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Electromagnétisme PC-PSI

De
206 pages


L'enseignement d'électromagnétisme des filières PC-PSI abordé en un seul volume, sous la forme d'un cours clair et concis. Des pages de méthode et des exercices corrigés, variés et progressifs, permettent un entraînement et une préparation efficaces.

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Sommaire
Chapitre 1
Chapitre 2
Chapitre 3
Chapitre 4
Chapitre 5
I n d e x
Éléments d’analyse vectorielle et rappels mathématiques. . . . . .7 Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Les équations locales de l’électromagnétisme. . . . . . . . . . . . . . .33 Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
Induction électromagnétique dans un circuit fixe. . . . . . . . . . .107 Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
Induction électromagnétique dans un circuit mobile. . . . . . . . .147 Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
Quelques problèmes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
Problème 1 :champ électromagnétique dans un condensateur plan cylindrique. . . . . . . . . . . . . .184 Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Problème 2 :chute d’un aimant dans un tuyau métallique. . . . . . . . . .193 Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problème 3 :moteur linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
CHAPITRE 1
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Énoncés des exercices
Solutions des exercices
G. Opérateur Nabla
Méthodes L’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
E. Opérateur rotationnel
F. Opérateur laplacien
C. Opérateur gradient
D. Opérateur divergence
B. Flux d’un champ de vecteurs
A. Systèmes de coordonnées et intégrales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Plan du chapitre 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
L’approche physique est privilégiée par rapport à la technique de calcul, le but étant d’ap-préhender correctement l’interprétation physique des équations ou résultats de calculs aux-quels aboutit l’outil mathématique.
Le but de ce chapitre est de mettre à disposition de l’étudiant les outils mathématiques dont il aura besoin en seconde année dans l’étude des phénomènes physiques du programme.
La démarche du physicien n’est pas qu’empirique. Il crée des modèles mathématiques qui permettent de « mettre en équations » les événements.
I n t r o d u c t i o n
Éléments danalyse vectorielle et rappels mathématiques
8
A. Systèmes de coordonnées
On rappelle les trois systèmes qui ont déjà été rencontrés en première année dans le cours d’électromagnétisme, entre autres.
A.1.Coordonnées cartésiennes
x
z
u z O u xu y
M
H
y
x dx
dz z
u z O u xu y
M
H
y dy
Fig. 1 -Le système de coordonnées cartésiennes. → → → Dans le repère orthonormé direct (O ;u,u,u), un point M de l’espace est x y z repéré par ses coordonnées cartésiennes (x,y,zvecteur position du). Le point M s’écrit alors : → → → OM =xu+yu+zu. x y z Lorsque les coordonnéesx,youzde M subissent une variation élémentaire → → dx, dyou dz, le point M se déplace respectivement de dx u, dy uou dz u. x y z Ainsi, le volume élémentaire dV est un petit parallélépipède rectangle d’arêtes dx, dyet dz: dV = dx×dy×dz.
A.2.Coordonnées cylindriques
z
dz z
dθdz M dr rdθ → →M u u z z y y O O θθdθ u θ rr rdθ H x xdr u r Fig. 2 -Le système de coordonnées cylindriques. On peut aussi repérer tout point M de l’espace par ses coordonnées cylin-driques (r,θ,z)(fig. 2): rreprésente la distance du point M à l’axe Oz(r0) ; θdéfinit la position du point M autour de Oz(θangle compris entre 0 et 2π) ; zreprésente la cote du point M.
Chapitre 1 : Éléments d’analyse vectorielle et rappels mathématiques
1.Cette base est une base locale, car les directions des vecteursu r etudépendent de la position du θ point M.
2.L’angleθn’est pas le même que celui des coordonnées cylindriques, car, en coordonnées sphériques, c’est l’angleφqui donne la position de M autour de Oz. 3.Cette base est une base locale, car les directions des vecteursu, r → → uetudépendent de la position θ φ du point M.
4.Cette propriété est une application du théorème de Fubini.
OH 1→ → → On définit la base orthonormée directe (u,u,u) en posantu= rθz r OH (H projection orthogonale du point M sur le planxOy). Dans le repère orthonormé, le vecteur position du point M s’écrit alors : → → OM =r u+z u. r z Lorsque les coordonnéesr,θouzde M subissent une variation élémentaire → → dr, dθou dz, le point M se déplace respectivement de dr u,rdθuou dz u. rθz Ainsi, le volume élémentaire dV est un petit parallélépipède rectangle d’arêtes dr,rdθet dz: dV = dr×rdθ ×dz.
A.3.Coordonnées sphériques
x
z
θ ur z O φr sin θ
M
H
u r
u θ
u φ
y
Fig. 3 -Le système de coordonnées sphériques.
x
z
dr rdθ dφ θrsinθdφ r u z dθ y O φdφ r sin θ rsinθdφ
Enfin, on peut aussi repérer tout point M de l’espace par ses coordonnées sphériques (r,θ,φ)(fig. 3): rreprésente la distance du point M au point O (r= OM0) ; 2 θetφdéfinissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le point M (θangle compris entre 0 etπ,φangle compris entre 0 et 2π). OH 3→ → → On définit la base orthonormée directe (u,u,u) en posantu= . rθ φr OH → → → Dans le repère orthonormé (O ;u,u,u), le vecteur position du point M rθ φ s’écrit alors : OM =r u. r Lorsque les coordonnéesr,θouφde M subissent une variation élémentaire → → dr, dθou dφ, le point M se déplace respectivement de dr u,rdθuou rθ rsinθdφu. Ainsi, le volume élémentaire dV est un petit parallélépipède rec-φ tangle d’arêtes dr,rdθetrsinθdφ: dV = dr×rdθ ×rsinθdφ.
A.4.Intégrales multiples Lorsqu’on intègre sur une surface ou un volume, il est nécessaire de faire varier plusieurs coordonnées. Le calcul d’une telle intégrale, dans le cas général, est compliqué. Cependant, si la fonction à intégrer est un produit de fonctions de chacune des coordonnées et que les bornes d’intégration de chaque coordonnée sont indépendantes des autres coordonnées, alors l’inté-4 grale multiple est égale au produit des intégrales simples :
Cours
9
x y z 1 1 1     f(x)g(y)h(z)dxdydz=f(x)dx g(y)dy h(z)dz . x y z 0 0 0 Cette propriété est en général toujours vérifiée, ce qui permet de se ramener dans tous les cas étudiés aux calculs d'intégrales simples.
Application 1Calcul d’un volume Calculer, en utilisant une intégrale, le volume d’un cylindre de hauteurhet de rayon R. Solution Le système de coordonnées le mieux adapté à cette géométriez est le système de coordonnées cylindriques (r,θ,z). On choisit l'axe de révolution du cylindre comme axe Oz, son origine O étant placée au centre de l'une des bases du cylindre. Un élé-ment de volume dV s'écrit : dV = dr×rdθ ×dz.
Le volume V est la somme de tous les éléments de volume dV :   V = dV = dr×rdθ ×dz, R avecrvariant entre 0 et R,θvariant entre 0 et 2π,zvariant O entre 0 eth. Comme la fonction à intégrer est un produit de x fonctions de chacune des coordonnées, on a : R 2πh22 R r2πhR    0 0 2 V=rdr×dθ ×dz=×θ×z=×2π ×h=πRh. 0 0 0 02 2
1.Un champ est une grandeur physique qui est définie en tout point d’un volume de l’espace (ou, plus rarement, d’une surface). La grandeur concernée dépend donc des coordonnées du point que l’on considère, mais peut aussi dépendre du temps. Un champ stationnaire est indépendant du temps. Un champ uniforme ne dépend pas du point où on le considère (indépendant des coordonnées). nnP dS S V
Fig. 4 -Surface fermée. nnnM S + dS
Γ
Fig. 5 -Surface ouverte.
10
h
y
1 B. Flux d’un champ de vecteurs → → Soit W un champ de vecteurs et S une surface. Le fluxΦdu champ W à tra-vers la surface S s’écrit : → → SS ΦS = = W∙d W∙ndS, où d S est « le vecteur surface élémentaire » de l’élément de surface dS cen-tré sur un point P de S. Le vecteurnest le vecteur unitaire normal à l’élé-ment de surface au point P. Son orientation dépend de la nature de la sur-face.
B.1.Cas d’une surface « fermée » Si la surface S est fermée(fig.4)V et la nor-, alors elle délimite un volume male à la surface est toujours orientée sortant de S (convention). Afin de montrer que S est fermée, on note alors : Φ= W∙ndS. S
B.2.Cas d’une surface « ouverte » Si la surface S est ouverte, alors elle s’appuie nécessairement sur une ligne fermée (un contour)Γ(fig.5). On choisit un sens « + » à un parcours le long deΓ(on l’oriente). Le sens denest alors déterminé à partir de cette orien-tation par « la règle du tire-bouchon ».
Chapitre 1 : Éléments d’analyse vectorielle et rappels mathématiques