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Epreuve ecrite de math ematiques g en erales
Pr eambule et notations pr eliminaires
Ceprobl emeintroduitlesop erateursdeDunkldeparam etrek dontonadmetlacommutativit e.
On etudie d’abord le cas k = 0, puis le rang 1 et enn certaines propri et es remarquables en
dimensionn.Onutilisecesop erateurspourd emontreruneformuledeMacDonaldsurl’int egrale
de Mehta.
Les deux premi eres parties sont ind ependantes. La troisi eme partie n’utilise que le I.2.
On d esigne par N l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls et par R l’ensemble des
nombres r eels.
Dans ce probl eme n est un entier sup erieur ou egal a 2. On note e
1
,...,e
n
la base
canonique de R
n
. On munit R
n
de sa structure euclidienne usuelle dont le produit scalaire est
not e (,).
On note R[X
1
,...,X
n
] l’alg ebre des polynˆ omes en n ind etermin ees a coecients dans R.
Tout polynˆ ome P de R[X
1
,...,X
n
] s’ ecrit de mani ere unique
P =
X
=(1
,..., n)∈N
n
a
X
1
1
...X
n
n
o u les a

sont des r eels nuls sauf pour un nombre ni d’entre eux.
Le polynˆ ome P etant x e, on note supp(P) l’ensemble des tels que aα
6= 0;
ainsi on peut ecrire P =
X
∈supp(P)
a
X
1
1
...X
n
n
.
Si P est un polynˆ ome de R[X
1
,...,X
n
], P d esigne aussi, par abus de notation, la fonction
polynomiale associ ee et on note P(x) l’ evaluation de P en x∈R
n
.
Le monˆ ome X
1
1
X
n
n
est de degr e
n
X
i=1

i
. Un polynˆ ome P non nul est dit homog ene de
degr e d si P est combinaison lin eaire non nulle de monˆ omes de degr e d. On note alors deg(P)
ce degr e.
On note le polynˆ ome
Y
16i<j6n
(X
j X
i
); il est homog ene de degr e
n(n1)
2

page 12Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
Si A et B sont deux op erateurs on note A
2
=AA et [A,B] le commutateur ABBA.
On rappelle la formule [A
2
,B] = [A,B]A+A[A,B].
On rappelle qu’il existe une action a gauche, not ee dans ce probl eme, du groupe sym etrique
S
n
sur R[X
1
,...,X
n
]. Pour ∈ S
n
et P =
X
∈supp(P)
a
X
1
1
...X
n
n
, cette action est d enie
par :
()(P) =
X
∈supp(P)
a
X
1
(1)
...X
n
(n)
.
On note aussi pour simplier

P =()(P).
On dit que P est sym etrique si on a

P =P pour tout ∈S
n
.
I Le cas classique
1. Soit P = X
1
1
...X
n
n
avec (
1
,...,
n
) ∈ N
n
. On note pour 1 6 i < j 6 n,
i,j
la
transposition (i,j). Calculer
P

i,j
P
X
iX
j

2. En d eduire que, pour tout polynˆ ome P de R[X
1
,...,X
n
] et pour toute transposition
i,j
(avec 16i<j 6n), P

i,j
P est divisible par X
iX
j
.
On dira qu’un polynˆ ome P est antisym etrique si, pour toute transposition ∈ S
n
, on a

P =P.
3. Soit un el ement deS
n
. On note () sa signature. Montrer que tout polynˆ ome P anti-
sym etrique v erie

P =()P.
4. Montrer que le polynˆ ome =
Y
16i<j6n
(X
j X
i
) est antisym etrique.
5. Soit P ∈ R[X
1
,...,X
n
] un polynˆ ome antisym etrique. Montrer qu’il est divisible par
dans l’anneau R[X
1
,...,X
n
].
Pour P polynˆ ome de R[X
1
,...,X
n
], on note P(∂) l’op erateur di erentiel obtenu en substi-
tuantauxsymbolesX
i
lesop erateursdi erentiels

∂X
i
Cettesubstitutionestpossiblecar,pour
16i6n les op erateurs

∂X
i
commutent deux a deux. Si P s’ ecrit
X
∈supp(P)
a
X
1
1
X
n
n
, on
a donc : P(∂) =
X
∈supp(P)
a


||
∂X
1
1
...∂X
n
n
, avec || =
1 +...+
n
.
page 13Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
Si P et Q sont deux polynˆ omes, on note PQ leur produit et on v erie facilement (mais on ne
demande pas de le faire) que l’on a l’ egalit e d’op erateurs
(P Q)(∂) =P(∂)Q(∂).
Ond enituneformebilin eairesur R[X
1
,...,X
n
]not eeh,ietdonn eepourP etQpolynˆ omes
de R[X
1
,...,X
n
] par : hP,Qi =P(∂)(Q)(0,...,0) (on evalue en 0 le polynˆ ome P(∂)(Q)).
6. Soient P et Q deux polynˆ omes homog enes non nuls avec deg(P)6= deg(Q). Montrer que
l’on a hP,Qi = 0.
7. Pour P,Q,R polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
], montrer que l’on a
hP Q,Ri =hQ,P(∂)(R)i.
8. Montrer que la forme bilin eaire h,i d etermine un produit scalaire d eni positif sur
R[X
1
,...,X
n
] (on pourra travailler dans une base adapt ee).
9. Pour ∈S
n
et P,Q polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
], montrer que l’on a
h

P,

Qi =hP,Qi.
10. Montrer que l’on a h,i = ( ∂)() = 1!2! ...n!
(on pourra utiliser le d eveloppement du d eterminant de Vandermonde

1 X
1
... X
n1
1
1 X
2
... X
n1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 X
n
... X
n1
n

,
dont on admettra par ailleurs l’expression factoris ee).
II Op erateur de Dunkl en rang 1
Dans cette partie k d esigne un param etre r eel strictement positif.
Pour f ∈C

(R), on d enit la fonction T(f) pour x6= 0 par :
T(f)(x) =f
0
(x)+k
f(x)f(x)
x
(on a not e f
0
la d eriv ee de la fonction f).
1. En utilisant la formule
f(x)f(x)
x
=
Z
1
1
f
0
(xt)dt, montrer que T(f) se prolonge en
une fonction de classe C

sur R. On la note encore T(f).
page 14Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
2. Pour m entier positif ou nul, calculer T(pm
) o u pm
est la fonction polynomiale d enie
pour x∈R par pm
(x) =x
m
.
Pour f ∈C

(R), on d enit la fonction V
k
(f) pour x∈R par :
V
k
(f)(x) =b
k
Z
1
1
f(xt)(1t)
k1
(1+t)
k
dt
avecb
k un r eel choisi de telle sorte que l’on aitV
k
(1) = 1. La fonctionV
k
(f) est clairement dans
C

(R) (on ne demande pas de le v erier et on ne cherchera pas a expliciter b
k
).
3. Pour f ∈C

(R), montrer que l’on a T

V
k
(f)

=V
k
(f
0
).
Pour∈R,onnotee

lafonctionexponentiellet7→ e
t
.OnposeE
=V
k
(e

)etJ

lafonction
d enie pour x∈R par J

(x) =
E

(x)+E

(x)
2

4. D eduire de ce qui pr ec ede que l’on a T(E

) =E

.
5. On suppose 6= 0. Montrer que l’on a, pour tout x∈R,
E

(x) =J

(x)+
1

dJ

dx
(x)
6. Montrer que J

v erie l’ equation di erentielle xy
00
(x)+2ky
0
(x) =
2
xy(x).
III Op erateur de Dunkl en dimension Cette partie utilise les notations pr eliminaires et la question I.2.
Dor enavant k d esigne un param etre r eel. On note R
+
le sous-ensemble ni de R
n
d eni par
R
+
=

e
ie
j

16i<j 6n

. Pour = e
i e
j ∈ R
+
(avec i < j), on note abusivement
X
= X
i X
j
et on ecrit

ou
i,j
la transposition (i,j) du groupe sym etriqueS
n
. D’apr es
la question I.2, on peut d enir une application lin eaire
de R[X
1
,...,X
n
] donn ee pour
Q∈R[X
1
,...,X
n
] par :

(Q) =
Q

i,j
Q
X
iX
j
=
Q

Q
X

Pour tout entier ‘ tel que 1 6 ‘ 6 n, on introduit l’op erateur de Dunkl d’indice ‘, not e
T

(k) (on notera aussi T

s’il n’y a pas de confusion possible), d eni pour tout polynˆ ome
Q∈R[X
1
,...,X
n
] par :
T

(k)(Q) =
∂Q
∂X

+k
X
16i<j6n
(e

,e
ie
j
)
Q

i,j
Q
X
iX
j
=
∂Q
∂X

+k
X
∈R
+
(e

,)

(Q)
(on rappelle que (,) d esigne le produit scalaire usuel sur R
n
).
page 15Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
1. SoitQunpolynˆ omehomog enenonnul.Montrerquepourtoutentier‘telque16‘6n,
le polynˆ ome T

(k)(Q) est nul ou homog ene de degr e deg(Q)1.
2. Montrerquel’ona,pourtoutpolynˆ omeQ,tout∈S
n
ettoutentier‘telque16‘6n,

T

(k)

Q

=T
(‘)
(k)

Q

.
Pour tout entier ‘ tel que 1 6 ‘ 6 n, on note M

l’op erateur de multiplication par X

. Pour
tout Q∈ R[X
1
,...,X
n
], on a donc
M

(Q) =X

Q.
On d enit l’op erateur D(k) par D(k) =
n
X
‘=1
T

(k)
2
.
3. Pour P,Q polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
] et ∈R
+
montrer que l’on a

(P Q) =P

(Q)+

(P)

Q

(on rappelle que l’on a not e P Q le produit de P et Q).
4. En utilisant la question pr ec edente, montrer que, pour tout couple (i,j) d’entiers tels que
16i,j 6n, l’on a, entre op erateurs de R[X
1
,...,X
n
], l’ egalit e
[T
j
(k),M
i
] = (e
i
,e
j
)Id+k
X
∈R
+
(,e
i
)(,e
j
)(

)
(on rappelle que le membre de gauche est le commutateur, (

) d esigne l’action de la
transposition
dansR[X
1
,...,X
n
]etIdd esignel’applicationidentiquedeR[X
1
,...,X
n
]).
5. Pour tout entier‘ tel que 16‘6n, d eduire des questions pr ec edentes que l’on a, entre
op erateurs de R[X
1
,...,X
n
], l’ egalit e
[D(k),M

] = 2T

(k)
(on pourra utiliser la formule du pr eambule sur le commutateur).
IV Produit scalaire de Dunkl et Int egrale de Mehta
Cette partie utilise les notations et les r esultats de la partie III.
On admet dans ce probl eme la propri et e de commutativit e suivante : pour tout
couple (i,j) d’entiers tels que 16 i,j 6 n, on a T
i
(k)T
j
(k) = T
j
(k)T
i
(k).
On note P

T(k)

(ou simplement P(T) s’il n’y a pas de confusion possible) l’op erateur obtenu
en rempla cant dans P les symboles X
i par les op erateurs T
i
(k). Cette substitution est possible
car, pour 16i6n les op erateurs T
i
(k) commutent deux a deux.
page 16Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
Si P s’ ecrit
X
∈supp(P)
a
X
1
1
X
n
n
, on a donc P(T) =
X
∈supp(P)
a
T
1
(k)
1
T
n
(k)
n
.
On d enit sur R[X
1
,...,X
n
] une forme bilin eaire (on ne demande pas de le v erier) not ee
h,i
k
et donn ee pour P,Q∈R[X
1
,...,X
n
] par : hP,Qi
k = P(T)(Q)(0,...,0)

on evalue en
0 le polynˆ ome P(T)(Q)

.
Dans les questions qui suivent,‘ d esigne un entier tel que 16‘6n.
1. Soient P et Q deux polynˆ omes homog enes non nuls avec deg(P)6= deg(Q).
Montrer que l’on a hP,Qi
k = 0.
2. Pour P,Q polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
], montrer que l’on a hM

(P),Qi
k =hP,T

(Q)i
k
(on rappelle que M
‘ d esigne l’op erateur de multiplication par X

).
3. Pour ∈S
n
et P,Q polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
], montrer que l’on a
h

P,

Qi
k =hP,Qi
k
.
4. Montrer que e

D(k)
2
, l’exponentielle de l’op erateur
D(k)
2
(avec D(k) introduit dans la
partie pr ec edente), est bien d enie comme op erateur de R[X
1
,...,X
n
].
5. Montrer que l’on a, entre op erateurs de R[X
1
,...,X
n
], l’ egalit e
[M

,e

D(k)
2
] =T

e

D(k)
2
(on pourra utiliser III.5).
Dans la suite du probl eme, par abus de notation, on identie fonctions polynomiales et po-
lynˆ omes.
6. Montrer que les formules donn ees dans le pr eambule de la partie III permettent de pro-
longer les op erateurs T

(k) en des op erateurs de C

(R
n
)
(on pourra utiliser un argument semblable a celui d evelopp e a la question II.1).
On note la fonction de C

(R
n
) d enie pour x ∈ R
n
par (x) = e

(x,x)
2
. On note M

l’op erateur deC

(R
n
) de multiplication par. AlorsM
1

est l’op erateur de multiplication par
la fonction x7→ e
(x,x)
2
. On prolonge naturellement les op erateurs M

a l’espace C

(R
n
) par la
formule M

(f)(x) =x

f(x) pour f ∈C

(R
n
).
7. Montrer que l’on a, entre op erateurs de C

(R
n
), l’ egalit e
T

M
=M

T
‘M

M

.
8. En d eduire que l’espace vectoriel des fonctions polynomiales est stable par l’op erateur
M
1

T

M

e

D(k)
2
.
page 17Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
9. Conclure que l’on a, entre op erateurs de R[X
1
,...,X
n
], l’ egalit e
M
1

T

M

e

D(k)
2 =e

D(k)
2
M

.
10. Soit P un polynˆ ome non nul et homog ene. D eduire de la question pr ec edente que l’on a
pour tout x∈R
n
,
P(T)()(x) = (1)
deg(P)
e

(x,x)
2
e

D(k)
2
(P)(x).
11. En d eduire que l’on a pour tout x∈R
n
,
( T)()(x) = (1)
deg()
e

(x,x)
2 ( x).

on rappelle que est le polynˆ ome
Y
16i<j6n
(X
j X
i
)

.
Pour k r eel strictement positif on d enit la fonction continue w
k pour x∈R
n
par :
w
k
(x) =w
k
(x
1
,...,x
n
) =
Y
16i<j6n
|x
j x
i
|
2k
et l’int egrale (clairement convergente) de Mehta-MacDonald par :
c
k =
Z
R
n
e

(x,x)
2
Y
16i<j6n
|x
j x
i
|
2k
dx
1
... dx
n =
Z
R
n
e

(x,x)
2 w
k
(x)dx.
On rappelle la d enition de l’espace vectoriel de Schwartz not e habituellement S(R
n
) :
on note kk la norme euclidienne usuelle sur R
n
et on d enit
S(R
n
) =

f ∈C

(R
n
)

∀p∈N,∀∈N
n
,∃C
p, > 0,∀x∈R
n
,
(1+kxk
2
)
p


||
f
∂x
1
1
∂x
n
n
(x)

6C
p,

.
12. Soientf,g deux fonctions de classeC

dont l’une est dans l’espace de Schwartz et l’autre
est une fonction polynomiale. Montrer en utilisant une int egration par parties, que l’on a
Z
R
n
T

(k)

g

(x)f(x)w
k
(x)dx =
Z
R
n
g(x)T

(k)

f

(x)w
k
(x)dx.
Note : on pourra admettre le r esultat de cette question.
13. Montrer que l’on a pour tout polynˆ ome P de R[X
1
,...,X
n
],
Z
R
n
e

D(k)
2
(P)(x) e

(x,x)
2 w
k
(x)dx =c
kP(0).
14. En d eduire que l’on a pour k > 0 et P,Q polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
],
hP,Qi
k =
1
c
k
Z
R
n
e

D(k)
2
(P)(x)e

D(k)
2
(Q)(x) e

(x,x)
2 w
k
(x)dx.
page 18Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
15. Conclure que pour tout k ∈R (non n ecessairement positif) le produit h,i
k
est encore
sym etrique.
16. Montrer que l’on a pour tout k > 0, c
k+1 =c
k
h,i
k
.
Commentaire nal : On peut montrer que la fonctionh,i
k
est une fonction polynomiale
en k de degr e
n(n1)
2
v eriant :
h,i
k =n!
n
Y
i=2
i1
Y
j=1
(ki+j).
En utilisant cette formule et le r esultat de la derni ere question on d eduit l’ egalit e de fonctions
m eromorphes
c
k = (2)
n
2
n
Y
i=1
( ki+1)
( k+1)
o u d esigne la fonction classique Gamma.
page 19