Mathématiques 2 2004 Classe Prepa TSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

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CCP TSI 2004 Maths 2

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Duree:3heures

Lescalculatricessontautorisees

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NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilaeteameneaprendre. Soitbrereelunnomtefune fonction continue deRdansR. On note (E  itviaenlleerseundittei:onqeaul)’ 00 (E  ) :y+y=f. Ondesignepar:  Sl’ensemble des fonctionsFde la variablexdedeufxiodseiravlbseRdansRsolutions del’equationdierentielle(E  )  S 0 l’ensemble des fonctionsFmeledetsenStelles queF(0) =F() = 0. Partie A A.1.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surRleerelequetest nul.Determinerl’ensembleS 0 . A.2.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surR. Soitωurneletselesbmenl’erinrmtee,dfitisoptnemetcirS 0 lorsque : 2 A.2.a.)=ω. 2 A.2.b.)=ω. A.3.)Onsupposedanscettequestionquelereelest nul. Soitnaturelnuonentiernetmrnirennlud,eleenl’mbseS 0 lorsque : A.3.a.)f(x) = cosnx. A.3.b.)f(x) = sinnx. A.4.)Onsupposetoujoursquelereelotdneisngperaeluntsefeuqnunelementquelco 0 deC(R,R). A.4.a.) Montrerque : ½ ZµZ ¶¾ x u 2 S=F:x7→f(t)dt du+ax+b|(a, b)∈R. 0 0 A.4.b.)Endeduirequel’ensembleS 0 emeontnuqinleemeadnututeF 1 eterminer.DF 1 . 0 Danstoutelasuitedecettepartie,ondesigneparϕdeeeniondnctilafoC(R,R) danslui-mˆemequi,alafonctionf, associeF 1 ntdeu,inuqeleeemS 0 .

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0 A.5.a.) Montrerque l’applicationϕest un endomorphisme deC(R,R). A.5.b.) L’endomorphismeϕest-il injectif? surjectif? A.5.c.)Determinerlesvaleurspropresetlesvecteurspropresdel’endomorphismeϕ. Partie B B.1.)OndenitlafonctionpdeRdansRpar : ³ ´ x ∀x∈R, p(x) = ¯ sin ¯ . 2 1 B.1.a.) Montrerque la fonctionp2edotpesreaiep,drie, continue et de classeCpar morceaux. B.1.b.)Representergraphiquementlacourberepresentativedelafonctionpsur [,3] ³ ´ →→ dansunrepereorthogonal0;ji ,. ³ ´³ ´ →→ Unitegraphique2cmsurO;iet 5 cm surO;j. B.1.c.) Justieravec soin que la fonctionpdesaseriedeFourei.rstseemmo B.1.d.)DeterminerlescoecientsdeFourierdelafonctionpet montrer que : 2 4 P cosnx ∀x∈R, p(x) =. 2  4n1 n>1 B.2.a.) Soitgoicnnoitnufenotceriode2nue,depdeRdansR, on notea n (g) etb n (g) ses coecients de Fourier. Donner la formule de Parseval pour la fonctiong. B.2.b.)Endeduireque: 2 4 P 1 + =. 2 2  (4n1) 4 n>1 Partie C Onseproposederesoudrel’equationdierentielle(E 1 oulier)elacadsnitucpsrafest un 0 elementdeC(R,R), soit : 00 y+y=f. C.1.)Determinerl’ensembledesfonctionsdeuxfoisderivablesdeRdansRsolutions de l’equationdierentielle: 00 y+y= 0. C.2.)OndenitlafonctionhdeRdansRpar : Z x ∀x∈R, h(x) =f(t) sin (xt)dt. 0 C.2.a.) Montrerque : Z Z x x ∀x∈[0, ], h(x) = sin(x)f(t) cost dtcosx f(t) sint dt. 0 0 0 00 C.2.b.) Montrerque la fonctionhiravdsefxiodtueesuresblRet expliciterheth. C.2.c.)Endeduirequelafonctionhseutenrei(edertpauliclusoontiE 1 ). C.3.)Determinerl’ensembledesfonctionsdeuxfoisderivablesdeRdansRsolutions de l’equationdierentielle(E 1 ). C.4.) Onsuppose dans cette question quef(x) =|sinx|. C.4.a.)DeduiredelapartieBque: 2 4 P cos 2nx ∀x∈R,|sinx|=. 2  4n1 n>1

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C.4.b.) Soitxreemorbunnletenun entier naturel, calculer : Z x cos 2ntsin (xt)dt. 0 C.4.c.)tegraleerieetinmrturesortiedepoiavedrlnaOetdm. Montrer que : 2 4 P cos 2nxcosx ∀x∈R, h(x(1) =cosx.) + 2 2   n>1 (4n1) C.4.d.)DeduiredelaquestionB.2.b.)que: 2 P cos 2nx ∀x∈R, h(x) =. 2 2 4 n>1 (4n1) C.4.e.) Calculerh(0) eth(). 00 C.4.f.)Deduirel’ensembleSitndoqeauulleit’nsoeodssletielerendiy+y=|sinx|puis l’ensembleS 0 eeemtndselsdeSs’annulant en 0 et. Partie D Onconsiderel’equationdierentielle: 200 0 (F)x y(x) +xy(x) +y(x) = 0,x >0.  D.1.) SoitzuxfoisderivableusrilppaenuednoitacRtelle que∀x∈R, y(x) =z(lnx). Ex- + 0 00 primeral’aidedesapplicationsz,zeiverdeslnoiicatappldel’ondestcereeemeiserp y.  D.2.) Montrerque l’applicationyest solution surRequationdel’enerdi(leeltiF) si, et + seulement si, l’applicationzest solution surRereeitnellrpane’uqueioatinddeciser, que l’on notera (H). D.3.)Resoudre(Hlossoituedsn(uirel’ensemblede.)nEddeF). D.4.)Determinerl’uniquesolutiondusystemesuivant:  200 0  x y(x) +xy(x) +y(x) = 0, x>0 y(1) = 0  0 y(1) = 1

Findel’enonce