Mathématiques I 2004 Classe Prepa MP Concours Mines-Ponts

Description

Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 26 février 2007
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

A 2004 Math MP 1

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`reMP (Dure´edel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`repagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Fili`ereMP.

Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte. Si,aucoursdel’´epreuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd’´enonce´,illesignalesur sacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamene´a`prendre.

L’objetdeceproble`meestprincipalementl’´etudeetlecalculdel’inte´gralesuivante: Z ∞ arctant I=dt . π t e−1 0

Premi`erepartie

Lebutdecettepartieestd’e´tabliruneexpressiondel’inte´graleIerlafonctdi’o´netuditeϕfinied´e par la relation suivante : arctant ϕ(t) =. π t e−1

Variations de la fonctionϕ: 1.D´eterminerune´ventuelprolongementparcontinuite´delafonctionϕen 0. ´ 2. Etudierles variations de la fonctionϕsur la demi-droite ouverteD= ]0,∞nassere´tpeut[;ileintˆetr d’introduire la fonction auxiliaireψitalusnorapeerald´niefiivante: −π t 1−e ψ(t) =−πarctant . 2 1 +t

1

Ende´duirelabornesup´erieuredelafonctionϕsurD. Existenceetexpressionsdel’inte´graleI: 3.Justifierl’existencedel’inte´graleIelarrlpauinsioat:eavtneinfie´d Z ∞ arctant I=dt . π t e−1 0

4.D´emontrerlesdeuxrelationssuivantes: ∞ Z ∞ Z ∞ ∞ −k π t X X 1e −k π t I=earctant dt;I=dt . 2 k π1 +t 0 0 k=1k=1

Deuxi`emepartie

Le but de cette partie est d’introduire une fonctionfnoa`afc¸fsrortnadeeunetbossexesrlmeonsiespr pre´ce´demmentpourl’int´egraleIet`apouvgr´eeallreltni’criouclaI.Soitftionrelaarlainpe´dfieitnoofcnla suivante :

Z ∞ − x t e f(x) =dt . 2 1 +t 0

Propri´ete´sdelafonctionf: 5.De´terminerl’ensembleded´efinitiondelafonctionfecr´.Penl’erisadelbmesleuqelsnnctilafoonf estcontinue;quelleestsalimitelorsqueler´eelxtend vers l’infini ?

´ 6.Dansquelensembleest-elledeuxfoiscontinˆumentd´erivable?Etablirunerelationsimpleentrela fonctionfeeesir´veocdnad´eetsf´sur la demi-droite ouverteD= ]0,∞[.

Deuxint´egrales: ´ Soitanu´reeslrtcimeteponttisif(a >.)0natEnodtue´nlerne´X`aegalrou´iruepue´sa(X≥a), soient S(X) etC(Xraegt´inuxdees)ltnse:elssiuav Z Z X X sintcost S(X) =dt;C(X) =dt . t t a a 7.Existe-t-ilunelimitea`chacunedesexpressionsS(X) etC(X),loreeller´squeXcroˆıt vers l’infini ?

Soientgethd´efiniessurladem-irdioetuoevtredselfxuetcnosnoiDsuivantes :par les relations Z ZZ Z ∞X∞X sintsintcostcost g(x) =dt= limdt;h(x) =dt= limdt . t tt t X−→∞X−→∞ x xx x

Une expression de la fonctionf:

2

8.R´esoudrel’e´quationdiffe´rentiellev´erifi´eeparlafonctionfdans la demi-droite ouverteD= ]0,∞[ ;exprimerlasolutiong´ene´raledecette´equation`al’aidedesdeuxfonctionsgeth.

9.End´eduirelesdeuxexpressionsci-dessousdelafonctionf: Z Z ∞ ∞ sinusin (xt) f(x) =du=dt . u+x1 +t 0 0

Troisi`emepartie

Unr´esultatinterme´diaire: 10.Enutilisantlesre´sultatse´tablisdanslespremi`ereetdeuxie`meparties,de´montrerlarelation suivante : ∞ Z ∞ X 1 sin(k u) I=du . k ππ+u 0 k=1

11.D´emontrerlere´sultatsuivant:  ! ∞ Z ∞ ∞ X X 1 11 1cos (nu) I=−du. 2 2 2 2 π kπ n 0 (u+π) k=1 n=1

2∗ Sommedelase´riedetermege´ne´ralcos (nu)/n , n∈N: SoitGfanotcoi2elriodep´equediodire´p,ellee´retiodrlauresniefid´n,π(G(x+ 2π) =G(x)), dont la restriction au segment [0,2π:ee´dtse]lrapeinfiioatelarntvauins 2 2 x πxπ G(x) =−+. 4 2 6

´ 12.Etudierlaparite´delafonctionGmentoppeevelled´rueiedoFreeine´stsencieffico`ar,´e.Drmteerin r´eels,decettefonctionG. Quelleestlanaturedelaconvergencedelas´eriedeFourier? 2∗ 13.Ende´duirelasommeT(xs´lade)tedeieere´´nmrgeoc(srelanx)/n , n∈N,lorsleuqe´relex appartient au segment [0,2π] : ∞ X cos (nx) T(x) =. 2 n n=1 2∗ End´eduirelasommeSne´gemretedeire´aseldl1´eran/n ,∈N: ∞ X 1 S=. 2 n n=1

Valeurdel’inte´graleI:

3

Soita k esalvauint’igr´einfielrape´re´dleltn:e  ! Z ∞ 2 (k+1)π X 1 cos(nu) a k =du. 2 2 n 2k π (u+π) n=1 14. Calculer,pour tout entier naturelk,uedrvalalelrue´a k . SoitNSoitun entier strictement positif.I N fieinaplrraletaoicn-iedsslueor:´seeld´ N−1   X 2n+ 3 I N =−1 + (n+ 1) ln. 2n+ 1 n=0 15.De´montrerquelavaleurdel’inte´graleIt´egesalalale`ledetimi(etiusaI N ) ∗ : N∈N

I= limI N . N−→∞ End´eduirequel’int´egraleItneg.eoceirevnne’uers´solaedmmets

16.Apr`esavoirmontr´equel’expressionE N (= expI N tiudorpnua`elaget´es)afeduetcd,srete´inrmer lavaleurdel’int´egraleI.

SoitJ:etnaviul’int´egrales Z ∞ arctant J=dt . 2π t e−1 0 Ilestfaciledecalculerl’int´egraleJlculerl’vipourcaelni´tgear´eemodthlaaremmˆiuqeresaeuqellecp I; il vient :   1 ln(2π) J= 1−. 2 2

SoitKe:vantesuigrale´tni’l

Z ∞ arctant K=dt . π t e+ 1 0

Calculdel’inte´graleK: 17.Calculerl’inte´graleK´esultatobtenupo,snetulisinaltreiefin´e,dsues-dci’lru´tniargeelIet la valeuradmisepourl’int´egraleJ.

` FIN DU PROBLEME

4