Mathématiques I 2000 Classe Prepa HEC (S) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2000
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 88
• Langue: Français

Extrait

HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.

p Ceproble`meapourobjetl’´etudedespointsenlesquelsuneapplicationline´airedeRdansR atteintsonmaximumsurl’ensembledessolutionsd’unsyste`med’in´equationslin´eaires. p Pour tout entierpstrictement positif, on identifieraRetM p,1 (R).

PartieI:Pre´liminaires On dit qu’une partieKnon vide deRlee´rn’iqursloeustxileetsamoj´reeMtel que

∀x∈K, x≤M Unr´eelMdejomantraleppnuele´tia’sstnecirafigelais´nv´eK; on dit aussi queMmajoreK. Dans ce qui suit on suppose queKeeidnvnoiertpaneutsedeeroe´mtjaR. SoitMun majorant deKeta´el´untdeemenKs(tee´nfiO.dnssiutielu n ) n∈N et (v n ) n∈N par    u n +v n u n +v n  n , v n majore passi neK u 0 =a 2 2 et∀n∈N,(u n+1 , v n+1 ) =   u n +v n v 0 =M  u n ,sinon 2 1)On suppose, dans cette question seulement, queK= [0,1[∪[3,4[, a= 0 et queM= 10. De´terminer(u n , v n ) pour tout entiernpatrapanenat`{1,2,3,4}. 2).eraluasiamro´ne´gsacevnrOesd´ntie a)Montrer que :∀n∈N, u n ≤v n . b)Montrer que les deux suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N tnseteocvnreegtnsontadjacelee´rnusrevb. c)Montrer que pour tout entier positifn,v n est un majorant deK, puis quebmajoreK. d)ntsde’´el´emeenustideelixtsueertr’iquonMKqui converge versb. 0 e)On suppose quebest un majorant deK. 0 •Montrer queb≥b. •ueireq´eduEndbenxdautinixioisehcapdsepdndee´aetMpourvu queairtanpepeana` Ket queMmajoreK. D´esormais,onnoteraα K le majorantbdeKainsi obtenu.

´ Partie II : Etude d’un exemple p 2 2 2 On munitRiefinrparonasedidcleume´eednnie||(x, y)||=x+ypour tout (x, y) appartenant 2 `aR. 1)sleer´esbromsnoitrreocsndie`nOa, b, c, tels que (a, b)6= (0,sioreltsolsrinat´dfie).On0 ensembles :   2 D= (x, y)∈R;ax+by+c= 0   2 2 R + = (x, y)∈R;ax+by+c >0 etR − = (x, y)∈R;ax+by+c <0 2 a)Montrer queR + est une partie ouverte deR.

Onpourramontrer,enutilisantlacontinuit´ede(x, y)7→ax+by+cen un point(x 0 , y 0 ) appartenanta`R + lixeq,’uouveouleunebisteeee´ncetrrtne(x 0 , y 0 )et incluse dansR + . 2 Il s’ensuit, mutatis mutandis, queR − eiuoevtrutenaptregalemeneedest´R, ce que l’on admettra. 0 0 b)Soit (x, y) et (yx ,stedmenee´´ldeux)R + M.lee´rtutourpoe,quertronλnetrappana`ta   0 0 [0,1], le coupleλx+ (1−λ)λyx ,+ (1−λ)yntie`apatrapR + . 0 0 c)On suppose que (x, y) et (x ,y)app`aennearticepsertntnemevitR + etR − . 0 0 Enconside´rantlafonctionλ7→a(λx+ (1−λ)x) +b(λy+ (1−λ)y) +c, montrer qu’il existe   0 0 λdans [0,1] tel queλx+ (1−λ)λyx ,+ (1−λ)yppara`taitneD. 2 2)Soitkedsetnenureitirtsmetctpenitos.Oifonncis`dredeseaptreisnonvidesetouverR: A 1 , . . . , A k . a)On suppose dans cette sous-question queA 1 ∩. . .∩A k est non vide. Montrer queA 1 ∩. . .∩A k 2 est une partie ouverte deR. Si(x 0 , y 0 )mseentdetun´el´eA 1 ∩. . .∩A k noomtnerlee´,stxinreuqurale’irstrictement positif tel que la boule de centre(x 0 , y 0 )et de rayonrsoit incluse dansA 1 ∩. . .∩A k . 2 b)Montrer queA 1 ∪. . .∪A k est une partie ouverte deR.   2 3)On note Δ l’ensemble(x, y)∈R;x≥0, y≥0,1−2x+y≥0 et 1+x−2y≥0 et gl’e´nfioidncitapalprsuieparΔ ∀(x, y)∈Δ, g(x, y) = 3x−y+ 4 −→−→ a)entergraRepr´estndΔnaushpqieuemnalpnPum(ernu’dinrteoerp`´ermnohoO, i , j). 2 b)oMrquentreunepΔestitrarefeee´mobte´erneedR. c)Montrer quegadmet un maximum sur Δ. 0 d)ledtsne’lbmedΔefin´earipCemaixumpmue-tlieˆrteatteintenunpoin   02 Δ =(x, y)∈R;x >0>, y0,1−2x+y >+0 et 1x−2y >0 e)rete´De’lrenimedblemnstsinpoesmaximumedeΔo`uce.ttstaetni    2 –11 01 4)malaictridnsre`enOoceAla matrice colonne= etB= . –1 2 0 11    x 1      x 2  4 On noteCl’ensembleX=   ∈R;x 1 ≥0, x 2 ≥0, x 3 ≥0, x 4 ≥0 etAX=B.  x 3    x 4   x 1  x 2  a)Montrer queX=   `tneitraapapCsi et seulement six 1 , x 2 , x 3 , x 4 satisfont : x 3 x 4 x 3 = 1−2x 1 +x 2 , x 4 = 1 +x 1 −2x 2 ,(x 1 , x 2 )∈Δ   2  4  4 b)re`d´’lecnOisnoel´ementW=   trnena`tpaapaR. 1 3 4 t On munitRde son produit scalaire canonique :hX, Yi=XY`ldarmeen´oeigseOa.cnnelt fonctionfd´esurefiniCpar : ∀X∈ C, f(X) =hX, Wi   x 1  x 2  •Montrer quef(X) =g(x 1 , x 2 )oprutout´el´ementX=   tearntna`appaC. x 3 x 4 •sembl’eninertermlnsetnespsioeledselqu´eDfatteint son maximum surC. 2

Partie III : Sommets et maximum D´esormaisnetpsf.tnopisittrictemeentiersssedtnorengise´d Onconsid`ereunematriceAnanea`tpatrapM n,p (R), et deux matrices colonnesBetW n p appartenantrespectivement`aRetR. p Pourtout´ele´mentXdeRet pour toutiapaaptrnena`t[1, p]], nous noteronsX i saime`e-i   X 1   composante, et ainsiX=. . X p p Ondiraqu’une´le´mentXdeRstesipoircearefit´notX≥0, lorsque toutes ses composantes sont positives. pt On munitRde son produit scalaire canonique :hX, Yi=XY. p Onconside`rel’ensembleC={X∈R;X≥0 etAX=B}et l’applicationfuresniefid´Cpar ∀X∈ C, f(X) =hX, Wi Onditqu’un´ele´mentZdeCest un sommet deClorsque    0 0020 000 00 ∀(ZZ ,)∈ C,∀λ∈]0,1[, Z=λZ+ (1−λ)Z=⇒Z=Z   X 1   p SiX=edtnluet´sneeme´R, on noteras(X)l’ensemble{i∈[1, p]];X i 6= 0}; cet . X p ensembleseraappele´lesupportdeX. 1 2p Enfin, on notera. . . , CC ,C ,les colonnes deA. Toutescesnotationsserontutilis´eesjusqu’`alafinduprobl`eme. p 1)´Vquerifierel’´ilesuntneme´edlRent`artippaaC, alors il est un sommet deC. 2)onsualetn´ersg´euaaceitnrnveOequitusiuqecsnadesoppCest non vide et quefatteint son maximum surCenU.Ceares´tonxamemumiM 0 . Le but de ce qui va suivre est de construire un sommet deCen lequelfatteint son maximum. On suppose donc queUn’est 0 00 pas un sommet deCstcnit´xuee´letnemsidstoeonncd`siederU , Uappaat`anenrtCet un 0 00 r´eelλna`ttrnepaapa]0,1[ tels queU=λU+ (1−λ)U. 0 0000 0 a)e´Vifierquerf(U) =f(U) =f(Uur)tene´delevecteeduirequV=U−Uest orthogonal `aW. 00 0 Le vecteurU−Unesumpcoanosnotelunnteeltiuqa`ettant´elui,onnnomnialua 0 0000 0 ´echangerUetUon peut supposer que le vecteurVa`´alegU−Uadmet une composante strictementne´gative.C’estcequenoussupposonsd´esormais. 0 00 b)•Montrer ques(U)⊂s(U), s(U)⊂s(U) ets(V)⊂s(U). •´etrelouPourtµ, calculer :A(U+µV). •Montrer ques(U+µV)⊂s(Utuotruop)leer´µ. i c)Montrer que la famille (C) i∈s(U) ee.tli´esrenpoOurraconsid´erAV. d)eerOcnnois`dK={µ∈R;U+µV∈ C}. •Montrer queKjaroeemtee´departtunenvidienoseR. •Montrer queU+α K Vneitrappaa`tCet quef(U+α K V) =M 0 . Le nombreα K ´et´ed´e.arapaIeitdinfilsna e)On suppose que, pour toutiraetapp`anants(U), lai-ietnasopmoceme`Y i de la colonneY ´egale`aU+α K Vest non nulle.  En remarquant que pour toutiantnraetappa`s(U), limU i + (α K +µ)V i ) =U i +α K V i , + µ→0 justifierl’existenced’unre´elη, strictement positif, tel queU+ (α K +η)Vpaapann`etreiC. Ende´duireques(U+α K V) est strictement inclus danss(U). (1) (1) f )nodse´osuonstoreNrmaisU=U+α K Vet nous supposons queUn’est pas un sommet deC. (2) Enseservantdesquestionspr´ec´edentes,montrerquel’onpeutconstruireun´ele´mentU (2) (2)(1) deCtel quef(U) =M 0 et tel ques(U) soit strictement inclus danss(U). 3