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 Terminale S          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mai 2002
 
     Soit ABC un triangle et A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On considère O le centre du cercle circonscritΓ triangle ABC, G son centre de gravité et H le point défini par au     O H=O A+O B+O C. 1. Comparer les vecteursAHetO A'. 2. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC. 3. Montrer que O, H et G sont alignés. 4. Soit A1à O et I le milieu de [HAle symétrique de A par rapport 1]. a. Déterminer le réelαtel queO I=αAH. b. Montrer que le symétrique de l’orthocentre H par rapport à A’ est sur le cercleΓ.     
Dans un système de trois équations à trois inconnues, on notera L1, L2 L et3 trois équations du les système. Dans cet exercice, on appelle opération élémentaire, l’opération qui consiste à remplacer l’équation L2 par l’équation L2− L1 en soustrayant memebre à membre l’équation L obtenue1 de l‘équation L2. Cette  opération élémentaire sera notéeL2L2L1. 1. Factorisera2b2et développer(ab)a2+ab+b2. 2. On donne trois réel1,2et3vérifiantt1t2t3. a. Résoudre le système (S1)((tt11++tt32))xx++yy==tt1212++tt11tt23++tt2232. t2x+t y+z=t3 t1x t1y+z t1.ui b. So les opérations él Donner2) it le système (S2) :t2223x++t23y+z==t3233 qémentaires à réaliser sur (S permettent d’utiliser l’étude du système (S1) pour résoudre le système (S2). c. Résoudre le système (S2). 3. Soitα, , trois réels etla fonction polynôme définie parP(t)=t3αt2+t. a. Montrer que si() admet pour racines les réels1,2 et3 alorsα solutions d’un, et sont système linéaire de trois équations à trois inconnues. b. En déduire alors les valeurs deα, et en fonction de1,2et3.
     Partie A éaln 1+bln 1ln 2etsont deux ré On étudie l’inégalita bels > 0 tels que+= 1. Pour cela nous étudierons diverses fonctions.    1. Etude d’une fonction : on considère la fonctiondéfinie sur ]0 ; 1[ parg(x)=ln (1x)lnx. a. Résoudre l’équation() = 0. b. Etudier le signe de() en fonction de
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 c. Calculer’() où’ est la dérivée de. x 2. Soit une primitivede, définie sur ]0 ; 1[ parF(x)=1g(t)dt. 2 x Calculer en fonction dela valeur de l’intégraleF(x)=1g(t)dtà l’aide d’une intégration par parties où 2 on posera :u(t)=g(t)etv'(t)=1. On détaillera les calculs.    On considère maintenant la fonctiondéfinie sur [0 ; 1] par :fff0(((1x)))==01xlnx(1x)ln(1x) six] 0 ; 1[. = On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O;i,j).
1. Montre que que la courbe C deadmet la droiteΔd’équationx=21comme axe de symétrie. 2. Calculer’() la dérivée depour tout ; 1[.de ]0 3. Calculerlim+f(x). Donner le détail des calculs. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. x0x Que peutAon dire de la tangente à C en 1 ? (rappel :lim ln(1+x)=1) . x0x valeur exacte de1 4. Dresser le tableau de variation de; calculer laf2. 5. Tracer la courbe desoigneusement avec les tangentes ou demiAtangentes obtenues au 3. (unités : 10 cm par axe).  aln 1+bln 1ln 2 a b Soientetdeux réels > 0, tels que+= 1. 1. Montrer quealna1+blnb1ln 2. 2. Pour quelles valeurs deetcette inégalité estAelle une égalité ? Partie B On se propose dans cette partie de généraliser l’inégalité obtenue à la partie A. Soitentier strictement supérieur à 1 et soientun 1,2,3,…des nombres réels strictement positifs NposeHN=Nailn1. tels queai=a1+a2+...+aN=1. On=ai i=1i1 1. Soitla fonction définie, pour tout réelstrictement positif, parh(t)=ln(t)t+1. a. Calculer’() la dérivée deet dresser le tableau de variation de. b. Montrer que, pour tout réelstrictement positif,lntt1. c. Pour quelle valeur0deaAtAon l’égalitélnt=t1? 2. Soit un entier compris entre 1 et. Déduire de la question précédente les réels, en fonction des réels, tels que l’on ait l’inégalité suivante :ailnN1ai1Nbi. N  3. a. Justifier l’inégalité :ailn10. 1N ai i=
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b. Montrer que l’on a :Nailn1HNlnN. i=1N aic. En déduire une inégalité entreHN=Nailn 1 . i=1aiet ln
    
Partie I On lance un dé parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par X la varaible aléatoire indiquant le numéro apparaissant sur la face supérieure. Soitun entier compris entre 1 et 6. On noteraXnl’événement « le numéro apparaissant sur le dé est inférieur ou égal à», de même pourX>nouXn, etc. 1. a. Donner la loi de probabilité de X. b. Calculerp(X2),p(X> 2)etp(X2). 2. Soitun entier quelconque compris entre 1 et 6. a. Déterminer en fonction dela probabilitép(Xn). b. Déterminer en fonction dela probabilitép(X>n). c. Déterminer en fonction dela probabilitép(Xn). 3. On considère la variable aléatoire Z définie par Z = 7 − X. a. Quel est l’ensemble des valeurs prises par Z ? b. Calculerp(Z2). c. Déterminer en fonction dela probabilitép(Zn). Partie II On lance de façon indépendante deux dés, parfaitement équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par X et Y les variables aléatoires représentant les numéros apparaissant respectivement sur chaque dé. Soit Max(X, Y) la variable aléatoire représentant le plus grand des deux nombres figurant sur les dés. Si les deux dés affichent le même nombre, Max(X, Y) prend pour valeur ce nombre. 1. Sachant queY=3, calculer la probabilité p1 de l’événement Y)M ax(X,4. 2. Soitun entier quelconque compris entre 1 et 6. a. Calculer en fonction dela probabilitép(XnYn).
b. en déduire en fonction dela probabilitép( Y)M ax(X,n). c. En utilisant la formulep(M ax(X, Y)=n) =p( Y)M ax(X,n) −p(M ax(X, Y)n1), calculer en fonction dela probabilitép( Y)M ax(X,=n). Partie III On lance de façon indépendante,dés parfaitement équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 1. Donner en fonction de, la probabilité tous les nombres apparaissant sur les faces des dés que soient inférieurs ou égaux à 5. 2. Donner en fonction de, la probabilitéd’obtenir au moins un 6 parmi lesdés lancés. 3. Calculer la limite dequandtend vers+∞. Justifier ce calcul.
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      On considère la fonction du plan complexe dans luiAmême qui, à tout point d’affixe, fait correspondre le point’ d’affixe’ définie par : ' 2z z=. 1+zz Partie I  1. Soient les pointsd’affixe=,d’affixe= 2 −et C d’affixec=25i. On note’,’ et’ les affixes des images parde,et. Calculer’,’ et’ sous forme algébrique. 2. Soit un complexe non nul. On considère le point d’affixeZ=z2. Calculer en fonction de z l’affixe’ de l’image’ depar. Que peutAon dire des points’ et’. 3. On appelle point invariant par point toutqui est sa propre image par plan  du, c’estAàAdire vérifiant() =, soit=. a. Déterminer les complexes qui vérifient’ =. b. En déduire l’ensemble des points invariants par. Partie II  Soit le complexez=x+iyetsont réels. 1. Donner la partie réelleet la partie imaginairede’ en fonction deet. 2. a. Vérifier que l’ensemble E des pointsdont l’image’ para pour abscisseX=51est un cercle dont on donnera le centreet le rayon1. b. Vérifier que l’ensembledes pointsdont l’image’ para pour ordonnéeY=25est un cercle dont on donnera le centre et le rayon2. r l’ensemble H d sdu affixe' 1+2i. z= c. Détermine es point plan dont l’image’ para pour5 Partie III
Soit le complexe non nulz=reiθest le module deetθun argument de. 1. Donner, en fonction deetθ, le module et un argument de’. 2. Montrer que les points,,’ sont alignés. 3. Montrer que, pour tout pointdu plan, son image’ vérifieOM'1. 4. Quelle est l’image pardu cercle C1de centreet de rayon 2 ?  
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