Mathématiques I 2000 Classe Prepa B/L HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2000
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 91
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION Lettre et Sciences-Humaines (B/L) MATHEMATIQUES I Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires.Il se compose de quatres parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.

Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.

On considère une urneU n contenantnboules numérotées de1àn: On tire une boule au hasard dansU n :On notekle numéro de cette boule. Sikest égal à1;on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à2;on enlève de lurneU n les boules numérotés dekàn(il reste donc les boules numérotés de1àk1);et on e¤ectue un nouveau tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1: On noteX n la variable aléatoire égale au nombre des tirages nécessaires pour lobtention de la boule1: On noteY n la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(X n )etV(X n )(respectivementE(Y n )etV(Y n )) lespérance et la variance deX n (respectivementY n ):

Partie 1 n P 1 11 1. Onposeh n +1 += =  +: k2n k=1

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(a) Montrer,que pour tout entier naturelknon nul, les inégalités: 1 1 6ln(k+ 1)ln(k)6; k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités: ln(n+ 1)6h n 61 + lnn: (c) Déterminerun équivalent simple deh n quandntend vers linni. n P 11 1 2. Onpose:k n 1 ++= =  +. 2 2 k4n k=1 1 11 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à2;linégalité:6: 2 k k1k (b) Endéduire la majoration:k n 62: (c) Déterminerun équivalent simple deh n k n quandntend vers linni.

Partie 2 :Etude de la variable aléatoireX n

On noteI n la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneU n : 1. (a)Quelle est la loi deI n ? (b) Quelleest la loi conditionnelle deX n sachantI n = 1? (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrer :  8j2N;8k2 f2; : : : ; ng; P(X n =j=I n =k) =P(X k1 =j1)

2. (a)Quelle est la loi deX 1 ? (b) Quelest lévènement(X 2 = 1)la loi de? DonnerX 2 ;son espérance et sa variance. (c) Déterminerla loi deX 3 ;son espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queX n prend ses valeurs dansf1;2; : : : ; ng: (b) DéterminerP(X n = 1)etP(X n =n): n1 1 P (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrer:8j>2; P(X n =j) =P(X k =j1): n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à3etjsupérieur ou égal à2;calculer:nP(X n =j)(n1)P(X n1 =j): En déduire, sinest un entire supérieur ou égal à2 : n1 1 8j>1; P(X n =j) =P(X n1 =j) +P(X n1 =j1) n n 1 4. (a)Sinest supérieur ou égal à2;montrer, en utilisant 3.d):E(X n ) =E(X n ) +: n (b) EndéduireE(X n )et donner un équivalent simple deE(X n )quandntend vers linni. 2 2 5. (a)Sinest supérieur ou égal à2;calculerE(X)en fonction deE(X)et deE n n 1 (X n1 ): (b) Endéduire:V(X n ) =h n k n (en reprenant les notations introduites enPartie 1) (c) Donnerun équivalent deV(X n )quandntend vers linni. 6. Soit(T i ) i>1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutientier naturel non nul,T i n 1 P suit la loi de Bernouilli de paramètre:On poseS n =T i =T 1 +  +T n : i i=1

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(a) VérierqueX 1 etT 1 ont la même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à2;montrer pour toutjentier naturel non nul : 1n1 P(S n =j) =P(S n1 =j1) +P(S n =j) n n En déduire queX n etS n ont même loi. (c) RetrouverainsiE(X i )etV(X i ): n P k 7. Ondénit le polynômeP n par la relation:8x2R; P n (x) =x P(X n =k): k=1 (a) DéterminerP 1 etP 2 : (n1 +x) (b) Sinest supérieur ou égal à2;à laide du 3.d), montrer, pour toutxdeR:P n (x) =P n1 (x): n (c) EndéduireP n : (d) DéterminerP(X n =n1): 0 (e) CalculerP(1)et r n etrouverE(X n ):

Partie 3 :Etude de la variable aléatoireY n : 1. Donnerla loi deY 1 : 2. (a)Quelles sont les valeurs prises parY 2 ? (b) Déterminerla loi deY 2 : 3. (a)Sinest supérieur ou égal à2;montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à 2 : P(Y n =j=I n =k) =P(Y k1 =jk): (b) Sinest supérieur ou égal à2;en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à1 : n1 1 P(Y n =j) =P(Y n1 =j) +P(Y n1 =jn): n n (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrerE(Y n ) =E(Y n1 ) + 1:Que vautE(Y n )pour tout entiernnon nul ?

Partie 4 On considère lurneU n contenantnboules numérotées entre1etn:A partir de lurneU n ;on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans len-tête du problème.Pourientier def1; : : : ; ng;on dénitZla variable aléatoire égale i à1si, au cours de lun quelconque des tirages, on a obtenu la boule numéroi;égale à0sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZ n ? Quedire de la variableZ? 1 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2etiun entier def1; : : : n1g;montrer la relation : n X (n) 1 1 (k1) P(Z+= 1) =P(Z= 1): i i n n k=i+1 (n)  (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; : : : ; ng; Zsuit la loi de Bernouilli i 1 de paramètre: i n P (n) 3. QuevautZ? RetrouverainsiE(X n ): i i=1 4. RetrouverE(Y n ):

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