Mathématiques II 2003 Classe Prepa B/L HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003
• HEC

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

OPTION LETTRES ET SCIENCES HUMAINES

´ MATHEMATIQUES II

Mardi13mai2003,de8ha`12h.

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautoris´ee.

Leprobl`emeapourobjetl’e´tudedelarentabilite´du«surbooking»pourunecompgainaee´irneen.

PartieI:Expressiondel’espe´ranceduchiffred’affaire

Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Ntienuneiruuoe´reus´pretgal`a2,eptnemrtsletciunr´ee compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavendun17q4velotucaiuepnteu`aceourlrospstellibeicuirllsqju`au’Npassagers. Laprobabilit´epourqu’unacheteursepre´sentea`l’embarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepr´esentepas`al’embarquementestrembours´e`a80%,tandisqu’unacheteurquise pr´esente`al’embarquementmaisn’obtientpasdeplace,levol´etantde´ja`complet,estrembourse´`a200%. SoitXcaeher’ddsu’etruletsnbilesenepr´’la`tnateuqrabme,ntmelavabairlaeltae´erioesd´naiglentmbno soitYsiamtnmeuerqbaeml’`antrivalaonelerbmgisetnanoiatd´releab´eal´rseneatlielstpeursd’unbd’achete n’obtenant pas de place et soitGonemnttaenriote´dengisltna´laelbaeraailvacentainesd’euros du chiffre d’affairedelacompagniesurlevolconside´r´e. Onsupposecesvariablesal´eatoiresd´efiniessurlemˆemeespacedeprobabilite´(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deXnoD?p´erancenersonesnaec.teasavir 2.ou,pourtecr´eristnPle´teme´ωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenfnitseal`au´egeuro´eriN. Calculeralorsl’esp´eranceE(Gaelbae´lvaleaira)dtoireG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilit´eP([X>Nreet])ovria`asonbmiselnuraiaetretpuˆ choisidefac¸ona`optimisersonchiffred’affaire.

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Partie II : Approximations dans des cas particuliers Onreprend,danscettepartielesnotationsetlesd´efinitionsdelaPartieI. 1.On suppose, dans cette question, quepl`a0est´ega,5. 2X−n ∗ ∗ a) SoitXedirfin´el´eatoearavalbailr:paieX= √ ∙ n ∗ Donnerl’espe´ranceetlavariancedelavariableale´atoireX. ∗ b) Parquelle loi approcher la loi deXsinestasszergna?doMtnerqrruelavenusrola’ueeh´ocprap   n+ 1−2N delaprobabilite´P([X>N]) est Φ √ , n ou`Φde´signelafonctionder´epartitiondelaloinormalecentr´eer´eduite. x+ 1−2N c)Pourtoutre´elxreeiruuous´pnp,oe:osga´ea1l`f(x) = √ ∙ x Montrer que la fonctionfest croissante.    7 6 d) Onsuppose queNote023a`lage´tsednnoenΦ: √ ≈ 0,Φ609 ; √ ≈ 0,592 . 646 645 Quepeut-onend´eduirepourP([X>N]) sinrou´rieu`a64egalissiup,5fne´seitnurieer´pustse ou´egala`646? ∗ 2.Pour tout entier naturel non nulmid`erela,onconsofcnitnog m ´dfieinuresRpar + m X k x −x g m (x) =e k! k=0 m x ∗ 0 −x a)Montrerquelafonctionde´rive´edeg m ´dtesinfieruseRpar :g(x) =−e∙ +m m! m m ∗ −m0 Montrerqu’ellev´erifieladoubleine´galite´:∀x∈R,−e6g(x)60 . +m m! b)Ende´duireque,siaetbtn0rifiasv´eo´neteldeuxsr< a < b, on a : m m −m 06g m (a)−g m (b)6(b−a)e m! 3.On suppose, dans cette question, quepse´tgela0`a,99 et quenustnre´pcirtemeta`etisreusN. a)Pre´ciserlaloidelavariableale´atoiren−X. b)Onsupposera,danslesprochainscalculs,quelaloidelavariableale´atoiren−Xeupetrteˆ remplace´eparlaloidePoissondeparam`etre0,01ndont on noteFrtpaioitndio´eernotclfa.n Que vaut alorsP([X>N]) ? c) Exprimerle nombreF(n−Ndedia’lacnofenu’ont`i)g m leqaredeoineutspai`ulicrt2. d) Onsuppose queN´tselage03a`.0 Pourtoutr´eelstrictementpositifα, on noteF α elafonctiodnree´aptrtioidnelaloidePoissond parame`treαet on donne : 3 3 −3 F 3 (2)≈0,423 ;F 3 (3)≈0,647 ;e≈0,224 3! Montrer que, sin,02a3l`age´tseP([X>N´egal`a0s)teau]plus,5 et que, sin,l`ga03a3etse´ P([X>N]metcstnetse)irtsr`a0rieuup´e,6.

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