Mathématiques I 2001 Classe Prepa B/L HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2001
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 92
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES I Année 2001

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

On dispose denjetons numérotés de 1 àn,nOn tire, au hasardétant un entier strictement supérieur à 1. et sans remise, les jetons un à un.La suite(a 1 ;a 2 ;:::;a n )des numéros tirés est aussi appelée permutation de lensemblef1; 2;:::;ng. Étant donné deux entiersketpvériant1< k < p < n, la suite(a k ;:::;a p )se réduisant à (a k ) dans le cas où kest égal àp, est appelée sous-suite de(a 1 ;a 2 ;:::;a n )et son nombre déléments est appelé longueur de cette sous-suite. On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de lunivers, ensemble des permutations def1; 2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties()et de la probabilité uniformeP, ce qui signie 1 que, pour toute permutation!def1; 2;:::;ng, on a :P(f!g) =. n! SiXest une variable aléatoire dénie sur(; ();P), on noteE(X)son espérance etV(X)sa variance. SiXetYsont deux variables aléatoires dénies sur(; ();P), on noteCov(X;Y)leur covariance.

Préliminaire SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dansf1; 2;:::;mgoùmest un entier strictement supérieur à 1. m P Montrer légalité :E(X) =P([X>k]). k=1

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Partie 1 :Première sous-suite croissante. Étant donné une permutation(a 1 ;a 2 ;:::;a n )def1; 2;:::;ng, la première sous-suite croissante est dénie de la façon suivante : dans le casa 1 < a 2 < ::: < a n , la première sous-suite croissante est(a 1 ;a 2 ;:::;a n ); dans le cas contraire,kétant le plus petit entier def1; 2;:::;n1gvérianta k > a k+l , la première sous-suite croissante est(a 1 ;:::;a k ). SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe la longueur de sa première sous-suite croissante. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, comme2<3<5et5>4, on a :L(!) = 3.

1. (a)Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L=n])? 1 (b) Montrerque, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L > k]) =. Endéduire la loi deL. k! 2. Donner la valeur deE(L)sous forme dune somme et déterminer la limite deE(L) quandntend vers linni.

Partie 2 :Deuxième sous-suite croissante.

Étant donné une permutation(a;a;:::;a)def1; 2;:::;nget sa première sous-suite croissante(a;:::;a), 1 2n1 k si celle-ci se termine para n (i.e. sik=n), on dit que la deuxième sous-suite croissante nexiste pas ; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de(a k+l ;:::;a n )est appelée deuxième sous-suite croissante de(a 1 ;a 2 ;:::;a n ). 0 SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe 0 sil nexiste pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire. 0 Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, la deuxième sous-suite croissante est(4; 9)et lon a :L(!) = 2.

0 0 1. Quellessont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L= 0])? 2. Onsuppose, dans cette question seulement, quenest égal à 3. 0 (a) Montrerque la loi du couple(L;L)est donnée par le tableau suivant : 0 LL1 2 3 0 00 1/6 1 1/61/3 0 2 1/30 0 0 (b) Donnerla loi deLet calculer son espérance. 0 (c) Calculerla covariance deLet deL. Pouvait-onprévoir le signe de cette covariance ?

3. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.

(a) Dénombrerles parties de lensemblef1; 2;:::;ngdistinctes de;,flg,f1; 2g,...,f1; 2;:::;n1g 0 (b) EndéduireP([L+L=n]). k 2k 0 (c) Montrerde même que, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L+L>k]) = k! 0 (d) Donnerla valeur deE(L+L)sous forme dune somme. 0 (e) EndéduireE(L)et sa limite quandntend vers linni.

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Partie 3 :Nombre de sous-suites croissantes. Étant donné une permutation(a 1 ;a 2 ;:::;a n )def1; 2;:::;ng, si sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas para n , on dénit la troisième sous-suite croissante à linstar de la deuxième, etc., jusquà ce que lon ait déni une sous-suite croissante se terminant para n . SoitTla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe le nombre de ses sous-suites croissantes. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;;comme les sous-suites croissantes sont(2; 3; 5),(4; 9),(6; 7; 8) et(l), on a :T(!) = 4.

1. (a)Donner la loi deTdans le cas oùnvaut 2.Calculer son espérance et sa variance. (b) Donnerla loi deTdans le cas oùnvaut 3.Calculer son espérance et sa variance.

2. Onsuppose désormais lentiernsupérieur ou égal à 4.

(a) CalculerP([T= 1])etP([T=n]). 0 (b) Comparerles événements[L+L=n]et[T62]déduire la valeur de. EnP([T= 2]). (c) Donnerla loi deTdans le cas oùnCalculer son espérance et sa variance.vaut 4.

3. Pourtout entieridef1; 2;:::;n1gsoitA i lévénement égal à lensemble des permutations(a 1 ;a 2 ;:::;a n ) vérianta i > a i+l , et soitX i la variable aléatoire qui, à toute permutation!, associe 1 si!2A i et 0 sinon. 1 (a) MontrerqueX i . Donnerson espérance et sa variance.suit la loi de Bernoulli de paramètre 2 n+ 1 (b) Donnerune expression deTen fonction deX i . Endéduire légalité :E(T) =. 2 1 (c) Montrerque lon a :8i2 f1;:::;n2g; P(A i \A i+l ) =déduire la valeur de. EnCov(X i ;X i+l ) 6 (d) Montrerque, pour tout couple(i;j)dentiers vériant16i < i+ 26j6n1, les événementsA i et A j sont indépendants.En déduire légalité :Cov(X i ;X j ) = 0. n+ 1 (e) Établirenn légalité :V(T) =. 12 4. Onsuppose, dans cette question.quenOn considère 1000 variables aléatoiresest égal à 5.T l ,...,T 1000 , mutuellement indépendantes, de même loi que la variableTet on noteSla variable aléatoire égale à 1000 1 P T i . 1000 i=1 On notela fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et on donne la valeur approchée suivante p :( 5)0;987. Calculer une valeur approchée de la probabilitéP([2;95< S <3;05]). 5. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.

(a) Si(a 1 ;a 2 ;:::;a n )est une permutation def1; 2;:::;ngetkle nombre de ses sous-suites croissantes, quel est le nombre de sous-suites croissantes de la permutation(a n ;a n1 ;:::;a 2 ;a 1 )? (b) Endéduire, pour tout entierkvériant16k6n, légalité :P([T=k]) =P([T=n+ 1k]). Retrouver ainsi la valeur deE(T).

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