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R. Herbach
final MQ 51
23 01 2007
Durée 2 heures, documents autorisés
PARTIE A : CONTRAINTES EN POINTE DE FISSURE.
On étudie la répartition des contraintes en contraintes planes au voisinage de la pointe d’une
fissure. Les notations sont celles du cours. Les composantes de la contrainte sont données en
coordonnées polaires
)
e
,
e
(
r
θ
par :
θ
-
θ
π
=
σ
2
3
cos
2
cos
5
4
1
r
2
K
I
rr
θ
+
θ
π
=
σ
θ θ
2
3
cos
2
cos
3
4
1
r
2
K
I
θ
+
θ
π
=
σ
θ
2
3
sin
2
sin
4
1
r
2
K
I
r
A1) D’après le calcul des contraintes adimensionnelles en coordonnées polaires en contraintes
planes et pour
2
3
π
θ
=
:
a)
représenter ces contraintes sur un petit élément de matière du plan
)
e
,
e
(
r
θ
,
b) en déduire le tracé des cercles de Möhr,
c)
calculer et représenter les contraintes principales dans un plan
)
e
,
e
(
r
θ
sur un petit élément
de matière, en donnant l’orientation
α
d’une direction principale par rapport à
r
e
,
d) représenter le plan de scission maximale (base du critère de Tresca) sur la figure de gauche
du document annexe.
e)
le plan sur lequel s’exerce la scission octaédrale est représenté sur la figure de droite. Ce
plan possède-t-il une intersection avec le plan de scission maximale ? Si oui, tracez-là.
A2) En utilisant l’expression suivante de la scission octaédrale adimensionnelle valable dans
ce cas :
2
sin
3
1
2
cos
3
2
2
ad
θ
+
θ
=
τ
a) réécrire l’expression dimensionnée,
b)
en déduire l’écriture du critère de Von Misès lorsque f = 0.
PARTIE B : FISSURATION ET RUPTURE PAR FATIGUE OLIGOCYCLIQUE.
L’étude qui suit est librement inspirée des accidents catastrophiques survenus aux avions
Comet dans les années 1950.
Hublot du système de guidage
Le fuselage d’un avion de ligne est constitué de couples recouverts d’une tôle d’alliage
d’aluminium de type AU 2 GN d’épaisseur
0,9 mm
e
=
. La partie cylindrique du fuselage à
un rayon
2 m
R
=
. Au sol il n’y a aucune différence de pression entre l’intérieur de la
carlingue et l’atmosphère extérieure. En altitude de croisière l’intérieur est en surpression de
3
58.10 Pa
par rapport à l’atmosphère extérieure. Un vol de l’avion correspond donc à un
cycle de sollicitation avec
3
58.10
MPa
p
-
=
. On admet l’existence, dès la construction,
d’une fissure de longueur initiale
0
0,5 mm
a
=
située au coin d’un hublot du système de
guidage
à partir d’un bord libre
et orientée dans le sens le plus défavorable, dans une zone
de fortes concentrations de contraintes. On admet donc pour la contrainte tangentielle :
k pR
e
θθ
σ
=
Où k est un coefficient de concentration de contraintes, qui traduit l’effet des trous de rivets,
et dans la suite on prendra
2
k
=
. Les caractéristiques de fissuration du matériau mesurées
dans les conditions de service conduisent à la loi de Paris suivante :
11
4,2
1,2.10
est en m/cycle et
en MPa m
da
da
K
K
dN
dN
-
=
.
On connaît également la valeur critique du facteur d’intensité de contrainte pour une fissure
sollicitée en mode I :
65 MPa m
IC
K
=
.
B1) Au bout de combien de vols de cet appareil doit-on s’attendre à une catastrophe ?
B2) Avec les mêmes données, quelle épaisseur de tôle faudrait-il prévoir pour assurer la
sécurité pendant au moins
5
10
vols ?
a
0 0
e
II
e
II
e
I
e
I
e
III
e
III
M
M
Final MQ51 Annexe à compléter
Nom :
……………….
Prénom :
………………
e
II
e
II
e
I
e
I
e
III
e
III
M
M
e
II
e
II
e
I
e
I
e
III
e
III
M
M
Final MQ51 Annexe à compléter
Nom :
……………….
Prénom :
………………