Cette publication est accessible gratuitement
4
1
NOM : Note : Examen Mdian EL40/20 Dure : 1H40. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe.Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 10 Considrons le systme qui a pour fonction de transfert oprationnelle T(p). 2 (τp) T(p)= −avecτ =1ms(1+ τp) (1+3τp) 1)Sur les feuilles fournies en annexes, tracer les squelettes de Bode de la fonction de transfert harmonique associe  T(p). Dfinir clairement les axes ainsi que leurs chelles. Faire apparatre les points remarquables. 2)Dterminer les valeurs du squelette d’amplitude pour les 11 valeurs de pulsationω1=etω2=τ3τ
EL40
1
Mdian Pr 2006
2
2
1
3)On applique l’entre du systme le signal e(t) suivant : πe(t)=E+A cosωt+avecω =3000 rd / s. 4Dterminer, en justifiant chacun des termes, l’expression du signal de sortie s(t) du systme en rgime tabli. 4)On applique l’entre du systme un chelon d’amplitude E. Dterminer par deux mthodes diffrentes les limites suivantes : lim(s(t)) etlim(s(t))+ t→+∞t0 O s(t) reprsente la sortie du systme. + Dterminer la pente de la tangente en 0 de la rponse du systme  cet chelon d’amplitude E.
EL40
2
Mdian Pr 2006
1
1
5 EXERCICE 2 (Exercice extrait des annales dexamen)Considrons un filtre linaire qui a pour rponse  un chelon unitaire la fonction suivante : A=0,5 −ωt−ωt   1 2 ω1ω2e e   V(out)=A 1+ −avecω =/ s1000 rd 1   ω − ω ω ω 1 21 2ω =500 rd/s 2 1.2V V(IN) 1.0V
0.5V
V(OUT)
t 0V 0s 5ms 10ms 15ms 20ms En observant la rponse  l’chelon unitaire, rpondez aux 3 premires questions suivantes sans calculer la fonction de transfert 1)Comment le filtre se comporte-t-il pour les trs trs hautes frquences ? (justifier votre rponse) 2)Comment le filtre se comporte-t-il pour les trs trs basses frquences ? (justifier votre rponse)
EL40
3
Mdian Pr 2006
1
2
2
3)Quel type de filtre (nature et ordre) peut donner une telle rponse (justifier votre rponse) ? 4) Dterminer la fonction de transfert oprationnelle du filtre qui admet v(out) pour rponse  l’chelon unitaire. C 2 EXERCICE 3 C C -V VSR R Ve V Considrons le montage suivant : 1)Dterminer la fonction de transfert oprationnelle du V(p) s montageT(p)=V(p) e
EL40
4
Mdian Pr 2006
1,5
1,5
3 EXERCICE 4 (Exercice partiellement inspir des annales dexamen)Considrons le systme qui a pour diagrammes de Bode les courbes fournies  la page suivante. 1)Comment se nomme un tel systme (type de filtre) Quel est l’ordre de ce filtre ? (justifier votre rponse) 2)Pour quelle frquence, la fonction de transfert harmonique de ce systme est-elle relle pure ? Dterminer alors sa valeur.
EL40
5
Mdian Pr 2006
Argument degr -0d 1 2
-100d
-200d
-300d
-400d
EL40
Module dB -0
-25
-50
-75
 >> -100 1.0Hz 1
10Hz P(V(OUT)/V(IN)) 2
100Hz DB(V(OUT)/V(IN))
6
Frequency
1.0KHz
10KHz
Mdian Pr 2006
100KHz
EL40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
7
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4 5 6 7 8 9 1 Mdian Pr 2006
EL40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4 5 6 7 8 9 1 Mdian Pr 2006
Formulaire sur la Transforme de Laplace Proprits Usuelles : Unicit. TL x(t)X(p) Unique1 TL et TL 1do x(t)←→X(p)TL X(p)→x(t)Unique Linarit. TL Sif(t)F(p)TL etg(t)→G(p)2 TL (α,β)R ,αf(t)+ βg(t)→ αF(p)+ βG(p)Thorme de drivation. TL Sif(t)  →F(p)dfTL+ pF(p)f(0)dt + of(0)=lim f(t). + t0 Thorme d'intgration. TL Sif(t) F(p)+ g 0 F p() TL() g(t)=f(t)dtG(p)= +p p Thorme du retard. TL Sif(t)u(t) F(p)O u(t) est l’chelon unit TL− τp f(t− τ)u(t− τ)e F(p)(τrel positif)
EL40
9
Mdian Pr 2006
Table de transformes de Laplace
F(p) f(t)> 0pour t Fonctions sans intgration 1δ(t)t 11 T e 1+Tp T t 11n1 T nt e n (1+Tp) T(n1)! t t − −11T T 1 2 ee   1+1T p +T pTT (1)(2)1 2 
0 sin(0t)2 2 p+ ω 0 1 avec z < 10ω0t 2 z 2 e sinω1z t p p() 0 2 1+2z+1z 2 ω ω 0 0 Fonctions avec simple intgration 1 1 p t 1T 1e p(1+Tp) t 1T+t T 21e p(1+Tp)T t t − −1 1T1T2  1+T eT e 1 2 +Tp(1+T1p)(1 T2p)2T1  1 2   p 1cos(0t)p1+2 ω0
EL40
10
Mdian Pr 2006
EL40
Fonctions avec double intgration 1 2t p t 1t T 2Te+ −1p(1+Tp) Tt 1T 2 2t2T+(t+2T)ep(1+Tp) t t − −  1 12 T22 T1  tTT T eT e   2 1 2 2 1 p 1+T p 1+T pTT(1)(2)1 2  n1 1 t nN np (n1)! Fonctions avec zro t 1+apTa aT 2t+e 3 2   (1+Tp)T T t t 1+ap − − T1aTTaT 122 ee (1+T p)(1+T p) 1 2T(TT)T(TT) 1 1 2 2 1 2 1+ap t aT T 1+e p(1+Tp) T t t 1+ap− − TaTTaT 1122 1+ee p(1+T p)(1+T p) 1 2 (T2T1)(TT) 2 1 1+ap t aTT 2 1+t1e p 1+Tp 2 ()  T t 1+apT 2(aT)1e+t p(1+Tp)  
Fonctions avec zro nul t p1 T 2(Tt)e 3 1+Tp ()T t t p− −1 T2T1 T eT e 1 2 (1+T1p)(1+T2p)T T TT 1 2(1 2) 
p 2 2 p+ ω 0
11
cos(
0t)
Mdian Pr 2006