+ OndesigneparNl’ensemble des entiers naturels, parRslteaprrbsereerocelmonsedspRl’ensemble desreelspositifsounuls. k Pour tout entier naturelnet tout entierkcompris entre0etn, on noteCldianeiomintbenciecole n par : n! k C= n k!(n−k)! avec la convention0! = 1. SiA,Bsont deux ensembles, avecBinclus dansA, on noteA\Bl’ensemble : A\B={x∈A|x∈/ B}. On rappelle que siEorctlriepaesveceenutsafimlleeleu,enB= (ei)i∈Kde vecteurs non nuls deEest une base si pour tout vecteurxdansEil existe une unique famille de scalaires(xj)j∈L,ouLest une P partie nie deK, telle quex=xjej. j∈L Saufindicationcontraire,ondesigneparaetbleeletseuqssrdea < bet parIavlltnreli’eornmebefer [a, b]. On noteC(I)e’lrelritoecevacspcnitnodseedlseofureniessIselloctesrueeeravalinnts.ue On noteFniesdlessursedleernoitcnofevacsp’eelritoecRsrrlauesepeellavedoiioerqudideeserp2π et continues. PoureviterlesrepetitionsdanslesdenitionsquisuiventondesigneparHl’espace vectorielC(I)ouF et parJl’intervalleIsocaudalensHest l’espaceC(I)ou l’intervalleRudanslecasoHest l’espace F. Pour toute fonctionfppateartnanaHednngiseopar|f|ctioafonlap:rneidne |f|:J→R x7→ |f(x)| L’espaceHonmrdelecanoevgrenceuniformedepein:raaledinumtse ∀f∈ H,kfk= sup|f(x)|. ∞ x∈J On munit l’espaceHedlatilareordrond’leitrapeeeton≤ienetder:pa ∀(f, g)∈ H × H,(f≤g)⇔(∀x∈J, f(x)≤g(x)). On dit qu’une fonctionfnenatapaaptrHest positive et on note0≤f, si0≤f(t)pour touttdansJ. OndesigneparL(H)l’espace vectoriel des endomorphismes deHdeU.nleeemtnL(H)eleepstaussiap unoperateurlineairesurH. Onditqu’unoperateurlineaireusurHapvetisipoontincatnanetrap’ilttifsposiestetofteuoofmrarsn Hen une fonction positive. On noteR[x]l’espace vectoriel surRsleerstteC.noitlopssedcnofaielnymoenavdsu’leariabciencoe espace est muni de la base{ek|k∈N}par:denei k ∀k∈N,∀x∈R, ek(x) =x . On notePle sous-espace vectoriel deFt-es,s’celetnrsceiacoeuestriqomenogirtsemoˆnylopesedmorf a-diredesfonctionsdeRdansRde la forme : n X x7→a0+ (akcos (kx) +bksin (kx)), k=1 ounest un entier naturel, le coecienta0et les coecientsak,bkpour tout entierkcompris entre1et nsnortele.s
Capesexterne2003,premiereepreuve
page 2
Cet espace est muni de la base{ck|k∈N} ∪ {sk|k∈N\ {0}}:eniepadr ½ ∀k∈N, ck(x) = cos(kx), ∀x∈R, ∀k∈N\ {0}, sk(x) = sin(kx). On remarquera quec0=e0. Pour toute fonctionfapaapenrttanF,oendngisrape(ak(f))k≥0et(bk(f))k≥0les coecients de Fourier defdr:apsine Z π 1 ∀k∈N, ak(f) =f(t) cos (kt)dt, π −π Z π 1 ∀k∈N\ {0}, bk(f) =f(t) sin (kt)dt. π −π On note : a0(f) S0(f) =c0(1) 2 et pour tout entierntif,posimenticterenapseginodrtsSn(f)nipar:omnˆrietlelypouqiredeonogtem n X a0(f) Sn(f) =c0+ (ak(f)ck+bk(f)sk).(2) 2 k=1 La partieIlrseaptreisitisC.sfettetrapesietituslipaeeeeuacarretaoxplineursespoeairnscosteIIet III. La partieIIpa’lxorptamiunoifoniedrmfoestiensctocsncareeuahteoremesuivantsurnoitnocsusrunse unintervallefermeborneetavaleursreelles: Theoreme1(Korovkin)Si(un)n∈Nest une suite d’endomorphismes positifs deC(I)u,oIest un intervallefermebornedeR, telle que pour toute fonctionfappanetrtnaa{e0, e1, e2}la suite(un(f))n∈N convergeuniformementversfsurI, alors pour toute fonctionfnenaaptraptaC(I)la suite de fonctions (un(f))n∈NemrtnemuegrofincveonversfsurI. La partieIIIeepdnnaidniertpaladeteIIroemnufiitnoixampporlra’ntsuuivaemeseorhtuaeercasnoctes desfonctionsperiodiques,continuessurR:steurlevaaleelesr Theoreme2(Korovkin)Si(un)n∈Nest une suite d’endomorphismes positifs deFtelle que pour toute fonctionfappartenanta{c0, s1, s1}, la suite(un(f))n∈NconvergrseemtnevueinofmrfsurR, alors pour toute fonctionfanetraappatnF, la suite(un(f))n∈NversmentcgruenoevmreinoffsurR. IOperateurslineairespositifs.Proprietesetexemples
I.1SoiturusfitisopreaieinrleuaterunopH. Montrer que : ∀f∈ H,|u(f)| ≤u(|f|). I.2SoitutisousfiaenperiteraliuruneoprH. Montrer queuest l’endomorphisme=e question on se place dansH=C(I) avecI= [0,1] et on se donne un entiernstrictement positif. 2 On noteϕnruseinednctioafonlRpar : ³ ´n y 2 n ∀(x, y)∈R, ϕn(x, y) =xe+ 1−x . Pour tout entierkcompris entre0etnednngisrape,oBn,knctilafolynoonpodeeimlanei par : k kn−k (x) =C x(1−x) (3) ∀x∈I, Bn,k n etBn:rdeinaposepifitnliireaareruettsepo’l nµ ¶ X k ∀f∈ C(I), Bn(f) =f Bn,k(4) n k=0
Capesexterne2003,premiereepreuve
page 3
I.2.1rtuotruoPleeypaneigesdonrfyneiusrlafonctiondeRpar : xy ∀x∈R, fy(x) =e . Montrer que : ∀x∈I, Bn(fy)(x) =ϕn(x, y). I.2.2Montrer que pour tout entier naturelj=e question on se place dansH=C(I) avecI= [0,1] et on se donne un entiernstrictement positif. 2 On noteϕntcnofalrsuienendioRpar : ³ y´n 2 n ∀(x, y)∈R, ϕn(x, y) =xe+ 1−x . Pour tout entierkcompris entre0etn,ondesigneparBn,kla fonction polynomiale deniepar: k kn−k ∀x∈I, Bn,k(x) =C x(1−x) (5) n etBnpar:eniifdstost’ilripeearneateproueil nµ ¶ X k ∀f∈ C(I), Bn(f) =f Bn,k(6) n k=0 A.PourtoutreelyodnesigneparfylafoncseinrunoitedRpar : xy ∀x∈R, fy(x) =e . Montrer que : ∀x∈I, Bn(fy)(x) =ϕn(x, y). B. Montrerque pour tout entier natureljon a : j ∂ ϕn Bn(ej)(x() =x,0). j ∂y C. ExprimerBn(ej) dans la base{ek|k∈N}pourj= 0,1,2. I.2.3Pour cette question on se place dansH=FrapesignndeetoKnyloemoˆpnuigtro-nometrique.Onassocieacepolynˆomel’operateurlineaireurusinedFpar : Z π ∀f∈ F,∀x∈R, u(f)(x) =f(x−t)K(t)dt. −π A. Montrerque pour toute fonctionfartenantappaFon a : Z π ∀x∈R, u(f)(x) =f(t)K(x−t)dt. −π B. Montrer que pour toute fonctionfetantnaapparF,u(fynolnptuigtrmeˆo-o)se nometrique. C.Montrerquel’operateurlineaireuest positif si et seulement si la fonctionKaset valeurs positives ou nulles. I.2.4Pour cette question on se place dansH=F, on se donne un entier naturelnstrictement positifetonconsiderel’operateurlineaireTnuredsinFpar : n−1 X 1 ∀f∈ F, Tn(f) =Sk(f),(7) n k=0 ouS0einusreiaerdrepo’lenilruetagnsiedFpar (1) et pour tout entier naturelknon nul,Skrnisudeairenieuelrretao’psieelgndFpar (2).