Mathématiques 2007 Concours GEIPI

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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2007

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 mars 2008
• Nombre de lectures: 74
• Langue: Français

Extrait

Centre d’Examen :

NOM :

Epreuves de Mathématiques et de PhysiqueChimie Mercredi 9 mai 2007 9 h  12 h SUJET DE MATHEMATIQUES Nous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physiquechimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30. Il est noté sur 20 points. L’usage d’une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n’est autorisé. L’usage du téléphone est interdit. Quatre exercices indépendants sont proposés. Les démonstrations ne sont à rédiger que si elles sont explicitement demandées.

Ne rien inscrire cidessous

ISAT  ESIREM  POL YTECH’NiceSophia  POLYTECH’Orléans EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  T ELECOM Lille 1  ISEL

G ROUPEMENT D ’ É COLESD ’ I NGENIEURS P UBLIQUES ÀPARCOURS I NTÉGRÉ

PRENOM :

N° Inscription :

1 2 3 4 TOTAL

NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE

Lesujetcomporte10pagesnume´rote´esde2`a11

EXERCICE I - (7 points) Donnerlesre´ponsesdelaPartieAdecetexercicedanslecadrepre´vua`lapage3

Onconsid`erelasuiteder´eels(u n ) n∈N r:de´nfieiap   u 0 = 3  µ ¶ 13   u n+1 = u n +,pour tout n∈N 2 u n √ Le but de l’exercice est de montrer que la suite(u n ) n∈N converge vers3.

Partie A

∗ One´tudiedanscettepartielafonctionfe´diefinrsuRpar : + µ ¶ 1 3 f(x) =x+ ,pour tout x>0 2x SoitC f lacdevetiatnese´rperebruoflapaenprrstlpaon`ad´ereunre`ptroeonohe´mr(O,~ı, ~).

I-A-1-

I-A-2-a-

I-A-2-b-

I-A-2-c-

I-A-3-a-

I-A-3-b-

I-A-4-a-

I-A-4-b-

I-A-5-

2/11

Donner les limites defbouxasodeesrneniamodninfie´ded.tion

0 0 Calculerf(x)u`ofe´viedealtesre´df.

Compl´eterletableaudesvariationsdef.

Ende´duirequefadmet un minimummcesipn´rleo’uqera. µ¶ 1 Calculerlimf(x)− x. 2 x→+∞ Ende´duirequeC f admet, au voisinage de+∞, une asymptoteΔdont on donnera une´equation.

Donner l’expression de

Etudier le signe de

f(x)−x

f(x)−x

en fonction dex.

∗ en fonction dex∈R. +

Tracer la droiteDnodqe´’itauy=x, la droiteΔet la courbeC f .

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I-A-1-

I-A-2-a-

I-A-2-b-

I-A-2-c-

I-A-3-a-

I-A-3-b-

I-A-4-a-

I-A-4-b-

I-5-

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REPONSES A L’EXERCICE I (Partie A)

limf(x) = + x→0

0 f(x) =

x

0 f(x)

f(x)

m=

0

µ ¶ 1 limf(x)− x= x→+∞ 2

Δ

:

f(x)−x=

signe de

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x

(f(x)−x)

~

O

ı~

0

limf(x) = x→+∞

+∞

+∞

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EXERCICE I - (suite) Donnerlesr´eponsesa`laPartieBdecetexercicedanslecadrepre´vua`lapage5

Partie B

On rappelle que la suite(u n ) n∈N sedtr:eiape´nfi  u 0 = 3   µ ¶ 1 3   u= u n + , n+1 2 u n

I-B-1-

I-B-2-

I-B-3-a-

I-B-3-b-

4/11

pour

tout

n∈N

En utilisant laPartie A, montrer que pour tout entiern, on a : √ u n ≥3

En utilisant laPartie Aet la questionI-B-1-, expliquer pourquoi la suite(u n ) n∈N estd´ecroissante.

Expliquer alors pourquoi la suite(u n ) n∈N otnn.Oleemilemnduatelee´retilcette limite.

Justifier que

√ l= 3.

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I-B-1-

I-B-2-

I-B-3-a-

I-B-3-b-

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REPONSES A L’EXERCICE I (Partie B)

Pour toutn∈N,

√ u n ≥ 3

(u n ) n∈N tsece´droissantecar

(u n ) n∈N a une limitelcar

√ l= 3

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car

car

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EXERCICE II - (4 points) Donnerlesr´eponsesdecetexercicedanslecadrepre´vua`lapage7

Onseproposedanscetexercicedere´soudrel’´equationsuivantedansR:

II-A-1-a-

II-A-1-b-

II-A-2-a-

II-A-2-b-

II-A-3-

II-A-4-

II-A-4-a-

II-A-4-b-

II-A-4-c-

II-A-5-

6/11

Mettre

(E)

2x e

:

2 2x2+2x x+ (1−e)e x−e= 0

enfacteurdanslemembredegauchedel’e´quation(E).

D´eterminerl’expressiondeXen fonction dexpourquel’´equoitan(E)a-ivtiosuqe´ 0 lentea`l’e´quation(E)suivante :

0 (E)

:

2 2 2 X+ (1−e)X−e= 0

De´terminerler´eelbpour que l’on ait :

2 2 2 2 (1−e4) + e+= (1 b)

0 D´etermineralorslesdeuxsolutionsr´eellesX 1 etX 2 le´’dontiuaeq(E).

Ende´duirequexest une solution de(E)si et seulement sixve´irefinudees´equa- tions : g(x)h(x) x=−eoux=e o`ugethsnuqtcoidne´leo’inertermstifia.Juseon.laerepr´soonsfdent

x Onconside`redansunrep`ereorthonorme´(O;~,ı~), la courbeC 1 ´ed’noitauqy=e.

Parquelletransformationg´eom´etriquesimplelacourbeC 2 noitequad’´ sede´duit-elledeC 1 ?

Parquelletransformationg´eome´triquesimplelacourbeC 3 ’´dtuiaoenq sed´eduit-elledeC 1 ?

Tracer l’allure des courbesC 2 ,C 3 et la droiteDnd’e´uqtaoiy=x.

x y=−e

2+x y=e

De´terminergraphiquement,a`l’aidedelaquestionII-A-4-c-, le nombre de solutions del’´equation(E)itsulrefie´rasnope..J

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II-A-1-a-

II-A-1-b-

II-A-2-a-

II-A-2-b-

II-A-3-

II-A-4-a-

II-A-4-b-

II-A-4-c-

II-A-5-

(E)

X=

b=

:

X 1 =

g(x) = car

NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE

REPONSES A L’EXERCICE II

µ 2x e

C 2 etddeiues´dC 1 par

C 3 se´detiudedC 1 par

~

O

Nombre de solutions de(E):

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ı~

X 2 =

h(x) =

car

¶ = 0

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EXERCICE III - (5 points)

Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepre´vu`alapage9 Dansleplancomplexerapporte´a`unrepe`reorthonorm´e(O;,uv~~)lereoispsnt,nodie`ocsnA, B,CetFd’affixe respective : z A = 4 + 4i , z B = 4, z C = 7, z F = 4 + 3i. Onde´signeparEle point d’intersection des droites(AC)et(OF).

Partie A

III-A-1-

III-A-2-a- III-A-2-b-

III-A-3-

III-A-3-a- III-A-3-b- III-A-4-

Partie B

Faireunefigurecomple`te. z F Calculer rsifqourmg´eeable.sou z A −z C Quepeut-onde´duiredelaquestionIII-A-2-a-, pour les droites(OF)et(AC). Justifierlare´ponse. Onveutve´rifierquelepointFs´eer´dnopstniopedemeyst`edusentrarycltbese ½ ¾ (0 ; 3),(A;α),(C; 25−α),`ouαel.estunr´e −→ −→ −→ Exprimer le vecteurOFen fonction deα,OAetOC. De´terminerlavaleurdeα. Le pointEd’intersection des droites(AC)et(OF)ycentbarese`tmesusyrtde {(A;β),(C; 4)}D.ete´inrmlaerlevadeurβ.

Onconsid`erelescerclessuivants: - Le cercleC 1 , circonscrit au triangleBOF, de centreΩ 1 et de rayonr 1 . - Le cercleC 2 , circonscrit au triangleOEC, de centreΩ 2 et de rayonr 2 . - Le cercleC 3 , circonscrit au triangleABC, de centreΩ 3 et de rayonr 3 . - Le cercleC 4 , circonscrit au triangleAEF, de centreΩ 4 et de rayonr 4 .

III-B-1-

III-B-2-

III-B-3-

8/11

Donner les affixesz 1 ,z 2 ,z 3 etz 4 des pointsΩ 1 ,Ω 2 ,Ω 3 etΩ 4 . Calculerr 1 ,r 2 r 3 etr 4 .

Calculerz 3 −z 4 etz 2 −z 1 ique´ebrealgformsuos. Quepeut-t-onend´eduirepourlequadrilate`reΩ 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 ? z 3 −z 4 Calculerlaemrofsuqirbe´gseu.o z 1 −z 4 Quepeut-t-onend´eduirepourlequadrilat`ereΩ 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 ?

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