Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 280
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION SCIENTIFIQUE Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

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EXERCICE 1 Les questions 2 , 3 et 4 sont indépendantes de la question 1. 0 1 0 0 1 3 @ A On considère la matriceH = 02 0 et lendomorphismehdeRreprésenté par la matriceHrelativement 1 0 2 p p 3 à la base canonique deR. Onnote également 1 = 12et 2 = 1 +2. 0 1 a n 0b n @ A n n 1. (a)Montrer que pour tout entier natureln, il existe deux réelsa n etb n tels queH= 0(2) 0 b0a+ 2b n nn et exprimera n+1 etb n+1 en fonction dea n etb n . (b) Pourtout entier natureln, exprimerb n+2 en fonction deb n+1 etb n , puis en déduireb n en fonction de n, 1 et 2 . (c) Pourtout entier naturel non nuln, exprimera n en fonction den, 1 et 2 . 2. (a)Montrer queHest diagonalisable. (b) Montrerpar la méthode du pivot que les valeurs propres deHsont2, 1 et 2 . 3 (c) Déterminerune base deRformée de vecteurs propres deh. 3 Justier que cette base est orthogonale pour le produit scalaire canonique deR. 0 1 x @ A 3t 3. Onconsidère ici lapplicationq:R!R;(x; y; z)7!XHXoùX= y z (a) Justierqueqest une forme quadratique et exprimerq((x; y; z))en fonction dex,y,z. (b) Quepeut-on dire du signe deqsa réponse.? Justier

3 4. Onconsidère le sous-ensembleDdeRdéni parD=RR]1; +1[, ainsi que la fonctionfdénie sur 2 Dpar :f(x; y; z) =xln(1 +z) + (y1) (z1) + 2z.

2 (a) Montrerquefest de classeCsurD. (b) Calculerles dérivées partielles dordre1defque. Montrerfne présente quun point critiqueM 0 . (c) Calculerles dérivées partielles dordre2defdéduire la Hessienne de. Enfau pointM 0 . (d) LepointM 0 est-il un maximum, un minimum, ou un point col pourf?

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EXERCICE 2 1 On considère un réel >0et la suite(un) n>2 dénie par :u n =. +1 nln (n) n X On note , pour tout entiernsupérieur ou égal à2,S n =u k . k=2 1 1. Soitla fonctionfdénie surI=]1; +1[parf(x) =.  ln (x) 20 (a) Montrerquefest de classeCsurIet calculer sa dérivéefque. Montrerfest concave surI. +1 Z 1 (b) Etudierla nature et la valeur éventuelle de lintégrale impropredt. +1 tln (t) 2 En déduire la nature de la série de terme généralu n . 0 (c) Soitun entierk>2. Montrerque pour tout réelt2[k;k+ 1],u k+1 6f(t). 1 1 (d) Endéduire que pour tout entierksupérieur ou égal à2,u k+1 6.   ln (k)ln (k+ 1) +1+1 X X Dans toute la suite , on noteL=u k et pour tout entiernsupérieur ou égal à2:R n =u k . k=2k=n+1 2. (a)Justier lexistence deR n . ExprimerR n à laide deLetS n . (b) Soitpetndeux entiers tels que26n < p. p X 1 1 Montrer grâce au1.d.que :u k 6.   ln (n)ln (p) k=n+1 1 (c) Endéduire que pour tout entiernsupérieur ou égal à2:06LS n 6.  ln (n) 2 3 1 1  4 5 3. (a)Montrer que :6"()n>exp (")  .  ln (n) (b) Compléter les parties pointillées du programme Turbo-Pascal suivant an quil demande deux réels strictement positifset"et a¢ che un entier naturelnet une somme partielleS n tels que lécart entre S n etLsoit inférieur à"rappelle que: (ontruncest la fonction partie entière). program esc2006; var S , epsilon , alpha :real ; k , n :integer ; begin writeln (....................................) ; readln (...............) ; readln (...............) ; n:=trunc(exp(exp(..............................)))+1 ; S :=O ; for k := 2 to n do ..............................; writeln (..............................) ; end . 6 (c) Onsuppose que les valeurs= 10et"= 10ont été entrées. Y aura-t-il une erreur due à un débordement à lexécution de ce programme ? 15 (on prendra2comme plus grand entier possible pour le type integer et on donneln(2)'0;69)

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EXERCICE 3 Le préliminaire nest utilisé quen2.eet2.f. Toutes les variables aléatoires sont dénies sur le même espace probabilisé(;F; P). 1.Préliminaires Soit(Y)varianceune suite de variables aléatoireV(Y). On n n 2N s admettant une espéranceE(Y n )et une n  suppose en outre quelimE(Y n ) =met quelimV(Y n ) = 0. n!+1n!+1 (métant une constante réelle ).   2 2 (a) MontrerqueE(Y n m) =V(Y n ) + (E(Y n )m). (b) Endéduire par inégalité de Markov que pour tout" >0, 2 V(Y n ) + (E(Y n )m) P(jY n mj>")6 2 " (c) Montreralors que(Y n )  converge en probabilité vers la variable certaine égale àm. n2N

Dans la suite de cet exercice on considère une suite(X i )  de variables indépendantes et de même loi. i2N Pour tout entier naturel non nuln, on noteM n la variable aléatoire dénie surparM n (!) =maxX i (!). ( 16i6n M n prend donc pour valeur la plus grande des valeurs prises parX 1 ; X 2 ; :::; X n et on remarque queM 1 =X 1 ).

2. Onsuppose ici que les variables(X i )  suivent la loi de Bernoulli de paramètrep2]0;1[. Onnoteq= 1p. i2N

(a) Montrerque(M 2 = 0) = ((X 1 = 0)\(X 2 = 0))et en déduire la loi deM 2 . n (b) Montrerplus généralement queM n suit une loi de Bernoulli de paramètre1q. (c) Soientretsdeux entiers tels que16r6sque si. Montrer(M r = 1)alors(M s = 1)déduire. En r E(M r M s ) = 1q, puis calculer la covariancecov(M r ; M s ). (d) Donnerla matrice de variance-covariance des variables(M 1 ; M 2 ; :::; M n ). (e) naireque Déduire du prélimi(M n ) n2N converge en probabilite vers la variable certaine égale à1.  (f) Montrerque(n(1M n ))  converge en probabilité vers la variable certaine égale à0. n2N

3. Onsuppose ici que les variables(X i )  sont des variables à densité indépendantes, de loi uniforme sur i2N [0;1].

(a) Rappelerla fonction de répartition dune loi uniforme sur[0;1]. n (b) Endéduire que pour tout réelxde[0;1],P(M n 6x) =x. Montrer queM n est une variable à densité. (c) Soit"un réel de]0;1]. CalculerP(jM n 1j6"). (d) Endéd clité vers la variable certaine égale à uire que(M n ) n2N onverge en probabi1.  (e) Soitun réel positif. i. Soitnun entier strictement supérieur à.   n  Montrer que :P(n(1M n )6) = 11. n   n   ii. Montrerque :lim 1=e. n!+1 n iii. Endéduire que(n(1M n ))  converge en loi vers une variable qui suit une loi exponentielle de n2N paramètre1.

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