Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

Description

Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 93
• Langue: Français

Extrait

         ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD  Concours d'admission sur classes préparatoires ___________________  MATHEMATIQUES Option économique  Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ___________________     La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.  L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.   Exercice 1 Soitflendomorphisme de IR  3 dont la matrice dans la base canoniqueBde IR  3 est : A=      −2 1 12 − 4 0 8− 3 7 6      . On noteIla matrice unité deM 3 (IR) et on poseu= (2,  1,  2). 1) a) Montrer que Ker  f= vect(u).  b) La matriceAest-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteurvde IR  3 , dont la 2 ème coordonnée dansBvaut 1, et tel quef  (v) = u.  b) Démontrer que le vecteurwde IR  3 , dont la 2 ème coordonnée dansBvaut 1, et qui vérifie f  (w) =vestw= (0, 1, 1).  c) Montrer que (u,v,w) est une base de IR  3  lon notera queB. On noteP matrice de la passage de la baseBà la baseB. 3) a) Écrire la matriceNdefrelativement à la baseB. En déduire la seule valeur propre def. Lendomorphismefest-il diagonalisable ?  b) Donner la relation liant les matricesA,N,PetP  1 , puis en déduire que, pour tout entier ksupérieur ou égal à 3, on a :A  k = 0. 4) On noteC N (respectivementC A ) lensemble des matrices deM 3 (IR) qui commutent avecN (respectivementA).  a) Montrer queC N est un sous-espace vectoriel deM 3 (IR) et queC N = vect  (I,N,N  2 ). On admet queC A est aussi un sous-espace vectoriel deM 3 (IR).  b) Établir que :M∈C A ⇔P  1 M  P∈C N  . En déduire queC A  = vect  (I,A,A 2 )  . Quelle est la dimension deC A ?



1

Exercice 2 x∈    2(1− 1 x) 2 [i[0 1 ,s 2 On considère la foncti  ∈[ onfdéfinie par :f  (x) =    2 1 x 2 six,[ 1 1 2   0 sinon. 1) Montrer quefpeut être considérée comme une densité de probabilité.  Dans toute la suite, on considère une variable aléatoireX définie sur un certain espace probabilisé (Ω,A,P) et admettant la fonctionf  pour densité.  2) Déterminer la fonction de répartitionFdeX. 3) Montrer queX ia une espérance et que cell  1 e-c vaut . 2 4) a) DéterminerE ( (X    1)  2 ) .  b) En déduire queXa une variance et queV(Xln) 3 = 4  2. 5) On appelle variable indicatrice dun événementA, la variable de Bernoulli qui vaut 1 siA est réalisé et 0 sinon. On considère maintenant la variable aléatoireY, indicatrice de lévénement (X≤ 1 te) 2 al variable aléatoireZ, indicatrice de lévénement (X.> 1 2 )  a) Préciser la relation liantYetZpuis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire deYetZ, notéρ  (Y  ,Z), est égal à 1.  b) En déduire la valeur de la covariance deYetZ.    Exercice 3 Soitfla fonction définie pour tout couple (x,  y) de IR 2 par :f  (x,  y) = 2  x 2 +  2  y 2 + 2x  yxy.   1) a) Calculer les dérivées partielles premières def.  b) En déduire que le seul point critique defestA.)= 1 (, 66 1 2) a) Calculer les dérivées partielles secondes def.  b) Montrer quefprésente un minimum local enAet donner la valeurmde ce minimum. 3) a) Développer 2  (x+ y ) 4 1 2 + 2 3  (y    6 ) 1  2 .  2  b) En déduire quemest le minimum global defsur IR 2 . 4) On considère la fonctiongdéfiniepour tout couple (x,  y) de IR 2 par : xy g(x,  y) = 2  e 2x + 2  e 2y + 2  e x  +  y ee.  a) Utiliser la question 3) pour établir que :∀(x,  y)∈IR  2 ,g(x,  y)≥  1 6 .  b) En déduire queg possède un minimum global sur IR  2  et préciser en quel point ce minimum est atteint.  Problème 



2

Partie 1 : étude dune variable discrète sans mémoire. SoitXune variable aléatoire discrète, à valeurs dans INtelle que :∀m∈IN,P(X≥m) > 0. On suppose également queXvérifie :∀(m,n)∈IN×IN,P (X≥m) (X≥n  +  m) =P(X≥n). On poseP(X= 0) =pet on suppose quep> 0. 1) On poseq= 1    p. Montrer queP(X≥1) =q. En déduire que 0 <q< 1. 2) Montrer que :∀(m,n)∈IN×IN,P(X≥n  +  m) =P(X≥m)  P(X≥n). 3) Pour toutnde IN, on poseu n =P(X≥n).  a) Utiliser la relation obtenue à la deuxième question pour montrer que la suite (u n ) est géométrique.  b) Pour toutnde IN, exprimerP(X≥n) en fonction denet deq.  c) Établir que :∀n∈IN,P(X=n) =P(X≥n) P(X≥n+ 1).  d) En déduire que, pour toutnde IN, on aP(X=n) =q  n  p. 4) a) Reconnaître la loi suivie par la variableX+ 1.  b) En déduireE(X) etV(X).  Partie 2 : taux de panne dune variable discrète. Pour toute variable aléatoireYà valeurs dans IN  et telle que, pour toutnde IN,P(Y≥n) > 0, on définit le taux de panne deYà linstantn, notéλ n  , par :∀n∈IN  ,λ n =P (Y≥  n) (Y=n).  1) a) Montrer que :∀n∈IN  ,λ n = P P( (Y Y = ≥ n n ) ) . P(Y≥n)  b) En déduire que :∀n∈IN  , 1 λ n = + . 1  P(Y≥n)  c) Établir alors que :∀n∈IN  , 0≤λ n < 1. n−1  d) Montrer par récurrence, que :∀n∈IN  * ,P(Y≥n) = ∏ (1− λ k ) . k=0 n−1 2) a) Montrer que :∀n∈IN  * , ∑ P(Y=k) = 1 P(Y≥n). k=0  b) En déduire que limP(Y≥n) = 0. n→+∞ n−1  c) Montrer que lim ∑ −ln(1− λ k  +) =∞. n→+∞ k=0  d) Conclure quant à la nature de la série de terme généralλ n .  3) a) Compléter la déclaration de fonction récursive suivante pour quelle renvoie la valeur den  ! lorsquon appellef  (n).   Functionf(n: integer) : integer ;   Begin  If (n= 0) thenf: = ------  elsef: =---; ----  end ;       b) On considère la déclaration de fonction récursive suivante : 



3

 Functiong  (a: real ;n: integer) : real ;  Begin  If (n= 0) theng: = 1  elseg: =a * g  (a,n    1) ;  end ;  Dire quel est le résultat retourné à lappel deg(a,  n).   c) Proposer un programme (sans écrire la partie déclarative) utilisant ces deux fonctions et n−1 k permettant dune part le calcul de la somme k ∑ =0 k a ! e −a  part, à laide du résultat deet dautre la question 1a), le calcul et laffichage du taux de panne à linstantndune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètrea > 0, lorsquen a sont entrés au clavier par et lutilisateur (on supposeran≥1).   d) Compléter la déclaration de fonction suivante pour quelle renvoie la valeur de n−1 k a −a ∑ eà lappel desigma(a,n). k=0 k!  Functionsigma(a: real ;n: integer) : real ;  vark: integer ; p: real ;  Begin p: = 1 ;s: = 1 ;  Fork: = 1 ton    1 do beginp: =p  *  a/k;s: =.......; end ; s:.......; = sigma: =s;  end ;    Partie 3 : caractérisation des variables dont la loi est du type de celle deX. 1) Déterminer le taux de panne de la variableXdont la loi a été trouvée à la question 3d) de la partie 1. 2) On considère une variable aléatoireZ, à valeurs dans IN   vérifiant :, et∀n∈IN,P(Z≥n) > 0. On suppose que le taux de panne deZest constant, cest-à-dire que lon a :∀n∈IN  ,λ n =λ.  a) Montrer que 0 <λ< 1.  b) Pour toutnde IN  , déterminerP(Z≥n) en fonction deλetn.  c) Conclure que les seules variables aléatoiresZà valeurs dans IN  , dont le taux de panne est constant et telles que pour toutnde IN,P(Z≥n) > 0, sont les variables dont la loi est du type de celle deX.



4

EDHEC 2006 : option ES Corrigé de lépreuve de mathématiques       Exercice 1  1) a)On résoutAX 0 avec =X =      x z y     , oùX  estla colonne des coordonnées dun vecteur quelconque de Ker  fdans la base canonique de IR 3 .   2x x + 4 1 y 0y 3 + z 7z 0 =0 . Ce système sécrit : + + =   −2x−8y−6z=0  Avec les transformationsL 2 ←2  L 2    L 1 etL 3 ←L 3 +L 1 , on obtient le système équivalent :   2x10y7z0   −2 + y−z + =0 = qui, en remplaçantzpar 2ydans la première équation, est équivalent à :   2y+z=0   2x−4y=0   z= −2y , soit finalement :    z x= =−2 2 y y .  2y En conclusion,AX= 0⇔X=     y     ⇔X=y   −    1 2 2      . −2y  Ceci montre que Ker  f= vect ( (2, 1, 2) ) , ce qui sécrit aussi :  Ker  f= vect(u).  b)Ker  f est différent de {(0, 0, 0)} doncf pas injectif, a fortiori pas bijectif. On en nest conclut que : Anest pas inversible.  Remarque : on pouvait aussi écrire que le systèmeAX= 0 a dautres solutions queX= 0, ce qui prouve queAnest pas inversible. 



1

2) a)On posev= (x,  1,  z). Léqua   tionf  (v) =uest équivalente au système :A      x 1 z      =  −   2 1 2     .   2x+10+7z=2 Ce système sécrit :x+4+3z= Les deux1 .    −2x−8−6z= − itauqéserèinreduivatéqétanons 2 lise,eltn  it 3. reste   2x+7z+8= os 0 , =    z+ −3 2= −3 etenfni 0 z= 2 etx=  x= −3z−3x z 

Le vecteurvcherché vérifiantf  (v) =uestv= (3,  1,  2)  b)Lénoncé semblant admettre que le vecteurwproposé, solution def  (w) =v, existe et est unique, on se contente de vérifier par un simple calcul : 0   A      1      =   102 341 7         −1 1 0      =   −    1 2 3      . Ceci montre bien que : −1   −2−8−6

 Le vecteurwcherché vérifiantf  (w) =vestw= (0,  1,  1).  b)montrer que la matrice de passageIl suffit de P de la base canoniqueBRIde  3  la à famille (u,  v,  w) est inversible. On cherche donc une réduite de Gauss de la matriceP=   2 11 30 1    .    2 2 1   − − − Avec les transformations élémentairesL 2 ←2  L 2    L 1 etL 3 ←L 3 +L 1 , on obtient :    203 10      −2 .  0 1−1 Avec la transformationL 3 ←L 3 +L 2 , on obtient :         2 0 0− 30 01 21  . Cette réduite dePest triangulaire sans élément diagonal nul, elle est donc inversible etPlest aussi. En conséquence : B (u,  v,  w) est une base de IR 3 . =  3) a)On a :f  (u) = 0,f  (v) =uetf  (w) =vdonc la matriceNdefdans la baseBest :   N=      00 0 0 0 0 0 1 1     .



2

La matriceNest triangulaire donc ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux. On peut donc conclure que 0 est la seule valeur propre deN, donc la seule valeur propre def. De plus, le sous-espace propre defassocié à la valeur propre 0 est Kerf. Comme dim  Ker  f= 1, on a dim  Ker  f< dim  IR 3 donc :  fnest pas diagonalisable.  b)La formule de changement de base sécrit :A=P  N  P 1 .   Un calcul simple montre que :N  2 =   0 00 0 1 0     etN 3 = 0.  0 0 0

3 On en déduit queA  = 0 Pour tout entierksupérieur ou égal à 3, on a alors :A k =A 3 A  k3 = 0  . . Conclusion : ∀k≥3,A k = 0.      bca fde     une matrice quelconque deC N  . 4) a)SoitM=   ig h     0 1 0 La relationM  N=N  Méquivaut à :      abc def ghi        000 10 0 0 10    =      0 00 10 0           bc de a f ghi      , doù :  M∈C N ⇔      0 0 0gh de ab      =      d 0 e g 0 f ih 0      , doù, en identifiant :      a b d = = = e g f = = i h=0 . a b c On a donM∈C N      . c :⇔M= 0a b    0 0a   ⇔M=  N+c  N 2 . En conclusion :M∈C N a  I+b Ceci prouve que : C N = vect(I,  N,  N  2 )

  b)M∈C A ⇔AM=MA⇔(PNP 1 )  M=M  (PNP 1 )⇔PNP 1 M=M  PNP 1 . En multipliant les deux membres parP 1 à gauche et parPà droite, on obtient : M∈C A ⇔NP 1 MP=P 1 M  PN⇔N(P 1 MP) = (P 1 M  P)N. On a donc : M∈C A ⇔P 1 MP∈C N  .  Daprès le résultat de la question 4a), on peut écrire : M∈C A ⇔∃(a,  b,  c)∈IR 3 ,P 1 MP=a  I+b  N+c  N 2 . Ceci est équivalent (en multipliant les deux membres parP  à gauche et parP 1 à droite) à : M∈C A ⇔∃(a,  b,  c)∈IR 3 ,M=P(a  I+b  N+c  N 2 )P  1 , doù, en développant : M∈C A ⇔∃(a,  b,  c)∈IR 3 ,M=a  PIP  1 +b  PNP  1 +c  PN 2 P  1 . 



3

 CommePIP  1 =I,PNP 1 =AetPN 2 P  1 =A 2 , on trouve finalement : M∈C A ⇔∃(a,  b,  c)∈IR 3 ,M=a  I+b  A+c  A 2 . Conclusion : C A = vect(I,A,A 2 ).  La famille (I,A,A 2 ) est génératrice deC A , on va vérifier que cest une famille libre. Soit donc trois réelsa,betctels quea  I+b  A+c  A 2 = 0. En multipliant les deux membres parP  1 à gauche et parP droite, on obtient (avec une à technique identique à celle utilisée plus haut) :a  I+b  N+c  N 2 = 0.   a b c  Ceci sécrit :     0 0a     =      00 000 00 0 0      et on conclut que :a=b=c= 0. 0a b La famille (I,A,A 2 ) est génératrice deC A et libre, cest donc une base deC A . On a donc :

dimC A = 3.   Exercice 2 1) Sur ]∞,  0[ et sur [1,  +∞[,fcoïncide avec la fonction nulle donc elle est positive. Sur [0,  2 1 ,[fest bien définie (1    x≠0) et positive (car 2(1    x) 2 > 0). Sur[ 2 1 ,  1[,fest bien définie (x≠0) et positive (car 2  x 2 > 0). fest positive sur IR.

  Sur ]∞,  0[ et sur [1,  +∞[,fcoïncide avec la fonction nulle donc elle est continue. Sur [0,  [ 2 1 ,fest un quotient de fonctions polynomiales à dénominateur non nul doncfest continue. Sur[ 1 2 ,  1[,fest un quotient de fonctions polynomiales à dénominateur non nul doncfest continue. fen0,en 1 2 eten1.oncnutisueIRruasepfê-tuertste

 f(t)dt ∫ − 0 ∞ = ∫ 1 +∞ f(t)dt= 0 (aucun problème de convergence). 1/2 1 ∫   12 1 t    1/2 = 1    = 1 2   0 f(t)dt=  (−) 0 . 2   ∫ /21 1 f(t)dt=    2 −1 t    12/ 1 =   =1+ 2 1  2 . 1   Avec la relation de Chasles, on a bien :



4