Mathématiques I 2002 Classe Prepa B/L HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2002
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 77
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION BL MATHEMATIQUESII Année 2002

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

On appelledurée de viedun composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusquà sa première panne éventuelle.On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoireTdénie sur un espace probabilisé(;B;P), à valeur dansR + . SiFest la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelleloi de surviedu composant la fonctionD dénie surR + par: 8t2R + ; D(t) = 1F(t) Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.

Partie 1 :Cas discret

 On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire à valeurs dansN. Un premier composant est mis en service à linstant0et, quand il tombe en panne, il est remplacé instantanément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à linstant de sa première panne dans les mêmes conditions, et ainsi de suite. On suppose alors que, pour tout entier strictement positifi, la durée de vie dui-ème composant est une variable aléatoireT i , dénie sur(;B; P), de même loi queT. Lesvariables aléatoiresT i sont supposées mutuellement indépendantes. Pour tout entier strictement positifn, soitU n la variable aléatoire dénie sur(;B; P)qui représente le nombre de pannes (et donc de remplacements) survenues jusquà linstantninclus.

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A. Coe¢ cientdavarie Dans cette sous-partie, la loi de la variable aléatoireTest telle que, pour tout entier natureln, lon ait : D(n)6= 0. Un composant est mis en service à linstant0tout entier naturel. Pournnon nul, on appelle coe¢ cient davarie à linstantndu composant, la probabilité quil tombe en panne à linstantn, sachant quil fonctionne encore à linstantn1, cest-à-dire le nombre n déni par :

 n =P([T=n]=[T >n1])

1) Exprimer, pour tout entier naturel non nuln, la probabilitéP([T=n])en fonction deD(n)et de D(n1), et en déduire légalité : D(n1)D(n) = n D(n1) 2) Onsuppose quepest un réel de lintervalle]0;1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrep. a) Quelleest lespérance de la variable aléatoireT? b) Calculer,pour tout entier natureln,D(n)en fonction den. c) Endéduire pour tout entier naturelnnon nul, légalité: n =p. 3) Réciproquement,on suppose dans cette question quil existe un réel strictement positiftel que lon a :  8n2N;  n =: a) Établir,pour tout entier naturel non nuln, légalité :D(n) = (1): D(n1). b) Endéduire queTsuit une loi géométrique et préciser son paramètre.

B. Nombremoyen de pannes successives dans un cas particulier On suppose, dans cette sous-partie, quepest un réel de lintervalle]0;1[, que la loi deTest donnée par :

P([T= 1]) =petP([T= 2]) = 1p:

Pour tout entier strictement positifn, soitR n la variable aléatoire dénie sur(;B; P), prenant la valeur1 si une panne survient à linstantnet la valeur0sinon. Sonespérance est notéer n .

1) a)Calculer lespéranceE(T)de la variable aléatoireT. b) Calculerretr. 1 2 2) Soitnun entier strictement positif. a) Àlaide de la formule des probabilités totales, écrire une relation donnantP([R n+2 = 1])en fonction deP([R n+1 = 1])et deP([R n = 1]). b) Endéduire légalitér n+2 =p r n+1 + (1p)r n . 1 n 3) véri a) Montrerque la suite(r n ) n2N e :8n2N; r n = +B(p1)oùBest une constante  2p réelle que lon précisera. 1 b) Endéduire que lon a :limr n =: E(T) n!1 4) SoitnExprimer la variable aléatoireun entier strictement positif.U n à laide des variables aléatoires R i , calculer lespéranceE(U n )et en donner un équivalent simple quandntend vers linni.

C. Nombrede pannes successives dans le cas dune loi géométrique On suppose à nouveau, dans cette partie, quepest un réel de lintervalle]0;1[et queTsuit la loi géométrique k P de paramètrep. Pourtout entier naturel non nulk, on pose :S k =T i . i=1 (S k désigne donc linstant où se produit lak-ième panne et lek-ième remplacement.)

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1) SoitmDémontrer par récurrence surun entier naturel.n, pour tout entier naturelnvériantn>m, n P m m+1 légalité :C=C : j n +1 j=m 2) a)Déterminer la loi de la variable aléatoireS 2 égale àT 1 +T 2 . b) Montrer,par récurrence que, pour tout entier naturel non nulk, la loi deS k est donnée par : k1 k nk ) =C p 8n>k;P([S k =n] n1 (1p) 3) Soitnun entier strictement positif. n a) ÉtablirlégalitéP([U n = 0]) = (1p). b) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk, lévénement[U n >k]à laide de la variable aléatoire S k . c) Endéduire queU n suit la loi binomiale de paramètresnetp. 1 4) Danscette question, le nombrepest égal à. 200 On considère alors un appareillage électronique utilisant simultanément1000composants identiques fonctionnant indépendamment les uns des autres et dont la durée de vie suit la même loi queT. À chaque instant, les composants en panne sont remplacés par des composants identiques comme précédemment. a) Préciserla loi de la variable aléatoireUdésignant le nombre total de remplacements de composants e¤ectués jusquà linstantnégal à100inclus. b) Ondésire quavec une probabilité de0;95sant jusquà, le stock de composants de rechange soit su¢ linstantnégal à100inclus. Acombien peut-on évaluer ce stock ? r 995 On donne:'22;3et, en désignant parla fonction de répartition de la variable aléatoire 2 normale centrée réduite,(1;65)'0;95.

Partie 2 :Cas continu  On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire de densitéfnulle surR, continue surR + et   strictement positive surR. + A. Loide survie et coe¢ cient davarie Pour tout réeltpositif, on appelle coe¢ cient davarie à linstanttle nombre(t)déni par: f(t) (t) = D(t) 1) Soittun réel positif. Pour tout réel strictement positifh, on noteq(t; h)la probabilité que le composant tombe en panne entre les instantstett+hsachant quil fonctionne encore à linstantt, cest-à-dire le nombreq(t; h) déni par : q(t; h) =P([T2]t; t+h]=[tT >]): D(t)D(t+h) a) Établirpour tout réelhstrictement positif, légalité:q(t; h) =: D(t) b) Montrerque la fonctionDest dérivable surR + et préciser sa fonction dérivée. q(t; h) c) Montrerque le rapporta pour limite(t)quandhtend vers0par valeurs supérieures. h 2) Onsuppose dans cette question queest un réel strictement positif et queTsuit la loi exponentielle de paramètre. a) Détermineralors la loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative.

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1 b) Établir,pour tout réeltpositif, légalité(t) =, où E(T)désigne lespérance de la variable E(T) aléatoireT. 3) Onsuppose dans cette question que la densitéfde la variable aléatoireTest dénie par : ( 2 t  t esit>0 2 f(t) = 0sit <0 a) Vérierque la fonctionfainsi dénie possède les propriétés dune densité de probabilité. r +1 2 +1 2 R t R t   2  b) Justierles égalités:e dt= =t edt. 2 2 2 0 0 c) Calculerlespérance de la variable aléatoireT. 2 d) Montrerque la variable aléatoireTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. En déduire la variance de la variable aléatoireT. e) Déterminerla loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative en précisant 1  la tangente au point dabscisse0On donne :et le point dinexion.e'0;607. 2 f) Calculer,pour tout réeltpositif, le coe¢ cient davarie(t). 4) Onsuppose dans cette question quil existe une constantestrictement positive telle que lon a : 8t2R + ; (t) =:  t a) Pourtout réeltpositif, on pose :g(t) =e D(t)que la fonction. Montrergest constante surR + . b) Endéduire queTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. B. Entretienpréventif On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes dentretien. On suppose que la variable aléatoireTadmet une espérance (nécessairement strictement positive) notée E(T)et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement dun composant. On considère que la panne dun composant provoque un préjudice de coûtC, et que son remplacement a un coûtK. Une première méthode dentretien consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement.On estime K+C alors que le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné par :c 1 =. E(T) Une deuxième méthode dentretien consiste à se xer un réelstrictement positif et à remplacer le composant dès sa panne si elle survient au bout dune durée de fonctionnement inférieure à, sinon à le remplacer au bout de sa duréede fonctionnement. On estime alors que le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné en fonction depar : K+ (1D())C c 2 () =  R :D(t)dt 0 1) SiTadmet une densitéfcontinue surR + , à laide dune intégration par parties, établir la formule :   Z Z f(t) :D(t)dt=P([T6]): :tdt+P([T >]): F() 0 0  R Lintégrale:D(t)dtpeut donc sinterpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant 0 dans la deuxième méthode. 2) Calculerc 1 et, pour tout réelstrictement positif,c 2 ()dans le cas oùTsuit la loi exponentielle de paramètre. Montrer qualors la deuxième méthode ne présente pas davantage.Comment peut-on expliquer ce résultat ?

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3) Onsuppose queTsuit la loi décrite dans la questionA.3. a) Préciserla valeur dec 1 et montrer que lon a :limc 2 () =c 1 : !+1 b) Pourtout réel strictement positif, on pose :  Z   2 2 1 t    '() =C :edtK+C1e 2 2  0  Montrer que la fonction'est dérivable surRet que sa dérivée est strictement positive. + En déduire le tableau de variations de'. c) Étudierles variations de la fonctionc 2 et montrer quelle admet un minimum en 0 qui vérie : c()< c. 2 01 r   2K d) Établirlégalitéc 2 ( 0 ) =C 0 puis linégalité 0 <1 +:  C e) Onsuppose, dans cette question, queKetCsont tous deux égaux à1, et on donne :c 2 (1;5) = 1;5429etc 2 (1;45) = 1;5439. En déduire un encadrement de 0 damplitude0;1.

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