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Notationsetd´enitions R SoientBlaCrn´eetboesde-a`elgedbrfoesitcncsnoitnoseunRdansCetB´eerbr`eleelala-glossu des fonctions deBllse.uleasvra´`ree R PourfdansB(resp.fdansBsup), on notef= sup{f(x), xR}(resp.kfk= sup|f|). On rappelle que (B,k kecapsenutse).´ermno iλt PourλdansR, soiteλdtnee´eleml´B´dine:raptR, eλ(t) = e. On notePle sous-espace deBe(rape´edrenngeλ)λR(espace desa`on´miroguqseteirpolmestynˆo fre´quencesre´elles´endntmo.O)erarneI.A que (eλ)λRest une famille libre deB, donc une base de PrmpeciCe.urrmesenoninur´deteedPen posant, pour toute famille presque nulle (cλ)λRde complexes :  ! X X N cλeλ=|cλ|. λRλR On a :pP,kpk6N(p). Soit Λ une partie non vide deR. On notePΛle sous-espace dePnerdegnr(´epaeλ)λΛ. On dit que Λ est unensemble de Sidonsi et seulement siNetk ktnelseqe´saviuidesnormenduisent surPΛbmelnees:euleietssilment´ce´rpe´s,etnedeieludenitalegn´mpco-tte,e,i.   N(p) , pPΛ\ {0} kpkestmajore´.Sitelestlecas,onpose:   N(p) K(Λ) = sup, pPΛ\ {0} kpkR R On noteP Λ´eeracsp-eussolelePΛBdePΛ. OnditqueΛestsyme´triquesietseulementsi:xΛ,xΛ. On dit que Λ est unonr´eelbledeSidesnmementsiΛseietseuleiruqeesttsys´mteeleistxiC >0 tel que : R pP, N(p)6Csup(p). Λ Si tel est le cas, on a en particulier : R pP\ {0},sup(p)>0, Λ et on pose :   N(p) 0R K(Λ) = sup, pP\ {0}. Λ sup(p)
SoientIun ensemble non vide et (ai)iIuenlldeafimbresenomls.Or´ee(euqtidnai)iIestQ-libre si et seulement si, pour toute famille presque nulle (λi)iIde rationnels, on a : X λiai= 0⇒ ∀iI, λi= 0. iI
Si (ai)iIn’est pasQ-libre, on dit que (ai)iIestQ-eei´l. SiAest une partie deR, on dit queAestQ-libre si et seulement si la famille (a)aAestQ-libre. Enfin, siEest une partie deRetγl,onr´eenunoteγEl’ensemble :{γx, xE}.
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Objectifsduproble`me,de´pendancedesparties Lebutessentielduproble`meestdeconstruiredessolutionsremarquablesdel´equationdesondes 3 surlasph`ereeuclidiennedeRrtieravYseeMey.raLappsetrevuoce´d,I´etablitqueeuqle´rstlussta pre´alablesconcernantles´ele´mentsdePetleynˆospoliertpageLedsemaL.erdneIIs´aeocnrtcees aux ensembles de Sidon. La partieIIIqulsneontirairdaL.seuqitardadieunens´etuitucilremelbpera partieIVdestliseutiabibpsorqieucenhtsilopseboruinetesrdlypoomnˆtresginomoe´rtqieuasyantdes normes quadratique et uniforme assez proches. La partieVrtiuocsnfonctleseseds´.estiiro´n La partieIIuqmeudinpene´detdenI.A. La partieIII´rselesilitueidelapartesultatsII. La partie IV´rpse´ceapseeitrdaenedntinstepd´eseL.edtniteparaViselutilesulesr´aledstateitrapI.B,ainsi que ceux des questionsIII.B.3 etIV.C.2.
I.Pr´eliminaires ´ A.Ele´mentsdeP X 1. (a)Soient (cλ)λRune famille presque nulle de complexes,λ0uleterne´p=cλeλ. λR Z T 1 D´emontrerquep(t)eλ0(t) dtgeversunconverpa´rcesilemiti`euqsrolreeT+. T 0 (b)D´emontrerque(eλ)λRest une famille libre duC-espace vectorielB. 2.OnsupposeΛsym´etrique. R . (a) SoitpdansPΛ.V´erierqueRepet Impsont dansPΛ (b)OnsupposequeΛestunensembledeSidonr´eel.De´montrerqueΛestunensemblede Sidon.
B.PolynoˆmesdeLegendre 2n(n) SinN,Unolynˆomesignelep´(edX1) ,Pnelopylomnˆe(Un)´e(d´vireenme`iede-Un) etLnle Pn polynˆomen 2n! 1. SoientndansNetxdans [1,1]. +(a) SoientrdansRetγn´earip:aleldtec iθ θ[π, π], γ(θ) =x+re. V´erierlarelation: Z 2n n! (z1) Pn(xd) =z. n+1 2iπ(zx) γ (b)D´eduiredea): Z π pn 1 2 Ln(x) =x1+ ixsinθdθ. 2π π p 2 Indication.Pourxdans ]1,1[, on pourra appliquer a) avecr= 1x. n o 2. SinN, calculerLn(1),Ln(1) et sup|Ln(x)|, x[1,1] . 3. Soientηdans ]0,1[ etIη= [(1η),1η]. (a)Ve´rier: Z π   1n/2 2 nN,xIη,|Ln(x)|61ηcosθdθ. 2π π (b)D´emontrerque(Ln)n>00surversmcentveoneurgfoni´ermIη.
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C.Ope´rateursdi´erentiels 2 SoitVl’espace vectoriel complexe des applications de classeCde [1,1] dansC. PourfdansV, soitD(f) l’application de [1,1] dansC:rapeine´d 200 0 x[1,1], D(f)(x) = (1x)f(x)2xf(x). Siλest dansC, soitVλle sous-espace deV´d:rapineVλ={fV, D(f) =λf}. n o Enfin, soit :Σ =λC, Vλ6={0}. 1. SoitndansN. 20 (a)V´erierlarelation:(X1)Un= 2nX Un. (b)Ende´duirel´egalit´e:D(Ln) =n(n+ 1)Ln. 2. SoientfetgdansVmont.D´ee´:lati´geerlr Z Z 1 1 D(f)(t)g(t) dt=f(t)D(g)(t) dt. 11 3.De´montrerque:Σ={−n(n+ 1), nN}. 4. SoitndansND´emontrerque.Vn(n+1)=CLn. Indication.nodsulitxuosededkienronsrlewcule:elleitnere´diontiuaeq´elnpOrroualac 200 0 (E) (1x)y(x)2x y(x) +n(n+ 1)y(x) = 0. 5.Lorsquoncherchelessolutionsdele´quationdesondessurlasphe`reeuclidiennetridimensionnelle 2 3 SdeReacspiuq´dennepetnededquneuorconndoe´,enosectnoudti`ad´eterminerleEdes 2 applicationsude classeCdeR×[1,1] dansCtelles que : 2 2 ∂ u∂ u∂u 2 (t, x)R×[1,1],(t, x) = (1x) (t, x)2x(t, x). 2 2 ∂t ∂x∂x
De´montrerqueles´ele´mentsdeEde la forme : (t, x)7→a(t)b(xu`o)a(resp.b) est une application 2 de classeCdeR(resp. [1,1]) dansC, sont les : √ √in(n+1)tin(n+1)t (t, x)7→Ln(x)αe +βe
2 2 avecnNet (α, β)C(, et les :t, x)7→λt+µavec (λ, µ)C.
II. Construction d’ensembles de Sidon
On noteC`gla-suoederbeaslB2ctedeenofstsno´utiinntseueioctconsπoiiduqsede-´preRdansC. A.Th´eore`medapproximationdeKroneckeretapplication n SoientndansN, (ωj)16j6nufanellmieredlee´,sωnt(lle´eme´ω1, . . . , ωn) deR,Gωle sous-groupe n n deRngerpa´edrenRωet 2πZre:a-di`-tsec n n Gω=Rω+ 2πZ={+ 2πv,(s, v)R×Z}. 1. Onsuppose (ωj)16j6nQli´e-.e n (a)De´montrerquilexisteuneformelin´eairenonidentiquementnulle`surRtelle que `(Gω)Z. n (b) Lesous-groupeGωest-il dense dansR?
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