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Electronique MP

De
160 pages


L'enseignement d'électronique de la filières MP abordé en un seul volume, sous la forme d'un cours clair et concis. Des pages de méthode et des exercices corrigés, variés et progressifs, permettent un entraînement et une préparation efficaces.

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Sommaire
Chapitre 1 ■
Chapitre 2 ■
Chapitre 3  ■
Chapitre 4 ■
Analyse harmonique d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Exercices :énoncés, solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Filtres du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exercices :énoncés, solutions58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effets d’un filtre du premier ou du second ordre . . . . . . . . . . . . . . 83
Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices :énoncés, solutions105. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractère intégrateur ou dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Méthodes :l’essentiel ; mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Exercices :énoncés, solutions144. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
CHAPITRE 1
Analyse harmonique d’un signal
I n t r o d u c t i o n
Nous étudions dans ce chapitre la décomposition des signaux périodiques en superpo-sition de signaux sinusoïdaux.
L’intérêt fondamental de l’analyse harmonique des circuits électroniques qui sera étudiée dans la suite de ce cours repose sur cette propriété.
Plan du chapitre 1 A. Signaux périodiques et signaux sinusoïdaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Caractéristiques d’un signal périodique . . . . . . . . . . . . . . 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Caractéristiques d’un signal sinusoïdal B. Décomposition en série de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Théorème de Fourier 2.Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 C. Spectre de Fourier et représentation fréquentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.Invariance temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.Représentation fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Valeur efficace et spectre de puissance D. Synthèse fréquentielle d’un signal périodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Méthodes L’essentiel ; mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Indications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Solution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
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1.L’intégrale ne dépend pas de l’intervalle choisi. Un changement de variable permet de se ramener à [0, T] ce qui ici allège les écritures dans le cours. Mais il est toujours possible de choisir un intervalle mieux adapté au cas étudié.
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A. Signaux périodiques et signaux sinusoïdaux
La notion de signal est très vaste. En physique, nous appelons signal toute grandeur mesurable qui dépend d’autres quantités telles que l’espace, le temps, la température, l’éclairement, etc. En général, un signal peut être modélisé par une fonction mathématique d’une ou plusieurs variables. Dans ce cours, nous nous intéressons aux signaux électriques variables avec le temps.
A.1.Caractéristiques d’un signal périodique
Définition 1 Un signal électrique (tension ou courant)s(te)st ditpériodiques’il reprend identiquement la même valeur à intervalles de temps égaux : Ttel queta, on s(t+T)=s(t).
– L’intervalle de temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur de la fonction est appelépériodeT et s’exprime en seconde (s). – Lafréquencefdu signal, exprimée en hertz (Hz), est l’inverse de la période T (en s) : 1 . f=---T – Lavaleur moyenneS d’un signal périodique est, par définition, calculée 1 sur un intervalle de temps de la largeur est égale à une période : t+T T 1 1 S= ---s(u)du= ---s(t)dt. TtT0 Cette valeur moyenne, exprimée dans la même unité que le signal, est indé-pendante du choix de la borne inférieuretde l’intervalle. La valeur moyenne I d’un courant périodiquei(t)correspond à l’intensité du courant continu qui fournirait la même charge(q=IT)pendant un inter-valle de temps égal à une période. – Le carré de lavaleur efficaced’un signal périodique est égal à la S eff valeur moyenne du carré de ce signal, soit :
T 1 2 S=---s(t)dt. T0 eff Calculons l’énergie dissipée pendant une période par un courant périodique i(t)dans une résistance :
T 2 2 W=Ri(t)dt=RI T. 0 Joule eff Nous constatons que la valeur efficace d’un courant périodique correspond à l’intensité d’un courant continu qui produirait sur un intervalle de temps égal à une période la même perte d’énergie par effet Joule.
Chapitre 1 : Analyse harmonique d’un signal
S m
– S m
s(t)
Fig. 1 -Représentation dans le domaine temporel d’un signal sinusoïdal.
t
A.2.Caractéristiques d’un signal sinusoïdal Le régime sinusoïdal forcé a été étudié en première année. Nous avons à cette occasion rencontré des signaux sinusoïdaux.
Définition 2 Un signal physiques(t)est ditsinusoïdalsi son évolution temporelle peut se mettre sous la forme : s(t)=S cos(wt+j)avec S0. mm
La grandeur S , exprimée en volt pour une tension ou en ampère pour un m courant, représente l’amplitudedu signal. La quantitéωt+ϕest laphaseà l’instantt, ouphase instantanée, du signal. Elle s’exprime en radian (rad). Laphase à l’originedes temps, ouphase initiale, estϕ. Elle est définie modulo 2π. 1 –1 La grandeurω, exprimée en rads est appelées ou pulsationdu signal. Un signal sinusoïdal est un signal périodique(fig. 1)dont il est facile de cal-culer la fréquencefet la période T en fonction de sa pulsation. La période correspond à l’intervalle de temps pour lequel la phase varie de 2πsuoN. avons donc : 1 2π1ω T= --= -----(en s) ouf= ---= -----(en Hz) fωT 2π – Comme l’intégrale d’une sinusoïde sur une période est nulle il en est de même pour la valeur moyenne d’un signal sinusoïdal : T 1 S= ---S cost+ϕ)dt=0. T0 m – Un peu de trigonométrie nous permet de calculer la valeur efficace d’un signal sinusoïdal. En effet : T 212 2 S= ---S cost+ϕ)dt T0 eff m
2 2 S S T m1+cos[2t+ϕ)]m . = -----------------------------------------------------dt= ------T02 2 – Il existe une relation simple entre la valeur efficace et l’amplitude d’un signal sinusoïdal : S m S=-------. eff 2 Cette interprétation physique de l’amplitude est possible car l’amplitude d’un signal sinusoïdal est un invariant temporel. Considérons en effet un signal sinusoïdal : s(t)=S sint+ϕ). m Par translation temporelle deτnous obtenons : s(tτ)=S sin[ω(tτ)+ϕ]=S sint+ωτ)]. m m La translation temporelle résulte en un changement de la phase à l’origine, mais ne modifie pas l’amplitude du signal.
Cours
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1.Pour calculer ces intégrales, il suffit de transformer un produit de sinusoïdes en une demie somme (trigonométrie classique). Sinm, les intégrales des sinusoïdes de pulsation(n±msont nulles. Sin=m,cos[(nmt]=1 et sin[(nmt]=0.
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B. Décomposition en série de Fourier
B.1.Théorème de Fourier L’étude des signaux sinusoïdaux est essentielle car le théorème de Fourier, dont les hypothèses (fonction bornée, nombre fini de discontinuités sur une période) sont toujours vérifiées pour les signaux rencontrés en physique, per-met de décomposer tout signal périodique en une somme de signaux sinusoïdaux.
Théorème 1 Toute fonction réelles(t)périodique, de fréquencef, peut s’écrire sous la forme d’unesomme infinie de fonctions sinusoïdales (série trigonométrique) : +s(t)=a+[acos(nwt)+bsin(nwt)], avecω=2πf. 0n n n=1 Les coefficientsaetbsont réels et peuvent être calculés à partir des n n expressions suivantes :
T 1 a= ---s(t)dt T0 0 T T 2 2 a= ---s(t)cos(nωt)dt etb= ---s(t)sin(nωt)dt. T0T0 n n
Cette décomposition signifie que les fonctions cos(nωt)et sin(nωt)consti-tuent une base orthogonale de l’espace des fonctions considérées, vérifiant 1 pournetmentiers : T n,m, cos(nωt)sin(mωt)dt=0. 0 T T nm, cos(nωt)cos(mωt)dt= sin(nωt)sin(mωt)dt=0. 00 T T T 2 2 n0, cos(nωt)dt= sin(nωt)dt= ---. 002 La constanteareprésente lavaleur moyennedu signals(t). 0
Définition 3 La constanteaest appeléecomposante continuedu signal périodique. 0
Les fréquences des composantes sinusoïdales sont des multiples de la fré-quencefdu signal périodique décomposé.
Définition 4 – La fréquencef=fcorrespond aufondamental, oupremier harmonique 1 (n=1). – La fréquencef=nfcorrespond à l’harmoniqued’ordren(n1). n
Chapitre 1 : Analyse harmonique d’un signal