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Analyse PSI

De
496 pages


L'enseignement d'analyse de la filière PSI abordé en un seul volume, sous la forme d'un cours clair et concis. Des pages de méthode et des exercices corrigés, variés et progressifs, permettent un entraînement et une préparation efficaces.

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1. Espaces vectoriels normés A. Normes et distances. . . . . . . . . . . . .8 B. Étude locale des applications  Continuité. . . . .19 C. Continuité des applications linéaires. . . . . . .25 D. Espaces vectoriels normés de dimension finie. . .29 Méthodes:. . . . . . . .Lessentiel ; mise en uvre 32 2. Séries réelles ou complexes A. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . .40 B. Séries à termes réels positifs. . . . . . . . . .47 C. Séries absolument convergentes. . . . . . . . .54 D. Séries alternées. . . . . . . . . . . . . . .57 Méthodes:Lessentiel ; mise en uvre . . . . . . . .58 Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . .71 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . .76 3. Suites et séries de fonctions A. Convergence dune suite ou dune série de fonctions.94 B. Continuité  Limite. . . . . . . . . . . . . .99 C. Intégration  Dérivation. . . . . . . . . . .101 D. Approximation des fonctions dune variable réelle.105 Méthodes:Lessentiel ; mise en uvre . . . . . . .109 Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . .118 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . .124 4. Dérivation  Intégration sur un segment A. Dérivation des fonctions vectorielles. . . . . .144 B. Intégration sur un segment. . . . . . . . . .149 C. Dérivation et intégration. . . . . . . . . . .155 Méthodes:Lessentiel ; mise en uvre . . . . . . .161 Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . .165 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . .169 5. Séries entières A. Définition  Rayon de convergence. . . . . . .180 B. Séries entières dune variable réelle  Intégration Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . .185 C. Développement en série entière. . . . . . . .188 D. La fonction exponentielle complexe. . . . . .195 Méthodes:. . . . . . .Lessentiel ; mise en uvre 198 Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . .211 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . .216
Sommaire
5
6
6. Intégration sur un intervalle quelconque A. Intégrale impropre, convergence. . . . . . . . . .240 B. Intégrales de fonctions positives. . . . . . . . . .246 C. Absolue convergence  Intégrabilité  Semiconvergence.251 D. Changement de variable. . . . . . . . . . . . .257 E. Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . .258 F. Convergence en moyenne, en moyenne quadratique. . .260 G. Convergence dominée. . . . . . . . . . . . . .261 H. Fonctions de la forme!(t)t. . . . . . . . .265 xfx,d I Méthodes:. . . . . . . . .Lessentiel ; mise en uvre 270 Énoncésdesexercices. . . . . . . . . . . . . . . .282 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . .287 7. Séries de Fourier A.Fonctionsrégularisées.Polynomestrigonométriques. . .304 B. Coefficients et séries de Fourier. . . . . . . . . . .308 C. Convergence des séries de Fourier. . . . . . . . . .312 Méthodes:Lessentiel ; mise en uvre . . . . . . . . .318 Énoncésdesexercices. . . . . . . . . . . . . . . .321 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . .324 8.Équationsdifférentielles A. Équations linéaires. . . . . . . . . . . . . . . .340 B. Équations non linéaires. . . . . . . . . . . . . .349 Méthodes:Lessentiel ; mise en uvre . . . . . . . . .354 Énoncésdesexercices. . . . . . . . . . . . . . . .367 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . .369 9. Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel A.Fonctionscontinumentdifférentiables. . . . . . . .382 B. Dérivées partielles dordre supérieur. . . . . . . . .393 C. Changement de variables. . . . . . . . . . . . .396 D. Extremum relatif. . . . . . . . . . . . . . . .398 Méthodes:. . . . . . . . .Lessentiel ; mise en uvre 401 Énoncésdesexercices. . . . . . . . . . . . . . . .407 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . .410 10. Courbes et surfaces A. Courbes déquation( ). . . . . . . . . . .422 Fx, y=0 B. Courbes paramétrées. . . . . . . . . . . . . . .423 C. Surfaces et nappes paramétrées. . . . . . . . . . .426 Énoncésdesexercices. . . . . . . . . . . . . . . .438 Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . .439 11. Fonctions de plusieurs variables  Calcul intégral A. Formes différentielles de degré un. . . . . . . . . .446 SNotationsousuelles. . . .m. . . . . . . . .m. . . . .464aire B. Intégrale curviligne. . . . . . . . . . . . . . .449 C. Intégrale double  Calcul daires planes. . . . . . . .452 D. Intégrale triple  Calcul de volumes. . . . . . . . .457 INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460
CHAPITRE 1
Espaces normés
vectoriels
A. Normes et distances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.Normes et distances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Topologie dun evnE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.Suites dun evnE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Étude locale des appplications  Continuité. . . . . . . . . . . . . . . 1.Limite  Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Relations de comparaison au voisinage dun point. . . . . . . . . . . . . . . 3.Parties compactes dun espace vectoriel normé. . . . . . . . . . . . . . . . . C. Continuité des applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Espaces vectoriels normés de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . 1.Équivalence des normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Continuité des applications linéaires et multilinéaires. . . . . . . . . . . . . .
8 8 12 16
19 19 23 24
25
29 29 29
Méthodes:32Lessentiel ; mise en uvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Chapitre 1 : Espaces vectoriels normé s
A.
Normes
(1) Sur"ou#, la norme usuelle est la valeur absolue.
(2) Labréviationevn est courante.
(3) NFetdFsont encore usuellement notéesNetd.
(4) Les boule ou sphère de centre0Eet de rayon1 sont appelées boule unité , sphère unité deE.
8
et
distances
Dans tout ce chapitre,!désigne le corps des réels ou le corps des complexes. Eest un!espace vectoriel. 1.Normes et distances
Définition 1 (1) On appellenormesurEune applicationN:E"+vérifiant, pour tous vecteurs x, ydeEet tout scalaire!de!: (1)N( )E, x=0x=0 (2)N(!x)=!N(x), (3)N(x+y)"N(x)+N(y). (2) Le couple(E,N)est appelé unespace vectoriel normé.Une norme est souvent notée ::x!x.
Remarque x!Ex"0x Daprès(1)une norme vérifie :(4)#,EN( )>0. Réciproquement, si une applicationNdeEdans"+vérifie les axiomes(2)et(4), en donnant dans(2)la valeur0à!, on obtientN0E=doncNvérifie(1). 0 Enconséquence,unenormepeutaussietredéniecommeuneapplicationN:E" vérifiant les axiomes(2),(3)et(4).
Définition 2 Distance associée à une norme Soit(E,N)un espace vectoriel normé, lapplicationddéfinie par : 2 d:E"+,(x, y)!d(x, y)=N(x est appelée ladistanceassociée à la normeN.
y)
Définition 3 Norme et distance induites Soit(E,N)un espace vectoriel normé etFun sousespace vectoriel deE. La restrictionNFdeNàFest une norme, appeléenormesurFinduiteparN. 2(3) La restriction à de la distance associée àNest la distancedFassociée àNF.F
On considère désormais un espace vectoriel normé(E,N).
Définition 4 (4) Boules et sphères
a ) Laboule ouvertede centrea!Eet de rayonr!"+est : o(a,r)=x!E/N(ax)<r.
b ) Laboule ferméede centrea!Eet de rayonr!"+est : f(a,r)=x!E/N(ax)"r.
c ) Lasphèrede centrea!Eet de rayonr!"+est : (a,r)=x!E/N(ax)=r.
(5) Remarque. Lensemble "(A,E)des fonctions bornées deAdansEest un sous A espace vectoriel deEest; il normé par f=supNf(x). x!A SiA=$, il sagit de lespace des suites bornées deE.
Normes et distances
Définition 5 Une partieAnon vide deEest ditebornéesil existe une boule fermée deEcontenantA.
Définition 6 SoitAune partie non vide et bornée deE. On appellediamètredeAle réel : 2 $(A)=supN(xy)/(x, y)!A.
Définition 7 Ladistance dun pointxdeEà une partienon videAdeEest le réel : d(x,A)=infN(xy)/y!A. Ladistance de deux partiesnon videsAetBest le réel : d(A,B)=infN(xy)/x!A, y!B.
Définition 8 SoitAun ensemble non vide, uneapplicationf:AEest ditebornéesi son imagef(A) (5) est une partie bornée deE, donc sil existeM!"+tel que :#x!A,Nf(x)"M.
Définition 9 Normes équivalentes
N N 1 2 On dit que deux normesN1etN2surEsont équivalentes si les fonctions et définies N2N1 sur%Esont majorées. E0
Remarques 1 ) Cette définition peut se traduire par lexistence de deux réels&et'strictement positifs tels que&N1"N2" 'N1. 2 ) On définit ainsi une relation déquivalence sur lensemble des normes de lespaceE. En effet, on vérifie que cest une relation : réflexive : pour toute normeN,1N"N"1N 1 1 symétrique :&N"N" 'NdonneN"N"N 1 2 1 2 1 2 ' & transitive :&N1"N2" 'N1et&N2"N3" 'N2donnent : & &N1"N3'" ' N1. n Exemple 1Normes usuelles sur! n On notex=(x1,. . .,xn)!!. n a ) Montrer que lon définit trois normes sur!par les expressions suivantes : 1 n n 2 2 x=x,x=x,x=spx N1( )iN2( )iN( )ui. 1"i"n i=1i=1 b ) Dans le casn=2,!=", représenter les boules unités fermées1,2et associées à ces normes. c ) Montrer queN1,N2,Nsont deux à deux équivalentes. n a )N2est la norme préhilbertienne canonique de!attachée au produit scalaire : n (6) (6) V oir Algèbre  Géoméxy=xiyitrie, chap.5 i=1 Vérifions queN1etNsatisfont les axiomes de définition(2),(3)et(4)des normes. Ce sont clairement des applications à valeurs dans"+. n i!1, ,x x x x x Pour toutxde!, on a#[[n]i"N1( )eti"N( )donc si est non istei![[1,n]]tel t on aN1(x)>0etN(x)>0: laxiome(4)est nul, il ex quexi>0e vérifié. n x.x Pourx!"et!!!, on a!x=(!x1,!2,. .,!n)doù : N1(!)!N1( ),N(!)!N(x):(2)est vérifié. x=x x=
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