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Fatigue des matériaux et des structures 4

De
386 pages
La fatigue des matériaux et des structures est un ouvrage de synthèse qui rassemble les fondements modernes des connaissances sur la fatigue tant du point de vue mécanique que microstructural. Il s'appuie évidemment sur les deux versions précédentes éditées en 1980 et 1997 par C. Bathias et J.P. Baïlon.
Ce quatrième et dernier volume sur La fatigue des matériaux et des structures, s'inscrit dans la continuité des trois précédents.
Il aborde les aspects les plus avancés de la fatigue que sont la fatigue multiaxiale, le cumul des dommages, la tolérance au dommage, l'influence des défauts sur la résistance à la fatigue, la fatigue de contact, l'endommagement par fretting-fatigue et la fatigue thermique.
Chaque chapitre écrit par le(s) meilleur(s) spécialiste(s) du domaine s'attache à fournir les outils nécessaires à traiter ces problèmes complexes et à montrer les applications pratiques.
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Préface
Ce volume 4 fait suite à la publication des trois premiers consacrés à « la fatigue des matériaux et des structures ». Comme Paul Paris l’a écrit dans la préface des deux premiers volumes, un effort tout particulier a été fait pour rassembler les approches les plus pertinentes dans les nouveaux domaines couverts.
Ceci répond à la remarque prémonitoire que soulevait, il y a trente ans, l’IGA Henri de Leiris dans la préface de la première édition de ce livre : « Il est de fait que depuis le premier traité sur la fatigue de H. J. Gough (Londres 1926) jusqu’au travail encyclopédique de R. Cazaud (Paris, 1969), le sujet a été bien des fois abordé, soit dans son ensemble, soit dans telle ou telle perspective particulière. Mais ce serait assurément une erreur de ne voir là que la manifestation d’une mode comme une autre. En effet, depuis quelque cent cinquante ans que les constructeurs s’en préoccupent, le phénomène de fatigue des métaux n’a rien perdu de sa complexité, laquelle est liée en fait à la multiplicité des facteurs en jeu, et, si dès le milieu du e XIX siècle, la notion de limite d’endurance sous cycles d’amplitude fixe, dégagée par Wöhler, a aidé à réaliser certaines structures capables de tenir aux sollicitations cycliques, il s’en faut de beaucoup que cette notion permette de faire face, avec juste le nécessaire quant à la matière et aux moyens, à n’importe lequel des problèmes pratiques actuels : tenue sous sollicitation cyclique d’amplitude variable ou en fatigue oligocyclique, dimension limite des défauts tolérables, rôle du milieu, ou de la température, etc.». Ajoutons, aujourd’hui, la fatigue gigacyclique.
Ces aspects historiques de la fatigue ont déjà été, en partie, couverts dans les deux premiers volumes et continuent de l’être dans les volumes 3 et 4. Dans ces ouvrages, chaque volume constitue une mise au point de l’état de l’art dans un domaine donné. Ceci permet aux lecteurs intéressés d’utiliser ces livres comme des ouvrages de référence et d’aborder les divers domaines d’intérêt. Certains thèmes
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sont couverts dans plusieurs chapitres rédigés par des auteurs différents, ce qui permet ainsi au lecteur d’avoir des points de vue différents, et le plus souvent complémentaires. Ce volume 4 comporte 7 chapitres : le chapitre 7 est consacré à la fatigue multiaxiale. Les auteurs de ce chapitre présentent une synthèse des divers critères proposés dans ce domaine d’une grande importance théorique et pratique ; le chapitre 8 fait le point sur le cumul des dommages de fatigue, de fluage et des interactions fatigue-fluage. L’auteur présente des méthodes permettant de tenir compte de la complexité des chargements réels rencontrés en service et les applique à divers matériaux ; le chapitre 9 est consacré à l’approche de la tolérance aux dommages, c’est-à-dire à la propagation des fissures de fatigue, approche principalement développée dans la construction aéronautique, comme le montre l’auteur à l’aide d’exemples ; le chapitre 10 met l’accent sur l’influence des défauts (microporosités dans les alliages de fonderie, inclusions, peau de forge des aciers, etc.) sur la tenue en fatigue. L’auteur fait la synthèse des travaux consacrés à ce domaine également très important sur le plan pratique. Une grande partie de ce chapitre est consacrée aux aciers à haute résistance utilisés dans le domaine de la construction mécanique ; les chapitres 11 et 12 abordent un autre domaine important, celui des contacts et de l’endommagement defretting-fatigue qui peut en résulter. Ces deux chapitres sont complémentaires. Le chapitre 11 souligne principalement les aspects expérimentaux, tandis que le chapitre 12 met plus l’accent sur la modélisation de ce mode d’endommagement qui reste encore relativement mal connu et n’est pas suffisamment étudié, compte tenu de ses retombées pratiques ; le chapitre 13 fait le point sur la fatigue thermique. Il s’agit d’un mode d’endommagement complexe où l’histoire thermique combinée au chargement mécanique a pour effet d’engendrer une interaction entre divers modes d’endommagements élémentaires. A l’aide d’exemples, les auteurs montrent comment il est possible de maîtriser ce domaine complexe.
L’ensemble de ces 4 volumes, soit plus de 1 200 pages, représente une vaste synthèse des connaissances acquises sur la fatigue des matériaux et des structures. Une telle synthèse n’aurait pas été possible sans l’aide des nombreux spécialistes qui ont contribué à la rédaction des 25 chapitres. Qu’ils soient ici chaleureusement remerciés. L’action de la commission fatigue de la Société française de métallurgie et des matériaux (SF2M) est également soulignée. Enfin, nous n’oublions pas nos amis étrangers qui ont participé à cette aventure.
Claude BATHIASet André PINEAU
7.1. Introduction
Chapitre 7
Fatigue multiaxiale
Personne ne discute plus aujourd’hui la nécessité de disposer de bons critères mul tiaxiaux pour l’étude du comportement contraintedéformation. Après de nombreuses études, la panoplie des modèles disponibles est maintenant relativement bien connue, et chacun a une idée du rapport « qualité/prix » des différentes approches. La situation est assez différente pour ce qui concerne la caractérisation de la fatigue multiaxiale. Dans ce domaine, comme dans plusieurs autres liés à l’étude des phénomènes d’en dommagement et de rupture, la phase de « décantation » qui permet de trier entre les approches ne s’est pas encore produite, si bien qu’il subsiste une multitude de modèles disponibles, qui ne diffèrent pas seulement par la forme des équations, mais également par leurs variables critiques. La raison essentielle est que les phénomènes de fatigue font intervenir des mécanismes locaux, qui sont donc pilotés par des variables phy siques locales, intérieures à l’élément de volume traditionnel du mécanicien, et qu’ils sont donc bien plus sensibles à la microstructure du matériau que les lois de compor tement, qui ne font que rendre compte d’une réponse globale. Il est donc difficile de présenter en un seul chapitre la très grande variété des critères de fatigue, tant pour le domaine de l’endurance que celui de la fatigue oligocyclique.
Cependant, les progrès des méthodes et des outils de la simulation numérique, et la croissance soutenue de la puissance de calcul disponible dès le stade de la concep tion permettent de fournir maintenant à l’ingénieur des historiques de contraintes et de déformations dont la multiaxialité est un aspect fondamental pour un grand nombre
Chapitre rédigé par Marc BLÉTRYet Georges CAILLETAUD.
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de pièces de sécurité : problèmes de roulement, de contactfrottement, de fatigue mul tiaxiale anisotherme notamment. La fatigue multiaxiale est présente dans un nombre insoupçonné de pièces de la vie de tous les jours (crochets de suspension, portillons de métro, suspensions automobiles). A côté de cela, de grandes applications classiques retiennent l’attention des chercheurs et des ingénieurs de façon récurrente : la fatigue des rails met en jeu des phénomènes complexes, où l’analyse macroscopique ne suffit pas toujours, en raison des modifications métallurgiques dans la couche en contact. Le frottement peut s’avérer critique à toutes les échelles, depuis le composant industriel jusqu’aux micromachines. Les aspects thermomécaniques sont fondamentaux dans les pièces chaudes des moteurs automobiles, des centrales nucléaires, des réacteurs aéronautiques, mais aussi dans toute une partie de la filière hydrogène, par exemple. Il faut donc de façon impérative pouvoir évaluer les effets de la fatigue dans ces condi tions, à l’aide de modèles adaptés, prenant en compte les mécanismes spécifiques. Dans ce but, ce chapitre propose un panorama général de la situation, en insistant sur la nécessité de défendre des modèles à la formulation rigoureuse, et susceptibles de s’appliquer de façon claire à des chargements quelconques plutôt que de simples lissages liés à une expérience donnée, qui n’offrent pas d’intérêt pour une utilisation générale.
Brown et Miller, dans une classification de 1979 [BRO 79], distinguent quatre phases dans le phénomène de fatigue : (I) germination – ou microamorçage – de la fissure, (II) croissance de la fissure selon un plan de cisaillement maximal (III) pro pagation normale à la contrainte de traction (IV) rupture de l’éprouvette. Germination et croissance se situent en général à l’intérieur d’un grain situé en surface du matériau ; la croissance de la fissure commence par une étape, dite de « fissure courte », au cours de laquelle la géométrie de la fissure n’est pas clairement définie, et où sa direction de propagation est intimement liée à la géométrie et aux orientations cristallines des grains, et que l’on nomme parfois micropropagation. L’amorçage macroscopique, au sens de l’ingénieur sera aussi celui que retient le mécanicien pour son élément de vo lume : il coïncide avec le moment où la taille de la fissure devient suffisamment grande pour que celleci impose son propre champ de contrainte, prenant le pas sur les aspects microstructuraux. A cette échelle (typiquement plusieurs fois la taille de grains), il est possible de donner une existence géométrique propre à la fissure, et de traiter de façon spécifique le problème de la propagation d’une fissure dominante. La description de cette dernière phase appartient plutôt au domaine de la mécanique de la rupture, alors que les premières ressortent davantage de la fatigue à proprement parler. Le chapitre regroupe les modèles utilisables par l’ingénieur qui permettent de définir l’amorçage macroscopique.
La première section de ce chapitre présente les ingrédients nécessaires à la mo délisation de la fatigue multiaxiale et introduit quelques techniques utiles à la mise en œuvre des calculs dans ce domaine, notamment pour la caractérisation des cycles de fatigue multiaxiale. La deuxième section aborde brièvement les résultats expéri mentaux essentiels dans le domaine de l’endurance qui dirigeront l’établissement des
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modèles. La troisième section s’efforce de donner un point de vue général des critères d’endurance sous sollicitation multiaxiale, en commençant par les plus classiques et en présentant quelques modèles plus récents. Enfin, la quatrième section introduit le domaine de la fatigue multiaxiale oligocyclique. Là encore, il a été nécessaire de faire des choix dans les critères présentés, en essayant de privilégier la diversité des ap proches existantes, sans prétendre à une illusoire exhaustivité.
7.1.1.Grandeurs relatives à un plan
Certains critères de fatigue qui seront présentés cidessous – dits de peuvent faire intervenir deux types de grandeurs : les grandeurs liées ou la déformation normales à un plan donné, et les grandeurs liées à ou la contrainte tangentes à ce plan.
plan critique –, à la contrainte la déformation
D’un point de vue géométrique, un plan est repéré par sa normalen. Les critères qui font intervenir une intégration sur tous les plans, le font généralement en repérant les plans par deux angles,θetφ, variant respectivement entre0etπ, et0et2πpour parcourir tous les plans (voir figure 7.1). z
φ
θ
n
y
x Figure 7.1.Repérage de la normale à un planviales deux anglesθetφ dans un repère cartésien
Dans le cas d’un plan de normalenet pour un état de contrainteσ, le vecteur de contrainte normal au plan,T, est donné par : T=σ.n(7.1) .représente le produit matricevecteur, avec contraction sur un indice. Ce vecteur contrainte peut se décomposer en une contrainte normale définie par le scalaireσnet un vecteur contrainte tangentielleτ, qui s’écrivent :
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. σn=n.T=n.σn
τ=Tσnn
La norme du vecteurτvaut :  1/2 2 2 kτk=kTk −σ n
(7.2)
(7.3)
(7.4)
On peut également s’intéresser au vecteur cission résolue, qui correspond à la pro jection du vecteur contrainte tangentielle dans une directionldonnée du plan de nor malen, qui vaut donc :
τ(l) =l.τ=l.T=l.σ.n=σ:m ∼ ∼
(7.5)
mest le tenseur d’orientation, partie symétrique du produit deletn, et où: désigne le produit doublement contracté entre deux tenseurs d’ordre 2 symétriques, (ln+nl)/2.
Dans ce cas, une direction particulière sera repérée par un angleψet il sible d’intégrer sur toutes les directions pour un plan de normalenlorsque entre0et2π(voir figure 7.2).
ψ
l
n
Figure 7.2.Repérage d’une directionldans un plan de normalen à l’aide de l’angleψ
sera pos ψvariera
Ainsi, l’intégrale d’une grandeurfpour toutes les directions dans tous les plans s’écrira :
Z Z Z f(θ, φ, ψ)dψsinθdθdφ
(7.6)
7.1.1.1.Contrainte normale
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La contrainte normaleσnétant une grandeur scalaire, elle pourra être utilisée telle quelle dans les critères de fatigue. Ainsi, on pourra définir sur un cycle : σnmin, la contrainte normale minimale ; σnmax, la contrainte normale maximale ; σna= (σnmaxσnmin)/2, l’amplitude de la contrainte normale ; σ= (σ+σ)/2, la contrainte normale moyenne ; nmnmaxnmin σna(t) =σn(t)σnm, la partie alternée de la contrainte normale à l’instantt.
7.1.1.2.Contrainte tangentielle
La contrainte tangentielle étant une grandeur vectorielle, il va falloir lui faire subir un traitement supplémentaire pour en extraire des grandeurs scalaires à l’échelle d’un cycle. On utilise pour ce faire le plus petit cercle circonscrit au trajet de la contrainte tangentielle, de rayonRet de centreM(voir figure 7.3). On définit les grandeurs suivantes : τ, l’amplitude de contrainte tangentielle, égale au rayonRdu cercle circonscrit na au chemin défini par l’extrémité du vecteur contrainte tangentielle dans le plan de la facette ; τnm, la contrainte tangentielle moyenne, égale à la distanceOM, de l’origine du repère au centre du cercle circonscrit ; τna(t) =kτ(t)τnmk, la contrainte tangentielle alternée.
~ l
~n
R τna(t) τ na
M τnm
~m
Figure 7.3.Plus petit cercle circonscrit à la contrainte tangentielle
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7.1.1.3.Détermination du plus petit cercle circonscrit au chemin de la contrainte tangentielle
Plusieurs méthodes ont été proposées pour déterminer le plus petit cercle circons crit à la contrainte tangentielle [BER 05], telles que : – l’algorithme de combinaison des points proposé par Papadopoulos (cette mé thode est à déconseiller pour les grands nombre de points, le temps de calcul devenant 4 prohibitif, cet algorithme est enO(n)[BER 05]) ; 2 – un algorithme proposé par Weberet al.[WEB 99b], enO(n)qui[BER 05], repose sur l’approche de Papadopoulos mais permet de réduire nettement les temps de calcul en ne calculant pas tous les cercles possibles comme l’impose l’algorithme de Papadopoulos ; – la méthode incrémentale proposée par Dang Vanet al.[DAN 89], dont le coût est difficile à évaluer théoriquement, et qui semble être enO(n), mais peut avoir du mal à converger dans certains cas [WEB 99b] ; – des algorithmes d’optimisation type minimax, dont les performances dépendent de la tolérance et du choix initial ; – des algorithmes dits « aléatoires » [BER 98, WEL 91], enO(n), qui semblent être les plus efficaces [BER 05].
Nous présentons ici brièvement l’algorithme aléatoire [BER 98, WEL 91] qui a été fortement optimisé par Gärtner [GÄR 99]. Cet algorithme consiste à parcourir la liste des points considérés et à les ajouter un par un à une liste temporaire s’ils sont contenus dans le cercle circonscrit courant. Si le nouveau point à insérer n’est pas contenu dedans, il appartient nécessairement à son périmètre, et l’on fait appel à un ou deux sousprogrammes pour construire le nouveau cercle circonscrit aux points déjà ajoutés dans la liste. Le pseudocode de cet algorithme est donné ciaprès.
Ici,Pconstitue la liste desnpoints dont il faut déterminer le plus petit cercle circonscrit, lesPisont les points de cette liste et lesPtsont les listes des points qui ont été pris en compte. Le sousprogrammeCERCLE(P1, P2(, P3))renvoie un cercle défini par un diamètre (quand deux points lui sont passés en paramètres) ou par trois points (quand on lui passe trois points en paramètres) lorsque tous les points ont été ajoutés àPt.