jetons de lurne bleue après len-ième échange. On noteZ 0 la variable certaine égale à1, somme initiale des points dans lurne bleue. 2. Donnerlensemble des valeurs possibles deZ 1 et déterminer la loi deZ 1 . 3. (a)SoitnDéterminer les probabilités conditionnelles :un entier naturel non nul. p(Z= 0),p(Z= 0),p(Z (Z n =0) n+1 ( Z n =1) n+1 ( Z n =2) n+1 = 0) On note dans la suite et pour tout entier natureln: p=p(Z= 0),q=p(Z= 1),r=p(Z= 2) n nn nn n (Ce qui entraînep 0 = 0,q 0 = 1,r 0 = 0).

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(b) Grâceà la questiona.et à une formule de probabilités totales, exprimerp n+1 en fonction deq n . (c) Donnerles relations similaires fournissantq n+1 en fonction dep n ,q n ,r n etr n+1 en fonction deq n .

4. Onnote pour tout entier natureln: 0 1 p n @ A U= q n n r n (a) Vérierque pour tout entier naturelnnon nul : U n+1 =AU n Cette relation est-elle valable pourn= 0? (b) Montrerque pour tout entier naturelnnon nul : n U n =A U 0 (c) Endéduire pourn>1,p n ,q n ,r n en fonction denainsi quelimp n ,limq n ,limr n . n!+1n!+1n!+1

5. Déterminerlespérance de la variable aléatoireZ n ainsi que sa limite lorsquentend vers+1.

EXERCICE 2 On considère la fonctionfdénie surRpar : 1 f(t) = tt e+ 2 +e

1. (a)Montrer quefest positive et continue surR. Vérier quefest paire. (b) Déterminerlimf(t). t!+1 0 (c) Pourtout réelt, calculerf(t)et étudier son signe. En déduire le tableau des variations def. (d) Tracerlallure de la courbe représentative(C)def. 2. (a)Vérier que pour tout réelt: t e f(t) = 2 t (e+ 1) (b) Onpose pour tous réelsaetbtels quea6blintégrale : b Z J(a; b) =f(t)dt a Montrer que : 1 1 J(a; b) = a b 1 +e 1 +e (c) Endéduire la nature et la valeur des intégrales impropres suivantes : +10 +1 Z ZZ I=f(t)dt,J=f(t)dt,K=f(t)dt, 0 1 1

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3. Soitla fonctionFdénie surRpar, pour tout réelx: x Z F(x) =f(t)dt 1 (a) Alaide de la question2.b., montrer que : x e F(x) = x e+ 1 (b) Onconsidère une variable aléatoire à densitéXdont la fonction de répartition estF. Déterminerp(X6ln 2),p(ln 2< X6ln 2). erminer la probabilité conditionnel(X Dét lep (X>ln 2) X6ln 3 ). (c) Montrerque pour tout réelx: F(x) = 1F(x): 1 En déduire lunique réel positiftel quep( < X6) =. 2 EXERCICE 3 Soitnun entier naturel non nul etXune variable aléatoire réelle discrète dont lunivers imageX()est inclus dans lensemblef0;1; :::; ng. n X E(X) =kp(X=k)est lespérance mathématique deX. k=1 n X Lobjectif de cet exercice est de prouver et dutiliser légalitéE(X) =p(X>k), notée(R). k=1 3 1. Etudedun exemple.SoitXqui suit une loi binomiale de paramètres2et . 4 (a) Calculerp(X>1) +p(X>2). (b) Donnerla valeur de lespéranceE(X). Vérierlégalité(R). 2. Onrevient au cas général :Xest telle queX()est inclus dans lensemblef0;1; :::; ng.

(a) Justierpourk2 f1; :::; nglégalité :

p(X>k) =p(X=k) +p(X=k+ 1) +:::+p(X=n)

(b) Enécrivant puis en sommant les égalités précédentes dek= 1àn, en déduire légalité(R).

3. Applicationsur un exemple : Un jeu vidéo est constitué denniveaux successifs. Lorsque le joueur commence un niveau, ce qui suppose quil ait réussi tous les niveaux précédents, la 2 probabilité quil le réussisse est. Lejeu sarrête dès que le joueur échoue à un niveau. 3 On noteXla variable aléatoire égale au nombre de niveaux réussis par le joueur.

(a) DonnerX(). (b) OnnoteN j lévénement «Le joueur a réussi le niveauj» . Exprimer pour tout entier naturelkdef1; :::; nglévénement à laide des événementsN 1 ,N 2 ,...,N k . En déduire :   k 2 p(X>k) = 3 (c) Enutilisant la formule(R), calculer lespéranceE(X).

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