Mathématiques 2006 TELECOM Management

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Examen du Supérieur TELECOM Management. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

1) Pas de question.

2)

Proble` me. Premi ` erePartie.

a)Paruner ´ ecurrencee ´ videntesurn, on montre que le degre´ deT n ` algea ´ tsen. n b) Soita n le terme de plus haut degre´ deT n , on a :a n+1 =2a n eta 0 =1, donca n =2. c) Par re´ currence surn, on poseP ( n) :∀pn, T p (cosθ ) =cospθ. P(0) est vraie, supposonsP ( n ) , T n+1 (cosθ ) =2 cosθT n (cosθ ) −T n−1 (cosθ ) D’o ` u:T n+1 (cosθ ) =2 cosθcosnθ−cos (n−1)θ, or,     n+ 1 +n−1n+ 1−n+ 1 cos (n+ 1)θ+ cos (n−1)θ=2 cosθcosθ 2 2

donc cos (n+ 1)θ=2 cosθcosnθ−cos (n−1)θetP ( n+ 1) est vraie. 3) La famille (T n reibn ´ eselonstun,c’ecerabesaseltleelefunste ) ´ echsontr ´ essdegraelrbceelilmali 0nN de cardinalN+ 1=dim (R N [ X ]) . 4) L’applicationx→T n ( x ) T m ( x) est continue sur [−1,e, on alors :1] , elle est donc borne´

| T n ( x ) T m ( x )|  2 1−x

M 2 1−x

1 1 1 Or∼, l’applicationx→ 1 ] rus ´ egrableestint−1,1[ car riemanienne 1 2 x→1 2 2 1−x 2 (1−x) 2 (1−x ) 1 1 d’exposant.Parparit ´ e,l’applicationx→ est inte´ grable sur ]−1,d,o’ [ 1l’ ` uplapaticniox→ 2 2 1−x T n ( x ) T m ( x ) estint ´ egrablesur ] −1,1[. 2 1−x    1π π T n ( x ) T m ( x) 1 5)dx=cosnθcosmθdθ=(cos [(m+n ) θ] + cos [(m−n ) θ ]) dθ 2 x=cosθ 2 −1 1−x 0 0 1   0 sim=n T n ( x ) T m ( x ) dx= π 2 sim=n. 1−x 2 −1

Deuxime Partie.

 1 P ( x ) Q ( x ) 1) L’application ( P|Q ) →dxstbillee)),euI)4tivipesoaeriil ´ nendiefin ´ etbeshte ´ dedov(eimrio 2 −1 1−x  a 2 P ( x ) de manie` re claire. De plus (P|P ) =0 entraıˆne∀a∈ ] −1,1[\{0}, dx=et0 , par continuite´ 2 −a 1−x positivite´ , on en de´ duit quePels de ]admet tous les re´ −a, a[ comme racines, doncPest nul. L’application  1 P ( x ) Q ( x ) ( P|Q ) →dxest un produit scalaire. 2 −1 1−x

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