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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2002
MP FILIÈRE
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.  
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
   Dans les trois premières parties, on désigne par netmdes entiers>0tels quenm;
n El’espace euclidienRavec son produit scalaire usuel(∙|∙)et la norme associée ∙ ; ej, j= 1, . . ., m, des éléments non nuls deEsatisfaisant une condition de la forme 2 2 xE αx(x|ej)(1) j αest un réel>0;
Tl’endomorphisme deEdéfini par T(x() =x|ej)ej. j
SiSest un endomorphisme deE, sa normeSest défini par
S= sup{S(x):x= 1}.
Première partie
1.Donner un exemple simple de famille(ej)satisfaisant une condition de la forme (1).
2.Déterminer le sous-espace vectoriel deEengendré par lesej.
1
√ √ 3.On prendn= 2, m= 3, e1= (0,1), e2= (3/2,1/2), e3= (3/2,1/2). Déterminer 2 (x|ej)etT. j Ä ä 2 4.Vérifier queTest autoadjoint, inversible et satisfaitT(x)|xαxpour toutxE. Ä ä 5.ComparerTetsup{T(x)|x:x= 1}. Ä ä 1 2 6.Trouver un réelβtel queT(x)|xβxpour toutxE. Que peut-on dire de 1 T? 2 2 7.On suppose queαx= (x|ej)pour toutxE. DéterminerT. j
Deuxième partie
m On noteFl’espace euclidienR,(f1, f, . . .m)sa base naturelle,(∙|∙)Fson produit scalaire naturel. On définit une application linéaireΦ :EFpar Φ(x) =(x|ej)fj. j On pourra admettre qu’il existe une unique application linéaireΨ :FEsatisfaisant (Ψ(h)|x) = (h|Φ(x))Fpour tousxE ,hF . 8.Vérifier que l’on aΨ(h) =hjejetΨΦ =T. j
˜ 1 On posee˜j=T(ej)et on définit une application linéaireΦ :EFpar ˜ Φ(x) =(x|e˜j)fj. j ˜ 9.Vérifier que l’on aF=ImΦ(ImΦ). 2 10.Étant donné un élémentxdeE, déterminer le minimum des nombreshpour les j j familles(hj)vérifiantx=hjej, et préciser pour quelles familles(hj)ce minimum est atteint. j
11.Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants :
a)lesejforment une base deE;
b)lesejforment une base orthonormale deE; 2 2 c)on aαx= (x|ej)pour toutxE. j
2
Troisième partie
On se propose, dans cette partie, de résoudre l’équationT(x) =ypar une méthode d’itéra-tions successives. On pose Ä ä a= inf{T(x)|x:x= 1}, b=T;
on a donc0< ab. Pour tout réels >0on poseVs=idEsT.
12.Montrer que l’on a Vs= max(|1a s|,|1b s|), 13.Déterminer le minimumCde la fonctions→ Vs, préciser pour quelle valeurs0des il est atteint, et montrer queC[0,1[. À quelle conditionCest-il égal à0?
[Il est conseillé de dessiner les courbes représentatives des fonctionss→ |1a s|ets→ |1b s|].
On fixe un élémentydeEet on définit une applicationUdeEdans lui-même par Ä ä U(x) =x+s0yT(x).
 14.Étant donnéxetxE, comparerU(x)U(x)etCxx.
n 15.On désigne parx0un élément deEet on pose, pour tout entiern >0,xn=U(x0). Étudier le comportement de la suite(xn). Conclure.
Dans cette partie, on désigne par
Eun espace préhilbertien réel;
Quatrième partie
Tun endomorphisme continu deE(on ne le suppose pas autoadjoint);
x0ety0des éléments deE.
Pour tout réels >0on définit une applicationUsdeEdans lui-même par Ä ä Us(x) =x+s y0T(x).
16.a)Trouver une condition portant surTsuffisante pour que l’on ait une majoration de la forme 2 22 idEs T12a s+b s aveca >0,bréel.
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n b)Trouver alors une condition portant surE, impliquant que la suitex=U)soi n s(x0t convergente pour uns?, surjectif?) deconvenable ;préciser dans ce cas la nature (injectifT.
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