Cette publication est accessible gratuitement

Partagez cette publication

Concoursdentr´eeFESIC2003
Exercice 1 On consid?re la fonctionfesur´dineRetresenepr´aplr´teebrecauo ci-dessous : 6 5 4 [ [ [ [ [ [ 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 1 a)fssiceedtnisbaableaupostd´erivx=2. b)fest continue au point d’abscissex= 1. c)limf(x) = 4. x2 d)Sur l’intervalle ]2 ;1[, la fonctionfedee´e,dv´rifsur cet intervalle, est croissante. Exercice 2   x e1 Onconside`relafonctionfe´d:rapeinf(x= 1.) = ln x e +1 On d?signe parDtinideonedele´dnelbmesf. a)On aD+=]0 ;[. x 2e b)fsurerivableets´dDet, pour toutx∈ D, f(x) =. 2x e1 c)Pour toutx∈ D, f(x)<0.
Concours FESIC 20032   e + 1 d)Luqe´natiof(x) =poss1ontiosulqieulnue`edx= ln. e1 Exercice 3 Leplanestmunidunrepe`reorthonormal(O, , ı). Soitfrualncfoontied´esniRpar : x f(x) =(1 +x)e. On appelleCebruocalese´rperedivatntef´eit.lpe`nrseedcaer a)fbenucejiae´resiltiondeRdansR. x b)La fonctionFd,e´nrsuieRpar :F(x) = (x, est une primitive+ 2)e defsurR. c)SoittR+´eitrlpaouacerbodudniamalpemilniaer.LCet les droitesde´quationsx= 0, x=tetysd´eitun,pesiraaces0=ne,eluclra: t f(x) dx. 0 d)ed´eair`tailonaqnuieesLc)est finie quandttend vers +. Exercice 4 1n t Pour toutnN, on poseIn= dt. 2 1 +t 0 a)I1= ln2. b)Pour toutnN, on a:In0. 1 1 c)Pour toutnN, on a:In. 2(n+ 1)n+ 1 d)La suite (In)nNest croissante. Exercice 5 n 2 lnt Pour tout entier natureln:non nul, on poseIn= dt. t n1 a)PournN, In= 2n1. b)La suite (In).ee´nrobtse nN   In c)La suiteest convergente. n nN 2 d)PournN, on a: I1+ I2+∙ ∙ ∙+In=n. Exercice 6
Concours FESIC 2003
3
a)17 + 20 + 23 +∙ ∙ ∙+ 62 = 632.  4 5 6 10 1 1 11 1127 b)+ + +∙ ∙ ∙+ =×. 2 2 22 8128 c)SoitnNioonnsid`erelafo.nOcntcf+;d´einseru1]:[ par n+1 1x f(x) =.flbavrusedtseire´]1;+[ et pour toutx >:1, on a 1x 2 3n1 f(x) = 1 + 2x+ 3x+ 4x+∙ ∙ ∙+nx. d)tiusenuiSetique,alorselleneetsapasirht´m.gtsemoe´rte´euqi
Exercice 7 On consid?re les suites (un) et (vn)rusniesd´eNpar :
1 11 1 un= 1 ++ +∙ ∙ ∙+, vn=un1 +. 1! 2!n!n! a)PournN, unest la somme desnpremiers termes d’une suite 1 ge´om´etriquedepremierterme1etderaison. n+ 1 b)La suite (un.etnsiasceorts´de) c)La suite (vn) est croissante. d)Les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
Exercice 8 Dansleplancomplexe,onconsid`erelespointsMetMd’affixes respec-tiveszetztelles que:
z=zz+ (1 + i)z+ 3z2.   On posez=x+ iyetz=x+ iy, avecx, y, xetyr?els. 2 2a)x=x+y+ 4xy2 ety=x2y. b)L’ensemble E1des pointsMtels quezsoielestr´eiordenut.et c)L’ensemble E2des pointsMtels quezsoit imaginaire est un cercle. d)E1et E2ntsosspaca´es.nten
Exercice 9 Dansleplancomplexe,onconsid`erelepointΩdaxe1,puislecercleΓ de centre Ω et de rayon 2, et enfin les points A, B, C et D d’affixes respectives zA, zB, zCetzD:`uo,
Concours FESIC 2003
4
zA= 1 + 2i, zB= 1 +3 + i, zC=zB, zD=zA. zDzB a)= 3. zAzB π b)D est l’image de A par la rotation de centre B et d’angle. 2 c),B,ADteCopsestniennnumtapaapiertel.ΓeccreˆemL 2 d)SoitθR:noitauqe´lerid`econs.Onz2(1+2 cosθ)z+5+4 cosθ= 0. Lessolutionsdecettee´quationsontlesaxesdedeuxpointsquiappar-tiennent tous les deux au cercle Γ.
Exercice 10 Le plan complexe a pour origine O. SoitMle point dont l’affixe a pour 5π module 1 et pour argument. 6 π On appelleret on appellela rotation de centre O et d’anglehl’ho-3 moth´etiedecentreOetderapport3.   6 5π5π a)=+ i sin: cosOn a1. 6 6 b)L’image deMpar la rotationrest le pointM1cedees´nnodroo   3 1 ; . 2 2 c)L’image deMtheemioatpo´lrhhest le pointM2dont l’affixe a pour 5π module.3 et pour argument 6 3 d)r(M) =rrr(M) est le pointM3,sym´eqirtedeuMrapppart`ora O.
Exercice 11 SoitxRonsi.Onclesa`dre´goeiuetqurietm´e(un(x)) depremier terme n x u0(x) = 1 et de raisonq= 12e . x6 a)´eedloveempptdeneDnalsu6(x) = (12e ), le terme correspondant 4x4x a`eest240e. b)Pourxa1,oeur`´eriesup´xl:anmiun(x) = 0. n+c)Pour un entier naturelnxe´o,an:limun(x) = 0. x+
Concours FESIC 2003
5
d)nlUenca`ecrexesruecnaibleunecrsurtiresiatladae´`eisutx(xen x m?tres,xbabotili.)1rpaLtteignes´equilatcabielsep. Le lanceur= 2e tirenntda.esd´inenepsoppsee´oc¸aussncibledefisverslaof Laprobabilite´quecelanceuratteignekfois exactement la cible (ktanet´   n nk k un entier compris entre 0 etn) est×u(x)×(1u1(x)). 1 k
Exercice 12 On notex(t) le nombre d’atomes de radium d’une substance radioactive pre´sentsa`linstanttetussbatd)nacsteadmetnce,etone(nnnaes´erixpeem´ quelavitessede´liminationx(tela`nnletroioroptpes)x(t) :il existe donc uneconstanter´eellek, telle quex(t) =kx(t). On appellex0lnemorbdear´spmeto`atsenesnatsniltt= 0. a)Le nombre d’atomes diminue quandtaugmente, doncknte´sef.gati ` kt b)A chaque instantt, on a:x(t) =x0e . c)cest-`ami-vie),do(euoedlTpae´irtenoOn´ennesrbmoaderid-nele pourlequellenombredatomesadiminu´edemoiti´eparrapport`alinstant initialt= 0. ln 2 On a T =. k d)A l’instantt= 3T.ecna,tslbitasesemosnadusalstreeseli`ixedem
Exercice 13 Ladure´eenann´eesdubonfonctionnementduncomposant´electronique estmod´elis´eeparunevariableale´atoiredeloiexponentielle.Destestsgaran-tissentunedur´eemoyennede10ans. a)reetladeieloonxpitneelle1tse.0ar`meLap b)osmptsanncfoontiocencerr-etLaprobabilit´eporuuqleudnceseoc 1 ment moins de 10 ans est 1. e c)rqouept´deunlueopmocsecnofstnasnnepctiontauendaLpaorabibil 2 moins10anne´eseste. d)orpaibabLteuerqunlt´liouepopastnfsedeccsmoeentre10onctionn 11,5 ee 15anne´esest. 1 1e Exercice 14 60 %des candidats au concours de la FESIC sont des filles. Parmi elles, 30%ontsuivilenseignementdespe´cialit´edemath´ematiquesenterminale.