Mathématiques II 2005 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2005
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

ESSEC2005,mathII,optione´conomique Lesdeuxpartiesduproble`mesontinde´pendantes. Dansceproble`me,lesvariablesale´atoiressonttoutesd´efiniessurunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). SiX,eeeller´rseenut´ealoiatrivaleabE(X)´d.ecn´eranespnesoesig Lorsque (X n ) n>1 rserlee´,selonnoiaaresbl´ealoiatte,pourtouteveditsunetuesn>1, n X S n =X k . k=1 Pre´liminaires 1)Soit (X n e´espncratnateenua,iotemdiusenu)iravedetllse´reemeleedˆmsal´ableireseatom. ´ Enoncer,avecpre´cision,laloifaibledesgrandsnombrespourlasuite(X n ). 2)Soitδifetositentpctemtsire´leurnAun sous-ensemble deRtel que l’intervalle ]m−δ, m+δ[ soitinclusdanslecompl´ementairedeAD.e´etmrnire   S n limP∈A n n→+∞ Partie I :Un exemple discret Dans cette partie,Xviuseriotae´laelnoereBidlonetuanluilriabnevaestuB(p), avec 0< p <1. (X n ) n>1 queelsetuotiolemeˆmteanndpentvauissairaselbtiusvedesire´end´ealoiatestuneX. n X On noteS n =X i . On rappelle queP(X= 1) =p, P(X= 0) = 1−p=q. i=1 sX sX 1)a)Montrer que pour touts´ree,lalavirbaelencra´espeeunetmdaeeriotae´laE(e ). sX b)nctioafonnerlreim´Dteϕ:s7→E(e ). 2)a)idloeiseclaer´rPS n . S n S n b)´oeiadteoliarvear(iΩa)beltelaallimenr.´Dtere n n n   S n s n c)Soitsquere.Meltronurne´E(e )=ϕ(s/n) . Soitafix´e´eelunred0],1[. 3)a)On noteK a ={k∈[0, n]]|k/n>a}. SoitseeplsotifiM.norte´rrqnuue   S n X k S n s s k k n−k as E(e )>e Cp q>eP>a n n n n k∈K a b)Montrer que, pour touts>0     n S n −as P>a6ϕ(s/n) e n 4)On suppose dans cette question quea > p. ´ a)Etudier surR + les variations de la fonction` a e´nfieiaprd ` a :s−→7as−lnϕ(s) b)Montrer que la fonction` a atteint surR + un maximum strictement positifh(a, p) que l’on calculera en fonction deaetp. c)Montrer que     −nsup(at−lnϕ(t)) S n −nh(a,p) t>0 P>a6e =e n 5)On suppose dans cette question quea < p, (donc 1−a >1−p). a)idlolaerinrmte´eae´laelbairavaletoireDn−S n .

b)Montrer que     −nsup(at−lnϕ(t)) S n −nh(1−a,1−p)−nh(a,p) t>0 P6a6e =e =e n 6)Soitε >0. a)uqetnsee´edr´econspestiesquude´deriD     S n −nminh(p−ε,p),h(p+ε,p) P−p>ε62e  n   S n b)minerlim´DtereP−p>ε.   n→+∞ n 7)chinnemafabrequietcahuiairuruqe´etbj’oed,uitqseecnueuqipytniatrneUtrenriepsose en fonctionnement normal, produit une proportionp, (0< p <Lex.eutuecejst´dfe1,)’dbo directeurveutconnaıˆtrelavaleurdepnihcpteele´reve`´eunanchlltion.Poualamseetiatlcrle den, (n>1), objets qu’il analyse. Pour touti∈[1, n]], soitX i aravll´eabliarideaeotonluBereefinilid´epar n 1 sileiuxuectfedte´e´selevept´robje`eme-i X i = 0 sinon Onsupposequedanslesconditionsdepre´le`vement,lesvariablesale´atoiresX 1 , . . . , X n sont inde´pendantes. S n a)Montrer queF n = estun estimateur sans biais dep. n   2 b)Calculer le risque quadratiquer n =E(F n −plierm)D.ete´nimrr n . n→+∞ 8)Soitα]0deel´enru,annficelealcodeetteanscnerdermietvrnuniitnouqse1te´detiahuosnO.[ duparame`trepinconnu, au niveau de confiance 1−α`,paraitce´’ledrollitnahn(X 1 , . . . , X n ).  ! √ F n −p a)Quelle est la limite en loi de la suiten p ? p(1−p) ∗ n∈N α b)Soitf n ilasitnoedlaear´F n uslr’´echantillonconis´dree´S.iott α (ler´eeld´efiniparΦt α ) = 1−, 2 o`uΦd´esignelafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´e,re´duite. Montrer qu’un intervalle de confiance depau niveau 1−α[sedtn´onarepU n , V n ] tel que P(U n 6p6V n )>1−α avec t α t α U n =f n − √ , V n =f n + √ 2n2n Partie II :Un exemple continu. Z +∞ α−1−t 1)reentieme´’DlrmesnelbDsrdeel´esαlepoleurqseusl’lni´tgearte dtest conver- 0 gente. Pour toutα∈ D, on pose Z +∞ α−1−t Γ(α) =te dt 0 ∗ 2)Exprimer Γ(α+ 1)en fonction deγ(αiudealer.)´dnEΓ(valeurden) pourn∈N. 3)Soitα∈ Dxfinoitcnoafelquertron.M´ef α einfie´dsurRpar  1 α−1−t te sit >0 Γ(α) f α :t−→7 0 sit60 estunedensit´e. Ondiraqu’unevariableale´atoireXdede´eitnsf α seutenavirbaella´eatoirequisuituoleniγ(α). 2

On admettra que siX,Yntsontda,esni´dpeneaeotriseablesal´deuxvariXsuivant une loiγ(α) etYsuivant une loiγ(β), alorsX+Ysuit une loiγ(α+β). Onadmettrae´galementque,souslesmˆemeshypoth`esessurXetY, on aE(XY) =E(X)E(Y). 4)a)SoitXleiounevar´laelbaireriotae,sleel´eunntvauiγ(α)ucelC.lasp´erl’eerancE(X). Soit (X n ) n>1 resind´eal´eatoidsmeeˆemepdnnaetneuueiqloairaselbtiusvedeX. Pour toutn>1, n X on noteS n =X i . i=1 S n b)rmin.´eteD´rlaaaeillbeaveaoeldiorterail n sX sX 5)a)D´einertermbmesne’lelIlsee´rsedsncemdteetnueepse´areltaeuesqE(e ).On pose alors sX ϕ(s) =E(e ) b)Montrer que la fonctionϕruosxeseocvnevtesitistpoenoitniefid´deneaiomndI. n   S n s c)Soits∈I. Montrer queE(e )=ϕ(s/n) . n 6)ertnom,Etruopeuqruttonartrefse`roedemlent´ethtinusalis∈I∩R +   S n S n s as E(e )>eP>a n n puis que pour touts∈I∩R −   S n S n s as n E(e )>eP6a n ∗ 7)Soita∈R + ,a6=α. Pour touts∈I, on pose ` a :s→7−as−lnϕ(s) ´ Etudier la fonction` a et dresser son tableau de variation. ∗ 8)Pour touta∈R + , on pose h(a) = sup` a (s) s∈I Exprimerh(a) en fonction dea. Montrer que sia6=α, alorsh(a)>0. n X ∗ 9)Pour toutn∈N, (X 1 , X 2 , . . . , X n ) est unnec´delaiodnleliolahtnX. On poseS n =X i . i=1 a)Montrer que, pour toutstel que 0< s < n     S n n −as P>a6ϕ(s/n) e n b)Montrer que   S n   n −as P>a6inf eϕ(s/n) 0<s<n n c)Montrer que sia > αalors     −nsup (at−lnϕ(t)) S n t∈I∩R + −nh(a) P>a6ee = n 10)Montrer que sia < αalors     −nsup (at−lnϕ(t)) S n t∈I∩R − −nh(a) P6a6e =e n 11)Soitε >0. Montrer que   S n −nH(α,ε) P−α>ε62e  n   o`uH(α, ε() = minh(α−ε), h(α+ε) .

3