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Mathématiques PSI Exercices

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416 pages


En complément des Nouveaux Précis, des livres d'exercices offrent les corrigés détaillés et commentés des énoncés « incontournables » de deuxième année, classés par thème et couvrant tout le programme par filière. Pour s'entraîner efficacement et progresser tout au long de l'année, chaque chapitre propose :

- des sujets d'oraux, courts, qui permettent d'acquérir les techniques fondamentales

- des problèmes, qui mettent en oeuvre ces techniques dans des démonstrations plus complexes.

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Sommaire
1. Arithmétique – Algèbre générale Sujets d’oraux A. Dénombrement B. Nombres complexes – Identités algébriques C. Polynômes et fractions rationnelles Thèmes d’étude – Problèmes
2. Algèbre linéaire – Réduction Sujets d’oraux A. Déterminants B. Diagonalisation C. Réduction triangulaire ou diagonale D. Applications de la réduction Thèmes d’étude – Problèmes
3. Espaces vectoriels normés – Suites et séries Sujets d’oraux A. Espaces vectoriels normés B. Fonctions dedansC. Suites D. Séries Thèmes d’étude – Problèmes
7 8 8 8 12 18
35 36 36 41 68 76 100
123 124 124 138 141 154 170
Sommaire
4. Espaces préhilbertiens – Espaces euclidiens Coniques – Quadriques Sujets d’oraux A. Produit scalaire B. Projections orthogonales – Distances C. Adjoint – Réduction des endomorphismes symétriques D. Endomorphismes symétriques positifs E. Coniques F. Quadriques Thèmes d’étude – Problèmes
5. Intégration – Suites et séries de fonctions Séries entières – Séries de Fourier Sujets d’oraux A. Intégrabilité B. Suites de fonctions C. Séries de fonctions D. Séries entières E. Séries de Fourier F. Convergence dominée G. Fonctions définies par une intégrale Thèmes d’étude – Problèmes
6. Équations différentielles – Calcul différentiel et intégral – Géométrie différentielle Sujets d’oraux A. Équations différentielles linéaires B. Équations différentielles non linéaires C. Dérivées partielles – Différentielle – Gradient D. Difféomorphismes E. Équations aux dérivées partielles F. Intégrales doubles – Intégrales curvilignes G. Géométrie différentielle Thèmes d’étude – Problèmes
6
Sommaire
191 192 192 194 200 210 225 232 238
271 272 272 276 283 293 310 315 327 336
405 406 406 424 430 435 439 442 450 457
CHAPITRE
Arithmétique Algèbre générale
Sujets d’oraux A. Dénombrement B. Nombres complexes – Identités algébriques C. Polynômes et fractions rationnelles
Thèmes d’étude – Problèmes 1. Formules de Cardan 2. Une équation polynomiale 3. Inégalités dans
1
Chapitre 1. Arithmétique – Algèbre générale
8 8 8 12
18 18 21 26
7
A
Sujets
d’oraux
Dénombrement
Ex. 1  Soitn, déterminer le nombre de surjections d’un ensemble àn+ 1éléments sur un ensemble àn.stenémél  n A a ,. . ., a B SoitAde cardinal+ 1:=1n+1l,dceraidann:B= l’ensemble des surjections deAsurB. 2 PourfS, il existei[[1, n],(j, k)[[1, n+ 1]],jk, uniques tels quef   alorsfdeAa , asurBbi. Aaj,akgest une bijectionj k j f Lapplicationdéfinie surSpar :  :fbi,j k,Aaj,ak a , a fj f g est injective, donc : 2 CardS= Card(S) =n(n1)!. n+1   n(n+ 1)! En conclusion,CardS=. 2
B
,. . ., b b1n, etS
a j
=f a k
Nombres complexes – Identités algébriques
Ex. 2 ix iy iz Résoudre l’équatione+e+e= 0,
3 (x, y, z).
=biet
(E)
 3ix iy iz Soit=Z/ Z= 1, pour(x, y, z), posonsX=e,Y=e,Z=e, l’équation j j proposée se lit : 3 X+Y+Z= 0,(X, Y, Z)(E) 0 2i �  2 2 3 0 Il est bien connu que1 +j+j= 0avecj=edonc1, j, jest solution de(E). Nous allons � �  iiivérifier, qu’à une rotation près(X, Y, Z)Xe , Ye , Zersuetun,atumrepesèrpnoit 0 (X, Y, Z), c’est là l’unique solution de(E). Remarquons d’abord que(E)est équivalente à : i(y x)i(z x) 3 � � 1 +e+e= 0,(x, y, z)en posantu=y x,v=z x, on est donc ramené à étudier l’équation : � � iu iv2 1 +e+e= 0,(u, v)2 qui s’écrit aussi :1 + cosu+ cosv= 0,sinu+ sinv= 0,(u, v). sinv= sinudonnevumod 2ouv+umod 2. � �
8
Sujets d’oraux
E 1
�  Pour+ mod 2, on a0cos = cos + donc à rejeter et, ce cas est E1équivaut ainsi à : vuu v 1 vumod 2,cosu=. � � 2 �  Finalement les solutions desE1sont les couples :     22222 + 2k,+ 2et+ 2k,+ 2,(k,)� � 3 3 3 3 et pour(E)obtient les triplets :on     22222 ,+ + 2k,+ 2et,+ 2k,2+ + ,,(k,)� � 3 3 3 3
Ex. 3 SoitN= 1 0 1 0 1 0. . .1 0 1écrit en base10. L’entierNestil premier ?
Le nombreNs’écrit avecpfois le chiffre1etp1fois le chiffre0et on a : 2p 10 1 2 2(p1) N+1 + 10 = . . .=+ 10 . 2 10 1 Une exploration numérique avec un logiciel de calcul formel montre que si101est premier, il n’en est pas de même pour13 377 10101 = 3 ou pour1010101 = 73 101 137.      En fait, nous allons prouver queNest non premier dès quep3nécessite de faire. Ceci 2 apparaître une factorisation après la simplification par10 1et, pour ce faire, nous allons procéder différemment selon queppair ou impair.est Premier cas :pest pair,p= 2navecn2 Alors : 4n2n� � �  10 1 10 12n2 2(n1) 2n � � N= = 10 + +1 = 1 + 10 . . .+ 10 10 + 1.  2 2 10 1 10 1 � � 2 2(n1) Puisquen2, on a1 + 10 +. . .+ 10>1, doncNn’est pas premier. Deuxième cas :pest impair,p= 2n+ 1avecn1 Alors : 4n+2 2n+1 2n+1 10 1 10 1 10 + 1 � � N= =  2 10 + 110 1 10 1 2n X 2n+1 2n+1k2n k k donc, en utilisanta+b= (a+b) ( 1)a b, il vient : k=0 � �  2n2k k2n N+ 10 += 1 . . .++ 10 + 10 1 10 . . .1) 10 + ( +. . .+ 10 � � 2n2n X X k k k = 10 ( 1) 10  � k=0k=0 ce qui prouve queNn’est pas premier.
Ex. 4 4 3 2 Quels sont les entiers naturelsntels quen+ 2n+ 3n+ 1soit le carré d’un entier ?
4 3 2 PosonsA(n) =n+ 2n+ 3n+ 1.
Chapitre 1. Arithmétique – Algèbre générale
9