Problème de physique - option physique 2008 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Externe)

Nicolas Choimet

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• Publié le: 29 octobre 2009
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Extrait

ÉLECTROMAGNÉTISME     Préambule Ce sujet comporte deux parties indépendantes : - partie porte sur quelques aspects fondamentaux de lélectromagnétisme,La première notamment sur lapproximation des régimes quasi-stationnaires et ses conséquences sur la simplification des équations fondamentales de lélectromagnétisme. - dédiée à létude de la propagation guidée dans un câbleLa deuxième partie est coaxial.  Chaque partie comporte de nombreuses questions indépendantes. Le candidat peut utiliser un résultat donné par le texte même sil na pas été démontré.  La plus grande importance sera donnée à la qualité de la rédaction et de la présentation.  Si au cours de lépreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amené à prendre.   

FORMULAIRE   Opérateurs vectoriels  rot ( rotC ) =grad ( divC ) − ΔC   Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques   ∂C divC= 1 ( rC r ) + 1∂C θ + z   r∂r rθ∂∂z   rotC ⎛  ⎝ =   ⎜  1 r∂ ∂C θ z − ∂ ∂ C z θ ⎞  ⎠  ⎟  u r  ⎛  ⎝ ∂ + ⎜  ∂ C z r ∂ ∂ − C r z ⎞  ⎟  ⎠  u θ + 1 r    ⎜   ∂ ⎝ ( r ∂ C r θ ) ∂ ∂ − C θ r ⎠  ⎟ u z    Δ ∂ f= r 1 ∂r ⎜     ⎛ ⎝   r ∂ ∂r f ⎠   ⎟   ⎞   + r 1 2 ∂ ∂ 2 θ f 2 ∂ ∂ + 2 f z 2  

12 1 ε 0 =8.85×10 − F⋅m − 7 2 2 μ 0 =4π×10 − kg·m·A - ⋅s -  c=3×10 8 m⋅s -1  

Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition d 1 e physique (épreuve A) 2008.doc

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Première Partie Quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme  

A. Des équations de Maxwell.  I.  : classiqueVoici quelques-uns des plus éminents artisans de lélectromagnétisme Coulomb, Ampère, Faraday, Maxwell, Hertz, Lorentz. Rappelerbrièvement des contributions de chacun à la construction de une lélectromagnétisme. II. Enoncer les équations de Maxwell dans le vide en présence de charges et de courants. Pour chacune dentre elles, en donner la forme intégrale. Suffisent-elles à rendre compte de tous les phénomènes électromagnétiques ? Si non, que faut-il leur adjoindre ?   B. De l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires  Lobjet de cette partie est de dégager précisément ce que recouvre lapproximation des régimes quasi-stationnaires en électromagnétisme (notée dorénavant ARQS). On commence par létude dun exemple simple : la détermination du champ électromagnétique dans un condensateur plan en régime sinusoïdal forcé.   z  solénoïde   z  Condensateur 

r  y r u θ  Q 0 u z u r r I 0  O x   r r u z u θ  r u r r x   R  e O    Figure 1. a Figure 1. b   I. Condensateur plan en régime sinusoïdal forcé : première approche.   On considère un condensateur plan constitué de deux armatures planes de forme circulaire, daxeOz et de rayonR,distantes dee(figure 1. a). Lespace interarmatures est vide et la charge totale stockée sur larmature supérieure du condensateur est donnée par : Q(t)=Q 0 exp(i t en notation complexe () ,Q 0 réel positif ). On suppose queR>>e, de sorte que lon négligera tout effet de bord . Vu la géométrie du problème, on travaille en coordonnées cylindriques ( r, ,z ) daxeOz.

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 On sintéresse ici à un régime non stationnaire de fonctionnement, en loccurrence un régime sinusoïdal forcé de pulsation . On se propose ici de déterminer le champ électromagnétique r r [E,B] dansdune équation dans laquelle le couplage le condensateur par résolution directe r r entre le champ électriqueEet le champ magnétiqueBa disparu.  1. a.et invariances du problème, déterminer la forme a prioriPar une analyse des symétries r r du champ électromagnétique [E,B] entre les armatures. E Evaluer lordre de grandeur du rapport E z r en supposant momentanément et en première r r approximation querot E=0 . Le fait de « négliger les effets de bords » signifie ici que E E r z <<1, ce quon supposera dorénavant.  b.Justifier quil est légitime, compte tenu des hypothèses faites, de chercher le champ trom nétique  [E r ,B r  la forme : ] sous ⎨ ⎪ ⎧ E r r =E ( r,t ) u z . élec ag ⎩ ⎪ B=B(r t)u θ ,  2. des équations de Maxwell que la fonctionMontrer à partir E ( r,t ) vérifie entre les

3. 

4. 

5. 

armatures léquation : ∂ ∂ 2 E r 2 + r 1∂ ∂ E r − c 1 2 ∂ ∂ 2 E t 2 =0 . On cherche des solutions complexes de la forme :E r,t ) =E 0 e r ) exp ( i t )  la est, où pulsation des oscillations ete ( 0 ) =1. Etablir lexpression du champ du champ magnétique complexeB(r,t) en fonction dee(r) en utilisant léquation de Maxwell appropriée.

On définit la variable réelleu=. Etablir léquation différentielle à laquelle obéite ( u ) , c qu’on ne cherchera pas à résoudre. La solution de cette équation sécrit : 2 = e ( u ) k= ∑ ∞ (− ( k 1 ! ) ) 2 k ⎜ ⎝ ⎛ 2 u ⎟ ⎠ ⎞ k .  0 On désire maintenant trouver le développement perturbatif du champ électromagnétique r r [E,B lintérieur du condensateur. Alors que précédemment, nous sommes partis dune] à r r équation aux dérivées partielles éliminant le couplage entreE etB, nous cherchons ici une solution faisant apparaître ce couplage comme le cur du problème. Bien r r évidemment, la forme du champ électromagnétique [E,B] est la même que précédemment (voir B.I.1b), puisque les hypothèses sont les mêmes. En particulier, les effets de bord sont négligés. Pour plus de commodité nous travaillons, comme ci-dessus, en notation complexe. Lidée fondamentale du traitement est la suivante : à lordre le plus bas le champ électrique entre les armatures est approximativement uniforme (comme en électrostatique) soit en notation complexe :E 0 =E 0 exp(iωt)u z , oùE 0 est réel. Mais ce r champE 0 =E 0 exp(iωt)u r z  ; au cours du temps varie par conséquent, il crée un champ magnétique :B 1 =B 1 (r,t)u r θ . Ce champB 1 =B 1 (r,t)u r θ  à son tour un champ engendre

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

r r électriqueE 2 =E 2 (r,t)u r z , qui crée lui-même un champ magnétiqueB 3 =B 3 (r,t)u r θ  qui engendreE 4 =E 4 (r,t)u z etc.. . Les termes de rang plus élevé sont des termes correctifs par rapport aux termes de rang plus bas : cette méthode itérative est qualifiée de « perturbative ». r a. première expression approchée du champ électriquePartant de la E 0 =E 0 exp(iωt)u r z , r calculer le champ magnétiqueB 1 =B 1 (r,t)u θ  par application de léquation de Maxwell- Ampère. b. La présence du champ magnétique modifie le champ électrique : le champ magnétique r B 1 =B 1 (r,t)u θ engendre un terme correctifE 2 =E 2 (r,t)u r z pour le champ électrique. De quel phénomène sagit-il ? A laide de léquation de Maxwell appropriée, calculer ce r terme correctifE 2 =E 2 (r,t)u r z . On ne retiendra que la solution nulle sur laxe :

pourquoi ? r c. Réitérer ce développement pour aboutir à B 3 =B 3 (r,t)u r θ puisE 4 =E 4 (r,t)u z . d. Montrer alors que lexpression du champ électrique complexe E(r,t) à lordre 4 en 1− 1ωr e par : E ( r,t ) =E 0   4  ⎜  ⎛  ⎝ c ⎞ 2 + 1  ⎟  ⎠  ⎞  ⎜ 4 +... c r est donné ⎝ ⎜     ⎟  ⎠  64 ⎝  ⎛  ωr c ⎟ ⎠       exp ( iωt ) et en déduire le développement limité de la fonctione(u) à lordre 4. e. Montrer que lexpression du champ magnétique complexeB(r,t) à lordre 3 en 3 = − . c r est :B(r,t)iB 0 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 2 ωr c16 1ω ⎛ ⎝ ⎜ r c ⎠ ⎟ + ⎞ ... ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ exp(iωt) f. Etablir les expressions des amplitudes réellesE 0 etB 0 en fonction des paramètres du condensateur et les contraintes appliquées. g. Commenter les expressions de E(r,t) etB(r,t  aux questions ) obtenues d.ete.en lien

avec le résultat de la question4.   II. Solénoïde infini en régime sinusoïdal forcé.   On cherche ici à déterminer le champ électromagnétique [ E,B  créé par un solénoïde infini parcouru par une intensité I ( t ) =I 0 exp ( i t ) en notation complexe ( 0 réel positif), comportant nspires jointives par unité de longueur, de section circulaire (figure 1.b).  1. Quentend-on par lexpression « infini solénoïde Justifier quil est légitime, compte » ? tenu des hypothèses faites, de chercher le champ électromagnétique [ E,B la sous   E=E ( r,t ) u θ forme : ⎪ . ⎪ ⎩ ⎨     B=B ( r,t ) u z 2. Trouver léquation à laquelle obéitB(r,t) et montrer quelle est analogue à celle obtenue pourE ( r,t ) dans le cas du condensateur (B.I.2.) .

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3. Déduire sans calcul de la partie I queB r,t ) = B 0 e(u) exp ( i t )  les expressionsainsi que approchées des champs électromagnétiques complexesB(r,t) etE(r,t) . 4. Etablir lexpression de B 0  de etE 0 en fonction deI 0 ,E 0 étant lamplitude réelle du champ électrique.   III. Considérations énergétiques en régime lentement variable   On fait maintenant lhypothèse dun régime « lentement variable », cest-à-dire que lon

suppose que<<1 dans toutes les expressions calculées ci-dessus. On supposera c négligeables tous les termes dordre supérieur ou égal à 2 dans lexpression des champs.  1. Evaluer en ordre de grandeur le domaine de fréquences correspondant à cette approximation pour les composants utilisés usuellement en montage délectricité ou délectronique. 2. Donner lexpression du champ électromaE,B pourà lordre le plus bas en gnétique [  c le condensateur dune part, et pour le solénoïde dautre part. Que peut-on dire, en ordre de grandeur, du rapport E pour<<1 dans le condensateur et le solénoïde ? Quel est cB c le sens physique de ce résultat ? 3. deux cas, donner lexpression de la densité volumique instantanéeDans chacun de ces dénergie électromagnétiqueu em ( r,t ) pour c <<1. Quelle approximation est-il légitime de faire dans lexpression deu em ( r,t ) , selon quil sagit dun condensateur ou à un solénoïde ? En comparant les expressions obtenues au cas de la densité dénergie dune onde électromagnétique dans le vide progressive plane, harmonique de pulsation , lequel des deux systèmes, parmi le condensateur et le solénoïde, qualifieriez-vous de système à dominante électrique ? magnétique ? 4. Calculer le vecteur de PoyntingΠ ( r,t )  le condensateur et dans le solénoïde, dans

5. 

1. 

2. 

toujours pour<<1. c Effectuer un bilan énergétique global sur la zone despace correspondant à lintérieur du condensateur dune part, du solénoïde dautre part. Commenter.   IV. L’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires : premier contact.  

Dans lhypothèse des régimes lentement variables énoncée et étudiée ci-dessus ( <<1), c déduire de ce qui précède que léquation de Maxwell-Faraday pour un système « à dominante électrique » sécrit de manière approchée sous la forme :rot E= Que peut-0 . on dire de léquation de Maxwell-Ampère ?  De même, pour un système « à dominante magnétique », donner lexpression convenable des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en régime lentement variable. Commenter. 

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3. Peut-on définir sans ambiguïté « lApproximation des Régimes Quasi-Stationnaires » et formuler les équations de Maxwell de manière unique dans le cadre de cette approximation ?      V. Potentiels retardés. Définition de l’ARQS.    Nous nous proposons ici de donner la définition générale de lARQS avant denvisager lexistence de deux limites « électrique » et « magnétique » de cette approximation, limites entrevues précédemment. Soit une distribution de charges et de courants [ ρ,j de volume fini V . Cette distribution- source crée dans tout lespace un champ électromagnétique [ E,B par les équations de régi Maxwell.  1. Pourquoi peut-on définir un potentiel vecteurA et un potentiel scalaireV (formant le couple [ V,A ) dont dérive le champ électromagnétique [ E,B ? Donner lexpression de [ E,Ben fonction de [ V,A. 2. Pourquoi le couple [ V,A nest-il ? pas défini de manière unique On utilise alors cette indétermination et on choisit dimposer au couple [ V,A la condition de jauge de  Lorentz. Donner la relation liant AetVcorrespondant à la jauge de Lorentz. 3. Démontrer, en jauge de Lorentz, les équations de propagation des potentielsV etA. Leur solution dite « des potentiels retardés » sécrit : ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ V(M,t) = 4π 1 ε 0 ∫ V ∫ j ∫ ρ ⎛ ⎜ P ⎛ ⎝ ⎜ , P t , − t P − P P M M c ⎞ M ⎞ ⎠ ⎟ d 3 r r où lon évalue les potentiels et est un point , où ⎟ ⎠ ⎩ ⎪ ⎪ A(M,t) = 4 μ π 0 ∫ V ∫∫ ⎝ c MP d 3 r r désigne un point courant de la distribution-source de volume .   [

4. 

Soit le temps caractéristique dévolution des sourcesρ,j, et soitL lordre de grandeur caractéristique de la distance PM . On construit alors le nombre sans dimension α= L . Quel est le  ?sens physique et la dimension de la grandeur cτc Par définition, lARQS consiste à supposer<<Est-ce le cas dans un montage1. délectricité ou délectronique usuel ? Dans le cas du transport de courant par ligne à haute tension ? Dans le cas du transport dun signal TV dans un câble dantenne à une fréquence de 500MHz par exemple ? Dans le cas du domaine de loptique visible ? 

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5. 

Donner lexpression approximative des potentiels [ V,A lARQS. En déduire les dans équations locales « de Poisson » liant les sources [ ρ,j aux potentiels [ V,A .

      VI. Les deux limites de l’ARQS.   Nous venons de définir lARQS par la condition :<<1 avecα= L , L  désignant la cτ distance typique entre le point de mesure et la distribution-source, et le temps caractéristique dévolution des sources [ ρ,j. Cependant, nous avons constaté sur lexemple du condensateur plan et du solénoïde en régime sinusoïdal que lARQS ne se manifeste pas de la même manière selon que le système est à dominante électrique ou magnétique. Nous allons ici mettre en évidence de manière générale lexistence de deux limites « électrique » et « magnétique » de cette approximation.      Nous noterons dans toute cette partie    ,, E   , B   ,V  et  les ordres de grandeur respectifs de ,j,E,B,VetA. Soitd≤, la distance typique sur laquelle varient les champs [ E,Bet les potentiels [ V,A. Outre le nombre sans dimension déjà introduit, nous définissons un autre nombre sans dimension :β = j ~ . cρ   

1. 

 2.   

Montrer que est bien sans dimension. Donner lordre de grandeur de V et  e  n  fonction notamment de    ,,  (volume de la distribution-source) etL. En déduire  lexpression du rapport c V  A    en fonction de .

Régime quasi-stationnaire électrique.

Considérons une situation quasi-stationnaire (<<1) où leffet des charges est beaucoup plus important que celui des courants ( <<1 ).  a. Comparer en ordre de grandeur−grad Vet −∂ t A . En déduire lexpression approchée du champ électriqueEainsi que la forme approchée que prend léquation de Maxwell- Faraday sous ces hypothèses. Commenter.  b. peut-on dire de léquation de Maxwell-Ampère ?Que  c. Evaluer le cB   et dire pourquoi cette situation est qualifiée de limite rapport  E   « électrique ». d. Peut-on simplifier lécriture de la condition de jauge de Lorentz dans cette limite électrique de lARQS ? Si oui comment ?

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 3. 

   4.   

 5. 



  

e. locale de conservation de la charge dans cette limitePeut-on simplifier léquation électrique de lARQS, et comment ? Commenter.

En supposant seulement que la condition ⎞ rot B≈ μ 0 j− c 1 2 grad ⎛ ⎜ ⎝ ∂ ∂ V t ⎠ ⎟ .

Régime quasi-stationnaire magnétique.

est remplie, montrer que : <<1

Considérons maintenant une situation quasi-stationnaire (<<1) où leffet des charges est beaucoup plus faible que celui des courants (>>1 ). a. Comparer en ordre de grandeur − 1 2 grad   V c∂ ⎝  ⎜  t ⎠  ⎟  etμ 0 j. En déduire la forme approchée que prend léquation de Maxwell-Ampère sous ces hypothèses. Commenter. b. Que peut-on dire de léquation de Maxwell-Faraday ? Comment sexprime le champ Een fonction des potentiels, sous ces hypothèses ?   c. Evaluer le rapport B E    et dire pourquoi cette situation est qualifiée de limite c  « magnétique ». d. Que peut-on dire de la condition de jauge de Lorentz dans cette limite magnétique de lARQS ? Commenter. e. Que peut-on dire de léquation locale de conservation de la charge dans cette limite magnétique de lARQS ? Commenter.

Laquelle de ces deux limites de lARQS est la plus fréquente expérimentalement et est la plus connue ? Pour quelle raison fondamentale ?

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Deuxième Partie Propagation guidée dans un câble coaxial   Lobjet de cette Deuxième Partie est létude théorique et expérimentale des phénomènes de propagation dans un câble coaxial. Celui-ci est constitué de deux cylindres conducteurs coaxiaux de section circulaire, de rayons respectifsa etb (a b) de très grande longueur, séparés par un isolant. Le cylindre central (« lâme ») est plein tandis que le cylindre extérieur (« la gaine ») est creux (figure 2):

 Figure 2

isolant

2a 

âme

gaine



2b

Les dimensions du câble sont les suivantes :a=0,43 m etb=1, 47 m . Lisolant est un milieu diélectrique non magnétique de permittivité diélectrique relative constante r =2,25 . On travaille en coordonnées cylindriques ( r, ,z )  daxeOz,Ozétant laxe du câble coaxial. Après un rappel de quelques unes des propriétés de propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (partie A), nous chercherons un modèle électrocinétique simple permettant de rendre compte des phénomènes de propagation observés jusquà des fréquences de lordre de quelques dizaines de MHz (partie B) dans le câble coaxial. Ce modèle est fondé sur une hypothèse particulière relative à la structure du champ électromagnétique [ E,B se propageant dans lisolant occupant lespace interconducteurs. Son étude fait lobjet de la partieB.  A. Préambule : Propagation d’une onde électromagnétique dans un diélectrique infini   On sintéresse dans cette partieA.au champ électromagnétique à lintérieur dun diélectrique infini.  r r r 1. Rappeler les quatre équations de Maxwell reliantE,DetBaux densités de charge r r libres lib et de courant librej lib dans le diélectrique,Détant le vecteur déplacement électrique dans le milieu.

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z

 2. 

Le milieu diélectrique est supposé parfait, linéaire, homogène et isotrope, de permittivité r diélectrique relative r indépendante de la fréquence. Ecrire la relation reliantEetD. En r r déduire lécriture des quatre équations de Maxwell impliquantEetBuniquement (sans r

faire intervenir D ). Que deviennent-elles en absence de charges et de courants libres?   r 3. Montrer que des ondes planes de la forme ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ E= =B r E 0 expi i ( (ωt t −zk zk ) )  peuvent se propager B 0 expω − r dans ce type de milieu.k=k u r z le vecteur donde dont on déterminera le moduleest k.

Caractériser la structure de ces ondes planes.   B. Mode TEM d’un câble coaxial : étude théorique et expérimentale   On aborde maintenant létude de la propagation le long du câble coaxial. On suppose ici que le champ électromagnétique dans le milieu isolant occupant lespace interconducteurs est de la form e ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ E = E 0 0 ( ( r, , z ) ) exp expi ( ω ( t − kz ) ) u r  ⎩ B= i zB rωt−kz u θ Cela revient à considérer une solution particulière des équations de Maxwell, dite « mode Transverse Electrique et Magnétique » se propageant suivant laxe Oz avec un vecteur donde r k=k u r z .     I. Etude du mode TEM dans le cas d’un câble idéal.   On suppose en outre dans les seules parties I, II et III que les conducteurs sont parfaits.  1. En quoi consiste le modèle du conducteur parfait ? Quest-ce que cela implique relativement aux charges et aux courants ? Les fonctionsE 0 ( r,z )  etB 0 ( r,z )  doivent-elles satisfaire des conditions aux limites particulières en =a et=b? On justifiera la réponse. Justifier que, moyennant lhypothèse des conducteurs parfaits, les deux fonctionsE 0 ( r,z )  etB 0 ( r,z ) en fait indépendantes de la variablesont z.  Le champ électromagnétique complexe dans le milieu isolant entre les deux conducteurs sécrit alors : . ⎨ ⎧ ⎪ E=E 0 ( ( r)expi(ωt−kz)u r ⎪ ⎩ B=B 0 r ) expi (ω t−kz ) u θ E 0 (r) etB 0 (r) sont supposés réels.  2.  modePourquoi cette solution particulière est-elle nommée « Transverse Electrique et Magnétique » ? Donner la relation de structure liant le champ magnétiqueBet le champ électriqueE? Commenter. 

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3. 

En utilisant léquation de Maxwell adéquate, montrer que E 0 ( r ) = E a a , oùE a  est r lamplitude du champ électrique en=a. En déduire lexpression deB r.

0 ( )  4.  vCalculer la vitesse de phase φ  de cette onde en fonction notamment de la permittivité relative du milieu. Y a-t-il dispersion ?  5. Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique dénergie instantanée dans le diélectrique. En déduire la vitesse de propagation de lénergie.  6. Calculer la puissance moyenne se propageant le long du câble.    II. Grandeurs électrocinétiques caractéristiques du câble idéal dans le mode TEM.  On se propose de montrer ici que le câble coaxial idéal utilisé dans son mode TEM peut être modélisé de manière simple en définissant un certain nombre de grandeurs électrocinétiques.  1. En intégrant léquation de Maxwell-Ampère le long dun contour judicieusement choisi, montrer que lâme est parcourue par un courant dintensité complexeI ( z,t )  lon que exprimera. Calculer lintensité complexe du courant parcourant la gaine. Commenter le résultat obtenu.  2. 

3. 

 4. 

  5. 



Az ett fixés, on définit la tension (complexe)U ( z,t )  lâme et la gaine par la entre relation :U ( z,t ) = − â ∫ me E ( r,z,t ) .dl, où lon fait circuler le champ électrique (complexe) le gaine long dune courbe contenue dans le plan de cotezfixée. Montrer queU ( z,t ) est indépendante du chemin dintégration choisi et la calculer. Pour autant, peut-on dire que le champ électriqueE dérive dun potentiel scalaireV ( r,z,t ) ? On motivera la réponse.  Calculer le rapportZ C = U ( ( z,t ) ) . Que remarque-t-on ? Effectuer lapplication numérique. I z,t Comment appelle-t-on cette grandeur ? Pouvez-vous citer dautres exemples en physique ondulatoire où ce type de grandeur apparaît ?

Considérons maintenant une portion de câble comprise entre les coteszetz+dz. On choisitdzsuffisamment petit pour pouvoir considérer que la portion de longueurdzest localement dans lARQS. Peut-on parler ici de limite électrique ou magnétique de lARQS ? On justifiera la réponse.

Calculer lénergie magnétiquedU mag z,t ) contenue dans la portion de câble de longueur dz .En déduire une définition et lexpression de linductance propre linéiqueΛdu câble. Application numérique.

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