Concours Commun post bac S 2003 Concours FESIC

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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Concours Commun post bac S 2003. Retrouvez le corrigé Concours Commun post bac S 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 07 mars 2007
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

Concoursd’entr´eeFESIC2003

Exercice 1 On consid?re la fonctionfesur´dinfieRetresenepr´aplr´teebrecauo ci-dessous : 6 5 4 [ [ [ [ [ [ 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 1 a)fssiceedtnisba’ableaupostd´erivx=−2. b)fest continue au point d’abscissex= 1. c)limf(x) = 4. x→2  d)Sur l’intervalle ]−2 ;1[, la fonctionfedee´e,dv´rifsur cet intervalle, est croissante. Exercice 2   x e−1 Onconside`relafonctionffie´d:rapeinf(x= 1.) = ln x e +1 On d?signe parDtinideonedelfie´dne’lbmesf. a)On aD+=]0 ;∞[. x 2e  b)fsurerivableets´dDet, pour toutx∈ D, f(x) =. 2x e−1 c)Pour toutx∈ D, f(x)<0.

Concours FESIC 20032   e + 1 d)’Luqe´natiof(x) =−poss1ontiosulqieu’lnue`edx= ln. e−1 Exercice 3 −→−→ Leplanestmunid’unrepe`reorthonormal(O, , ı). Soitfrualncfoontiefid´esniRpar : −x f(x) =−(1 +x)e. On appelleCebruocalese´rperedivatntef´eit.lpe`nrseedcaer a)fbenucejiae´resiltiondeRdansR. −x b)La fonctionFd,e´nfirsuieRpar :F(x) = (x, est une primitive+ 2)e defsurR. c)Soitt∈R + ´eitrlpaouacerbodudniamalpemilniaer.’LCet les droitesd’e´quationsx= 0, x=tetysd´eitun,pesir’aaces0=ne,eluclra:  t f(x) dx. 0 d)ed´e’air`tailonafiqnuieesLc)est finie quandttend vers +∞. Exercice 4  1 n t Pour toutn∈N, on poseI n = dt. 2 1 +t 0 a)I 1 = ln2. ∗ b)Pour toutn∈N, on a:I n 0. 1 1 ∗ c)Pour toutn∈N, on a:I n . 2(n+ 1)n+ 1 d)La suite (I n ) n∈N est croissante. ∗ Exercice 5  n 2 lnt Pour tout entier natureln:non nul, on poseI n = dt. t n−1 ∗ a)Pourn∈N, I n = 2n−1. b)La suite (I n ) ∗ .ee´nrobtse n∈N   I n c)La suiteest convergente. n ∗ n∈N ∗2 d)Pourn∈N , on a: I 1 + I 2 +∙ ∙ ∙+I n =n. Exercice 6

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a)17 + 20 + 23 +∙ ∙ ∙+ 62 = 632.   4   5   6   10 1 1 11 1127 b)+ + +∙ ∙ ∙+ =×. 2 2 22 8128 ∗ c)Soitn∈Nioonnsid`erelafo.nOcntcf+;d´efiinseru1]∞:[ par n+1 1−x f(x) =.flbavrusedtseire´]1;+∞[ et pour toutx >:1, on a 1−x 2 3n−1 f(x) = 1 + 2x+ 3x+ 4x+∙ ∙ ∙+nx. d)tiusenuiSetique,alorsellenee’tsapasirht´m.gtsemoe´rte´euqi

Exercice 7 On consid?re les suites (u n ) et (v n )rusniesd´efiNpar :

1 11 1 u n = 1 ++ +∙ ∙ ∙+, v n =u n −1 +. 1! 2!n!n! a)Pourn∈N, u n est la somme desnpremiers termes d’une suite 1 ge´om´etriquedepremierterme1etderaison. n+ 1 b)La suite (u n .etnsiasceorts´de) c)La suite (v n ) est croissante. d)Les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes.

Exercice 8  Dansleplancomplexe,onconsid`erelespointsMetMd’affixes respec-  tiveszetztelles que:

 z=zz+ (1 + i)z+ 3z−2.    On posez=x+ iyetz=x+ iy, avecx, y, xetyr?els. 2 2 a)x=x+y+ 4x−y−2 ety=x−2y.  b)L’ensemble E 1 des pointsMtels quezsoielestr´eiordenut.et  c)L’ensemble E 2 des pointsMtels quezsoit imaginaire est un cercle. d)E 1 et E 2 ntsosspaca´es.nten

Exercice 9 Dansleplancomplexe,onconsid`erelepointΩd’affixe1,puislecercleΓ de centre Ω et de rayon 2, et enfin les points A, B, C et D d’affixes respectives z A , z B , z C etz D :`uo,

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z A = 1 + 2i, z B = 1 +3 + i, z C =z B , z D =z A . z D −z B a)= 3. z A −z B π b)D est l’image de A par la rotation de centre B et d’angle. 2 c),B,ADteCopsestniennnumtapaapiertel.ΓeccreˆemL 2 d)Soitθ∈R:noitauqe´’lerid`econs.Onz−2(1+2 cosθ)z+5+4 cosθ= 0. Lessolutionsdecettee´quationsontlesaffixesdedeuxpointsquiappar- tiennent tous les deux au cercle Γ.

Exercice 10 Le plan complexe a pour origine O. SoitMle point dont l’affixe a pour 5π module 1 et pour argument. 6 π On appelleret on appellela rotation de centre O et d’anglehl’ho- 3 moth´etiedecentreOetderapport−3.   6 5π5π a)=+ i sin: cosOn a−1. 6 6 b)L’image deMpar la rotationrest le pointM 1 cedees´nnodroo   3 1 ; . 2 2 c)L’image deMth’eemioatpo´lrhhest le pointM 2 dont l’affixe a pour 5π module−.3 et pour argument 6 3 d)r(M) =r◦r◦r(M) est le pointM 3 ,sym´eqirtedeuMrapppart`ora O.

Exercice 11 Soitx∈Ronsi.Onclesa`dre´goeiuetqurietm´e(u n (x)) depremier terme n −x u 0 (x) = 1 et de raisonq= 1−2e . −x6 a)´eedloveempptdeneDnalsu 6 (x) = (1−2e ), le terme correspondant −4x−4x a`eest240e. b)Pourxa1,oeur`´eriesupfi´xl:anmiu n (x) = 0. n→+∞ c)Pour un entier naturelnxfie´o,an:limu n (x) = 0. x→+∞

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d)nlUenca`ecrexe’sruecnaibleunecrsurtiresiatladae´`eisutx(xen −x m?tres,xbabotili.)1rpaLtteignes´equ’ilatcabielsep. Le lanceur= 2e tirenntda.esd´inenepsoppsee´oc¸aussncibledefisverslaof Laprobabilite´quecelanceuratteignekfois exactement la cible (ktanet´   n n − k k un entier compris entre 0 etn) est×u(x)×(1−u 1 (x)). 1 k

Exercice 12 On notex(t) le nombre d’atomes de radium d’une substance radioactive pre´sentsa`l’instanttetussbatd)nacsteadmetnce,etone(nnnaes´erixpeem´  quelavitessed’e´liminationx(tela`nnletroioroptpes)x(t) :il existe donc  uneconstanter´eellek, telle quex(t) =kx(t). On appellex 0 lnemorbdea’r´spmeto`atsenesnatsni’ltt= 0. a)Le nombre d’atomes diminue quandtaugmente, doncknte´sef.gati ` kt b)A chaque instantt, on a:x(t) =x 0 e . c)c’est-`ami-vie),do(euoedlTpae´irtenoOn´ennesrbmoa’derid-nele pourlequellenombred’atomesadiminu´edemoiti´eparrapport`al’instant initialt= 0. −ln 2 On a T =. k d)A l’instantt= 3T.ecna,tslbitasesemosnadusalstreeseli`ixedem

Exercice 13 Ladure´eenann´eesdubonfonctionnementd’uncomposant´electronique estmod´elis´eeparunevariableale´atoiredeloiexponentielle.Destestsgaran- tissentunedur´eemoyennede10ans. a)reetladeieloonxpitneelle1tse.0ar`meLap b)osmptsanncfoontiocencerr-etLaprobabilit´eporuuqleu’dnceseoc 1 ment moins de 10 ans est 1−. e c)rqouept´deunl’ueopmocsecnofstnasnnepctiontauendaLpaorabibil −2 moins10anne´eseste. d)orpaibabLteuerqunl’t´liouepopastnfsedeccsmoeentre10onctionn −1−1,5 e−e 15anne´esest. −1 1−e Exercice 14 60 %des candidats au concours de la FESIC sont des filles. Parmi elles, 30%ontsuivil’enseignementdespe´cialit´edemath´ematiquesenterminale.