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I. S. F. A. _________
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________ Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants
I
On noteΓ(t),ψ(t)etϕ(t)les intégrales : = dx Γ(t)xt1 ;ψ(t)= xtx+1dx ;ϕ(t)=oxetx1dx1. x oeoe 1 1°- Justifier pourt>0 lexistence deΓ(t)etψ(t) et, pourt>1, l'existence deϕ(t). 2°- Montrer que, pourt>1,Γ( t )=( t1 )Γ( t1 ). CalculerΓ(n)pournentier strictement positif. Dans la suite du problème on suppose t>1 3°- On noteϕn(t)etψn(t)les suites définies surN*par : n→ ϕn(t)=ex( 1+ex++enx) xt1dxo
n→ψn(t)=ex( 1ex++(1 )nenx) xt1dxo (Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégralesϕn( t )etψn( t ) ( voir 1°-))
Justifier les inégalités : ϕn( t )−ϕ( t )e( n+1 )xxt2dx= Γ( tt1)1o( n+1 ) Γ ψn( t )−ψ( t )e( n+2 )xxt1dx+=( t )to 2 )( n 4°- On pose, pournentier strictement positif : Un( t )=1+21t+..+1tSn( )= −1t+.+(1 )n+1n; . nt 1 2t
Montrer que :
ϕn( t )= Γ( t )×Un+1( t );ψn( t )= Γ( t )×Sn+1( t )Déduire la convergence des séries1 etn+1 n1ntn11(n)t.
En notantU(t)etS(t)de ces deux séries montrer que :les sommes  U ( t ) t )U (1;S( t )S ( t )1. n 1( t )nt1n( n+1 )t
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Concours d'Entrée _______________
5°- En étudiant la différenceϕ(t)−ψ(t), établir la relationψ(t)= ϕ(t)×( 12t11). . En déduire l'égalitéS( t )=U ( t )×( 12t11) 6°- Pour calculer une valeur approchée deU(t)on peut :  soit (méthode a) calculerUn( t ) ;soit (méthode b) calculerSn( t )et utiliser la relation obtenue au 5°. On noteαn( t )etβn( t )les majorations des erreurs obtenues en utilisant respectivement: U ( t )Un( t )1t 1 ;( méthode a)S( t )Sn( t )( n+11)t(méthode b) ( t1 )n
Montrer que : β n( tn)=t 1×t 1 αn ( n( t )+1 )t1 1 2t1 En déduire que , pour tout entier strictement positif, on a : βnt(())ttt111 pour1<t<2 αn2×( 21 ) 2×ln( 2 ) βn( t )( t1 )t×1 pourt2αn( t ) tt11 2t1 ( t1 )t Montrer que la fonctiontest croissante sur[2,). Donner sa limite quandttend verstt Montrer que la fonctiont1t11est croissante sur[2 ,)2 Quels commentaires pouvez-vous faire relativement au choix entre les deux méthodes?
II- A On notefetgles fonctions de3dansRdéfinies par : f ( x, y, z )=( x+yt+zt2)2etdt ;g( x, y, z )=2f ( x,2y, z )2 pour(x,y,z)(0,0,0) ox+y+z 1°- Justifier l'existence de l'intégralef(x,y,z). Montrer que la fonctiongest invariante par homothétie. 3 2 2 2°- Soit x, y, z )S= (R / x+y+z2=1 (i) Montrer queSest une partie bornée et fermée de3. En déduire lexistence dun point( x0, y0, z0)deStel que pour tout(x,y,z)deS on aitf ( xo, yo, zo)f ( x, y, z ).  (ii) Montrer que la différentielle de la fonctiongest nulle en( x0, y0, z0) .
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3°- On notetVla matrice ligne[x, y, z] ettV0la matrice ligne[x0, y0, z0] .V etV0 désignent les matrices colonnes transposées correspondantes.  (i) Montrer quef ( x, y, z )peut s'écriretV×M×V oùM est une matrice carrée d'ordre 3, symétrique définie positive dont on donnera l'expression. °  (ii) Montrer queM×V0=f ( x0, y0, z0)×V0 ( On pourra utiliser 1 -(ii)) En déduire quef ( x0, y0, z0)la plus petite valeur propre deest égal à M. 4°-On note le produit scalaire défini sur3parφ( a ,b )=tA×M×B. (AerpsmevetiecntB- désigne la matrice colonne associée au vecteuratnevemce-iterpsb-). On noteaM2= φ( a , a )le carré de la norme associée. On note encore{e0,e1,e2}la base canonique de3.  (i) Montrer quef ( 1, y, z )=e0+y e1+z e2M2. En déduire l'existence d'un unique couple de réels( y1, z1) tel que pour tout couple(y,z)de2on aitf ( 1, y1, z1)f ( 1, y, z ) (ii) Déterminer le couple( y1, z1)et calculerf ( 1, y1, z1) .Montrer alors que la plus petite valeur propre de la matriceMest majorée par1/3. II B -Dans cette partie on généralise àncertains des résultats obtenus dans la partie A. On rappelle quetketdt= kk! (N ) 0 On notef ( a0, a1,.., an1) l'intégrale( a0+a1t+..+an1tn1)2e-tdt0 t 1°- Expliciter la matriceMntelle quef ( a0,a1,..,an1)=V×Mn×V oùtV désigne la matrice ligne [a0, a1,.., an1]etVla matrice colonne transposée detV. 2°-(i) Montrer qu'il existe un unique point( b1,b2,..,bn1)den1tel que pour tout point( a1, a2,.., an1)de n1on ait :f ( 1,b1,..,bn1)f ( 1,a1,..,an1) (ii) Montrer que les réels( b1,b2,..,bn1)sont solutions du système : n1 b× +)= −k! j=1j ! j( kk=1,2,..,n1 On admettra que ce système admet pour solution : b=(+1 )j×jjCn ( 1 j )!1j=1,2,.., n1  (iii) Montrer que : 1 f ( 1,b1,..,bn1)=[1,b1,..,bn1]×Mn×0. 0 En déduire quef(1,b1,..,bn-1)=1/n3°- Conclure de 1° et 2° que la plus petite valeur propre de la matriceMntend vers0quandntend vers+.
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