Mathématiques 2008 ENAC

Description

Examen du Supérieur ENAC. Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2008
• Énaction

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 13 juillet 2008
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

´ ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE ANNEE 2008

CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTES DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Du ´ee : 2 Heures r Coefficient : 1

Ce sujet comporte : • 1 page de garde, • 2 pages (recto-verso) d’instructions pour remplir le QCM, • 1 page d’avertissement • 10pagesdetexte,num´erot´eesde1`a10.

CALCULATRICE AUTORISEE

ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE

EPL/S 2008

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ` A LIRE TRES ATTENTIVEMENT L’e´preuvedemathe´matiquesdececoncoursestunquestionnaireachoixmultiplequiseracorrige ` ´ automatiquementparunemachine`alectureoptique.

´ ´ ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRE QU’UN SEUL QCM

1)Vousdevezcollerdanslapartiedroitepre´vuea`ceteffet,l’ ´etiquettecorrespondanta`l’´epreuve que vous passez ,c’est-a`-diree´preuvedemath´ematiques(voirmod`eleci-dessous).

´ POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pourpermettrelalectureoptiquedel’´etiquette,letraitverticalmate´rialisantl’axedelectureducode a`barres(enhauta`droitedevotreQCM)doittraverserlatotalite´desbarresdececode. EXEMPLES : BON

MAUVAIS ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ❆ ✁ ❆✁ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

MAUVAIS ❆ ❆ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ❆ ❆ ❆ ❆ ✁ ✁ ✁ ✁ ❆ ❆ ❆ ✁ ✁ ✁ ✁ ❆✁ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ❆ ❆ ❆ ❆

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3)Utilisezlesujetcommebrouillonetneretranscrivezvosr´eponsesqu’apr`esvouseˆtrerelusoigneu- sement. 4)VotreQCMnedoitpaseˆtresouille´,froiss´e,pli´e,´ecorne´ouporterdesinscriptionssuperflues,sous peined’ˆetrerejet´eparlamachineetdenepasˆetrecorrige´.

5)Cettee´preuvecomporte36questions,certaide´nse´cutifs,sontli´ees.Lalistedes nes, numeros co questionslie´esestdonne´eavantl’´enonc´edusujetlui-meˆme. Chaquequestioncomporteauplusdeuxre´ponsesexactes. 6)Achaquequestionnum´erote´eentre1et36,correspondsurlafeuille-r´eponsesunelignedecases quiportelemˆemenum´ero.Chaquelignecomporte5casesa,b,c,d,e. Pourchaquelignenum´erot´eede01a`36,vousvoustrouvezenfacede4possibilite´s: ◮ soitvousde´cidezdenepastraitercettequestion, la ligne correspondante doit rester vierge. ◮ soitvousjugezquelaquestioncomporteuneseulebonner´eponse vous devez noircir l’une des cases a, b, c, d. ◮ soitvousjugezquelaquestioncomportedeuxr´eponsesexactes, vous devez noircir deux des cases a, b, c, d et deux seulement. ◮ soitvousjugezqu’aucunedesre´ponsespropos´eesa,b,c,dn’estbonne, vous devez alors noircir la case e. Attention,toutere´ponsefausseentraˆınepourlaquestioncorrespondanteunep´enalite´ dans la note. ´ 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 1 2 + 2 2 vaut : A) 3 B) 5 C) 4 D) -1 Question 2 : le produit ( − 1)( − 3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question3:Uneracinedel’e´quation x 2 − 1 = 0 est : A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 Vousmarquerezsurlafeuiller´eponse:

1

2

3

a

a

a

b

b

b

c

c

c

d

d

d

e

e

e

EPL Mathmatiques

Question 1. Dans les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? A) ∀ θ ∈ R  cos 5 θ = 16 cos 5 θ + 5 cos θ . B) ∀ θ ∈ R  cos 5 θ = 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ . 5 + 5 C) cos  1 π 0 = . 8 D) cos  1 π 0 = 5 − 8 5 carcos 1 π 0 6 cos π . 3

Question 2. Soitleplanrapport´ea`unrep`ereorthonorme´direct( O − i →  −→ j ).Onconsid`erealorslespoints I (1  2), M (2  3) et M ′ ( 3  3 + 3). La similitude de centre I qui transforme M en M ′ est alors : A) de rapport 2, B) d’angle π 4 , 1 C) de rapport  2  , D) d’angle π . 3

Question 3. Soit n ∈ N ∗ .Oncherchea`re´soudre k = n X 1  n k  cos(2 kθ )=0ou` θ estuneinconnuer´eelle. A) Si θ est solution a n 1   sin 2 ( kθ ) = 2 n . lors X k n k = n B) X n k =1  k  cos(2 kθ ) = cos( nθ )  co 2 s θ  n . C) L’ensemble des solutions est  π + kπ k ∈ Z  ∪ n 2 π + kπ k ∈ Z o . n n D)Iln’yapasdesolution`acette´equation.

Question 4. Onconside`rel’application f quia`toutcomplexe z 6 = i associe f ( ) = z z − + i i z . On note U = { z ∈ C  | z | = 1 } et i R = { z ∈ C  Re( z ) = 0 } . A) f est une bijection de C \ { i } dans C . B) f ( i R ) = U . C) f ( U ) = i R \ { i } . D) f ( i R ) = R .

1

Question 5. On cherche le lieu des points d’affixe z tels que z , z 2 et z 5 soientlesaffixesdetroispointsalign´es. On note H cet ensemble de points et H c l’ensemble de leurs affixes. A) z ∈ H c ⇔ z ∈ i R ou z 3 + z 2 + z est imaginaire pur. B) Im( z 3 + z 2 + z ) = 3(Re( z )) 2 − (Im( z )) 2 + 2Re( z ) + 1. C) H estunehyperbolee´quilate`recentre´een  − 3 1  0  degrandaxeparall`ele`al’axedes imaginaires,dedemigrandaxe 3 2 . D) H contientunehyperbolecentr´eeen  − 1 3  0  degrandaxeparalle`lea`l’axedesimaginaires, dedemigrandaxe 2 3 etdontlesasymptotesontcommecoefficientsdirecteurs3et − 3.

Question 6. Onconsid`erelessuites( u n ) n > 2 et ( v n ) n > 2 de´finiespar: n ∀ n > 2  u n = Y cos 2 π k et v n = u n sin 2 π n k =2 A) ( u n ) n > 2 estcroissanteetmajore´epar1.Elleconvergedonc. B) ( v n ) n > 2 estunesuiteg´eom´etriquederaison 2 1 . C) ( u n ) n > 2 et ( v n ) n > 2 sont adjacentes. D) ( u n ) n > 2 convergevers 2 1 . Attention:questions7et8lie´es Question 7. Soitlafonctionr´eelle f de la variable t d´fi ie pa e n r : ∀ t > 0  f ( t ) = ln(1 + t ) t 2 + 1  + t 2 A) f estinde´finimentde´rivablesursonensembledede´finition,croissanteetconcave i ue im f ( t ) =1. B)Lacourberepr´esentativede f admet une asymptote obl q en + ∞ car t → l + ∞ t C) f r´ealiseunebijectionde R + sur R + etsare´ciproqueestd´erivablesur R + car ∀ t > 0  f ′ ( t ) 6 = 0. D) f r´ealiseunebijectionde R + sur R + etsar´eciproqueestd´erivablesur R + car toute bijection de´rivableadmetuner´eciproqued´erivable.

2

Question 8. En utilisant f d´efinieenquestion7),onpeutmontrerque ∀ n ∈ N ∗  ∃ ! a n  f ( a n ) = n 1 . A) ( a n ) n ∈ N ∗ est une suite croissante car f − 1 estde´croissanteet  n 1  estd´ecroissante n ∈ N ∗ B) ( a n ) n ∈ N ∗ converge vers 0 puisque f − 1 est continue en 0. C) ( a n ) n ∈ N ∗ converge vers 0 puisque ( a n ) n ∈ N ∗ estunesuited´ecroissanteet ∀ n ∈ N ∗ , a n > 0. 1 D . ) a n n → ∼ + ∞ n

Question 9. On suppose que f est une fonction continue sur R admettant une limite ℓ en + ∞ et a unre´el strictement positif. A) y 7→ Z 0 y f ( t ) dt est continue sur [ y y + a ]etd´erivablesur] y y + a [, ∀ y ∈ R . y → + ∞ Z y y + a f B) lim ( t ) dt = aℓ . X C) lim + ∞ Z f ( t + a ) − f ( t ) dt = Z 0 a f ( t ) dt + aℓ . X → 0 D) X l → im + ∞ Z 0 X Arctan( t + 1) − Arctan t dt = 2 1 ln2 − 4 π .

Question 10. Oncherche`acomparer e x avecsond´eveloppementlimit´e: n +1 A) ∃ θ ∈ ]0  1[  ∀ n ∈ N  e x = n k X + 0 1 x k k ! +  ( n x + 1)! e θx . = B) ∀ x ∈ R  ∀ n ∈ N  e x > 2 n X +1 x k k ! . k =0 C) ∀ x ∈ R  ∀ n ∈ N  e x > 2 X n x k k ! . k =0 D) ∀ x ∈ R −  ∀ n ∈ N  e x 6 2 X n x k k ! . k =0

Question 11. Soient a et b deuxfonctionsre´elles`avaleursstrictementpositivesdelavariabler´eelle x et α ∈ R telles que a ( x ) ∼ b ( x ). α A) Il existe une fonction ǫ d´efiniesurunvoisinagede α avec lim ǫ ( x ) = 0 et ln( a ( x )) = x → α ln( b ( x )) + ln(1 + ǫ ( x )). B) ln( a ( x )) ∼ ln( b ( x )). α + x 2 x ∼ 1 + x . C) ln(1  2  + sin 2 x ) ∼ 0 ln(1 + x ) car 1 +  2 x + sin 0 D) ln( | sin x | ) 0 ∼ ln( | x | ) car | sin x | ∼ 0 | x | et que | x | 6 = 1 sur un voisinage de 0.

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