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Modèles mathématiques en hydrologie et en hydraulique fluviale

De
250 pages
Ce Traité d'hydraulique environnementale étudie le cycle de
l'eau depuis la météorologie jusqu'à la morphodynamique
littorale
, en passant par l'hydraulique des rivières, l'hydrogéologie
ou encore par l'hydraulique maritime. Il décrit ces processus
physiques, depuis les bassins versants jusqu'à la mer. Il dresse un
inventaire des instruments de mesure terrain qui fournissent des données
d'entrée aux outils de modélisation. Les modèles mathématiques décrivant
chaque domaine sont détaillés par processus sous la forme de systèmes
d'équations.
Ces derniers sont résolus par la mise en œuvre de
méthodes numériques adaptées à leurs caractéristiques. Plusieurs outils de
modélisation utilisés de manière opérationnelle par les ingénieurs sont
ensuite décrits. Enfin, de nombreux exemples d'application sur des cas
réels illustrent l'ensemble de la démarche.
Cet ouvrage
accompagne le lecteur depuis l'observation en nature des processus
physiques jusqu'aux études d'ingénierie menées par les bureaux d'études
pour résoudre les problèmes complexes que posent les usages de l'eau dans
notre quotidien.
Le traité d'hydraulique environnementale
concerne les domaines suivants :
processus hydrologiques et fluviaux,
processus estuariens et littoraux - systèmes d'acquisitions des données,
modèles mathématiques en hydrologie et en hydraulique fluviale, modèles
mathématiques en hydraulique maritime et modèles de transport,
modélisation numérique - différences, éléments et volumes finis, approches
spectrales, et assimilation de données, exemples d'applications des
modèles numériques en ingénierie, logiciels d'ingénierie du cycle de l'eau.
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Introduction
Ce traité sur l’hydraulique environnementale comprend neuf volumes : les deux premiers volumes se sont attachés à décrire les principaux processus physiques ainsi que les domaines physiques où ils peuvent être observés et mesurés.
Le présent volume est dédié à la modélisation mathématique en hydrologie et en hydraulique fluviale.
Il est complété par un volume dédié à la modélisation mathématique en hydraulique maritime aux modèles de transport et aux modèles conceptuels.
Il est suivi par deux volumes dédiés à la modélisation numériques, un volume sur la présentation de logiciels opérationnels et deux volumes sur des exemples d’application de logiciels dans des études de cas.
Le présent volume reprend les théories mathématiques qui permettent de représenter ces processus et de les simuler. En l’état de l’art actuel, il n’existe pas de théorie unifiée pour décrire à l’aide d’un système unique l’ensemble des processus physiques contenus dans le champ de cet ouvrage.
La plupart des disciplines scientifiques concernées ici : que ce soit l’hydraulique à surface libre ou l’hydrogéologie ont débuté par une période d’expérimentation propice à la compréhension et à la recherche de lois de comportement qui mettent en corrélation plusieurs grandeurs observables.
Introduction rédigée par Jean-Michel TANGUY.
16 Traité d’hydraulique environnementale 3
A l’opposé se trouvaient élaborées les grandes théories de la mécanique e des fluides qui ont pris leur essor auXVIII siècle, avec notamment les travaux d’Euler. La jonction entre les approches empiriques et théoriques ne fut établie qu’à la fin du xixe siècle.
Aujourd’hui, la plupart des disciplines scientifiques traitées dans cet ouvrage ont quitté le pur empirisme et s’appuient sur un corpus théorique complété par des modèles de fermeture pour la plupart empiriques. Elles semblent de prime abord de niveaux de développement contrastés : certaines faisant l’objet de formalismes mathématiques complexes, d’autres restant au niveau de modèles très simples. Leur point commun est quelles traitent toutes du comportement de milieux naturels au travers de lois de conservation : masse, quantité de mouvement, énergie.
Nous avons souhaité dans ce volume, donner au lecteur une vision intégratrice de ces disciplines liées à l’eau.
Le fil conducteur de cette présentation suit le développement des modèles numériques dans chaque discipline. En effet, un mouvement de balancier s’est opéré depuis les années 1960 entre complexité et simplicité. Prenant naissance avec l’avènement des premiers ordinateurs, les premiers travaux ont consisté à simplifier au maximum les modèles mathématiques tridimensionnels complexes au profit de modèles beaucoup plus simples, mais utilisables en ingénierie. Puis au fur et à mesure de l’augmentation de la puissance des traitements, un mouvement rétrograde s’est amorcé, qui a consisté en un relâchement des hypothèses simplificatrices à la base des nouveaux modèles. On assiste de nos jours à l’élaboration de modèles très sophistiqués. Cette démarche itérative est apparue pour la plupart des disciplines et a laissé sur son passage, une multitude des modèles mathématiques plus ou moins simplifiés qui sont présentés ci-après.
Ce volume comprend six chapitres : Chapitre 1 Rappels de mécaniques des fluides Chapitre 2 Les équations 3D de Navier-Stokes Chapitre 3 Les modèles d’atmosphère Chapitre 4 Modèles d’hydrogéologie Chapitre 5 Modèles de courantologie fluviale et maritime Chapitre 6 Modèles en hydrologie urbaine
Introduction 17
Le chapitre 1 consiste en une présentation assez mathématique des principes de mécanique des fluides et présente les formulations des grandes lois de cette discipline, sous une forme assez théorique, mais qui peut être traversée rapidement si le lecteur l’estime nécessaire. Sont rappelés les théorèmes de la quantité de mouvement, les notions fondamentales de l’énergie cinétique, de l’enthalpie, ainsi que le premier principe de la thermodynamique : la loi de Newton qui concerne l’état des contraintes dans un fluide en mouvement. Ce corpus théorique sert d’assise aux présentations suivantes par discipline.
Le chapitre 2 présente les équations de Navier-Stokes et permet d’expliciter un peu plus précisément la forme de ce système d’équations qui est à la base de grands développements en mécanique des fluides et qui est plus particulièrement en usage, sous sa forme tridimensionnelle, en météorologie, dans le domaine des écoulements souterrains et de la houle. Il est probable que cette tendance s’étende dans les prochaines années progressivement au domaine de l’hydraulique fluviale, de la qualité des eaux et de la sédimentologie.
Tout naturellement, ce chapitre est suivi par une présentation des modèles d’atmosphère (chapitre 3) qui sont utilisés par les services météorologiques nationaux. Pour être en mesure d’établir les premiers modèles et de les résoudre sur ordinateur, de nombreuses simplifications ont été nécessaires 1 pour obtenir un modèle barotrope à une seule couche et à divergence nulle dès 1950. Le développement des calculateurs a ensuite permis de remonter vers des modèles plus complets par relâchement des hypothèses simplificatrices. Des modèles filtrés à plusieurs niveaux d’altitude, dits 2 modèles baroclines filtrés ont ainsi vu le jour. Ce n’est que tout récemment que des modèles non hydrostatiques tridimensionnels ont fait leur apparition pour travailler à l’échelle de quelques kilomètres en plan. Comme l’illustre la figure i.1, ces modèles fournissent des prévisions du temps et en conséquence tous les paramètres de forçage aux autres modèles : pluie et température aux modèles hydrologiques, hydrauliques complétés par le vent et la pression pour les modèles d’état de mer.
1 Se dit d’un état ou d’un modèle de prévision dans lesquels les surfaces de pression constantes (isobares) sont parallèles à celles de densité constante. Les modèles correspondants sont bidimensionnels 2 Les surfaces de pression constantes intersectent celles de densité. Les modèles correspondants sont tridimensionnels
18 Traité d’hydraulique environnementale 3
Pour les hydrologues, la tâche n’est pas très simple : à partir de la pluie, il faut non seulement qu’ils représentent ce qui se passe en surface, mais également dans le sol : les deux types d’écoulement étant fortement couplés. Comme nous le verrons plus loin, les modèles hydrologiques sont de nature conceptuelle. En revanche, les écoulements dans le sol sont bien appréhendés par des modèles hydrogéologiques (chapitre 4). Ceux-ci fournissent les niveaux de nappe et les débits aux hydrologues et aux hydrauliciens. Les hydrogéologues partent des équations de Navier-Stokes, mais leur adjoignent la loi de comportement macroscopique de Darcy. Dans cette discipline également, les développements ont été progressifs, traitant tout d’abord les écoulements saturés puis les écoulements non saturés de manière plus globale. Les derniers modèles sont plus sophistiqués, mais demeurent encore tributaires de lois empiriques pour représenter la rétention ou la perméabilité.
Après la présentation des modèles hydrogéologiques, nous abordons le domaine des modèles de courantologie fluviale et maritime (chapitre 5). De manière identique à la météorologie, les modèles se sont développés du plus simple au plus complexe. Les modèles monodimensionnels élaborés par des bureaux d’études dans les années 60, cèdent petit à petit la place à des modèles 2D. Ces modèles présentent une extension de leur domaine d’application vers l’amont avec l’hydrologie, mais également vers l’aval avec le maritime, où nous rejoignons nos collègues les océanographes qui utilisent des modèles très voisins, mais tridimensionnels. Ces modèles intègrent des relations empiriques essentiellement pour représenter la rugosité ; les modèles de fermeture utilisés pour représenter la turbulence en nature sont encore peu satisfaisants.
Il nous faut ensuite faire un petit détour vers l’hydrologie urbaine (chapitre 6) où ce sont les mêmes modèles qui sont utilisés, mais de deux manières différentes : d’une part en conduite, pour simuler les écoulements dans les réseaux d’assainissement et d’autre part à ciel ouvert dans les rues pour reproduire les écoulements d’eau sur les chaussées provenant de la concentration des eaux de pluie ou du débordement des réseaux. Cette discipline se situe à la convergence de l’hydrologie puisqu’elle s’intéresse à de petits bassins versants fortement imperméabilisés aux comportements très complexes et à celle de l’hydraulique classique. Elle combine donc les deux types d’outils.
Le diagramme de la figure i.1 illustre les diverses relations et interactions entre les modèles. Les modèles météorologiques, tout en amont, simulent l’atmosphère et fournissent les paramètres du temps aux modèles hydrologiques, hydrauliques et hydrogéologiques qui gèrent les écoulements
Introduction 19
Nous encourageons le lecteur à parcourir l’ensemble de ces développements en gardant à l’esprit la cohérence qui existe entre ces diverses disciplines qui puisent dans les mêmes racines de la théorie, mais s’en écartent par des connaissances spécifiques au domaine étudié. Que ce soient les bassins versants avec la complexité des sols, les rivières avec l’évolutions de leurs lits et la variété des écoulements en étiage et en crues, les villes avec l’hétérogénéité d’occupation des sols, le littoral avec les interactions des houles, des courants et du transport de sédiment, tous ces milieux n’ont pas encore fini de nous livrer tous leurs secrets…
Modèles morphodynamiques fluviaux
infiltration évapo-transpiration
crues rejets
Modèles météorologiques
Figure i.1.Schéma des liens entre les modèles
courants niveaux houle
Modèles hydrauliques maritimes
courants niveaux houle
Modèles hydrauliques fluviaux
courants niveaux
transport vers la mer
vent
Modèles pollution
Modèles hydrologiques
Modèles hydrogéologiques
alimentation
Modèles hydrauliques urbains
pluie
pluie température
pluie vent
pluie
pluie vent
de l’eau. Ceux-ci sont d’ailleurs interactifs dans la majorité des situations naturelles. La troisième strate de modèles s’attache à représenter les effets des écoulements sur le milieu fluvial ou maritime ainsi que les problèmes de pollution des eaux.
Modèles morphodynamiques maritimes
vent