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Final SY53 17/06/2006
NOM : Note : TRAITEMENT DU SIGNAL20,5/20 Dure : 1H50. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe.Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 5,5 Considrons un capteur de profil dont le principe physique mesure la distance moyenne qui spare sa fentre de mesure de la pice dont on veut obtenir le profil. f(x)f(x) reprsente la distance entre la pice et le capteur. Pice g(x0) est le signal fourni par le capteur lorsqu’il est positionn en x xx0. g(x0) reprsente alors la distance moyenne entre la pice et 0 la fentre de mesure de largeur 2A g(x0 du capteur. 2A 1)Exprimer la fonction g(x0). 2)Montrer que g(x0) peut s’crire comme le produit de convolution de la fonction f(x) avec une fonction h(x) que l’on dterminera.
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3)Dduire de la question prcdente que g peut tre considr comme la rponse d’un filtre au signal d’excitation f. Dterminer alors la fonction de transfert harmonique T( )de ce filtre. Reprsenter graphiquement le module de T( ). Y-a-t-il des frquences spatiales pour lesquelles la fonction de transfert est nulle ? Expliquez l’impact que cela peut avoir sur la mesure du profil de la pice.
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EXERCICE 2 3 (Exercice extrait du polycopi de cours SY53) Considrons le si nal analogique priodique suivant: x(t)1 61 5 1 15 (ms) On dsire chantillonner ce signal afin de le traiter numriquement. La frquence d’chantillonnage a t fixe empiriquement de faon  obtenir au moins 10 chantillons dans la partie la plus raide du signal. 1)Quelle est, dans ces conditions, la frquence minimale d’chantillonnage ? Dans la pratique le concepteur de la carte a retenu la frquence d’chantillonnage def=Le CAN25 KHz . e convertisseur chantillonneur analogique numrique a t prcd d’un filtre. 2)Quel est le rle du filtre ? Quel doit tre sa nature (Passe BAS, Passe Haut, Passe Bande, etc...) ? Si on suppose que ce filtre est parfait, comment doit-on choisir sa frquence de coupure ?
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EXERCICE 3 4,5 Considrons un bruit blanc gaussien de densit spectrale de puissance A. 1)Dterminer sa fonction d’autocorrlationC(τ)bb Ce bruit blanc est ensuite filtr par un filtre dont le module carr de la fonction de transfert H( )l’allure a suivante : 2 H( ) Bν-ν0ν00  5 2)CDterminer alors la fonction d’autocorrlation yy(τ)du signal y(t) en sortie du filtre. Reprsenter graphiquement C(τ). yy
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EXERCICE 43 Sur une machine nous avons relev le signal suivant : Figure 1
Une analyse suivant :
spectrale
d’amplitude
fournit
Aprs quelques moyennes, le spectre devient :
1)
le
spectre
Figure 2
Figure 3
Commenter qualitativement le spectre de la figure 2.
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2)Commenter qualitativement le spectre de la figure 3 Pourquoi le fond de spectre (sans les 3 raies) est-il quasiment constant ? 3)Commenter qualitativement et quantitativement les trois raies spectrales visibles sur la figure 3. (Le spectre est un spectre unilatral d’amplitude crte). Questions de Cours : 4,5 1)On dsire dtecter la prsence d’un signal priodique de priode inconnue, noy dans un trs important bruit blanc gaussien. Quelles mthodes simples proposez-vous ? Proposer deux mthodes. (Expliquez et justifiez) Mthode 1 : Mthode 2 :
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2)Expliquez quelles caractristiques doit possder un signal x(t) pour pouvoir tre chantillonn correctement sans perte d’informationsans respecter le thorme de Shannon.
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FORMULAIRE +∞ Convolution :ftg : (fg)(t)=f(a)g(ta) da−∞ +∞ * Energie totale :E=t)f(t)f(dt− ∞ * Energie d’interaction sur l’intervalle T :Exy(T)=y(t)x(dt)t T Puissance moyenne d’un signal priodique : +∞ 12 2 ( ) Pmoy=f t dt=αnT Tn= −∞ Signaux alatoires : + ∞ 1 Moyenne :moy=)E(x=Lim xi(t)dt=xp(x)dx  i T→ +∞T− ∞ T + ∞ 212 2 Puissance :P=E(x)=Lim(x (t))dt=x p(x)dxT→ +∞T− ∞ i i T S2N3 Rapport signal/bruit de quantification : =12.2 et Bmax S =6,02.N+1,76 dBBmax dB Dcomposition en srie de Fourier : +∞ a0 2Πnt 2Πnt  n nf(t)= +a cos +b sin     2n=1T TT T + + 222Πnt222Πnt et avecan=Tf(t)cos dt bn=Tf(t)sin dt     T2T T2T 2Πnt +∞T2ΠntT 1212 j+j+ TT nouf(t)= αeavecαn=Tf(t)e dtetα0=Tf(t)dtT T 2 2 n= −∞ Transformation de Fourier : +∞ +∞ j2Πνt j2Π νt x(t)=X(ν)e dν X(ν)=x(dte)tet − ∞−∞ Quelques proprits de la transforme de Fourier. TF1  f(at)F   a a TF f(t)F(− ν) TFf(t)F(− ν) TFj2Πaν f(ta)(Feν) j2Πat TF ef(t)F(ν −a)TF f×gFGTF fgF×GTF f(t)j2ΠνF(ν)(n) TF n f(t)(j2ΠνF()ν)
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TF TF f(t)F(ν)f(t)+∞ +∞ 2 2 f(t) dt=F(ν) dν− ∞− ∞ +∞ nF(ν)δ= α − νTransforme des signaux priodiques :n  T n= −∞ Autres proprits :f(t)F( )relle Re(F) est paire Im(F) est impaire relle et paire relle et paire relle et impaire imaginaire et impaire Quelques Transformes de Fourier. Fourier 1→ δ(ν)Fourier δ(t)→1 Fourier rect(t)→sinc(ν)Fourier 2 tri(t)→sinc(ν)Fourier sinc(t)→rect(ν)2 Fourier sinc(t)→tri(ν)Fourierj sgn(t)→ − πν Fourier1 j ech(t)→ δ(ν)2 2πν t e pour t 0 Fourier1 ie1(t)=→0 pour t<0 1+j2πν t Fourier2 ie2(t)=e→2 1+(2πν) 2 2 −πt Fourier−πν ig(t)=e→eFourier1 cos(2πft)→(δ(ν −f)+ δ(ν +f))2 Signaux  nergie finie : 2 * DSE :Sff(ν)=F(ν) DSEI :Sfg(ν)=F(ν)G(ν)Signaux  nergie non finie : 12DSP :Sff(ν)=LimFT(ν)T→ +∞ T+∞ 2npour les fonctions priodiquesS(ν)= α δν −ff n n= −∞T1*DSPI :Sfg(ν)=LimFT(ν)GT(ν)dνT→ +∞ T
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Autocorrlation et intercorrlation des fonctions  nergie finie +∞+∞ C(τ)=x(t)x(t− τ)dtetCxy(τ)=x(t)y(t− τ)dt −∞− ∞ xx Autocorrlation et intercorrlation des fonctions  nergie non finie T T 11+ + 2 2 Cxx(τ)=limTx(t)x(t− τ)dtetCxy(τ)=LimTx(t)y(t− τ)dt  T T T→ +∞ T→ +∞ 2 2 Pour les fonctions priodiques : T T 1212+ + = ⋅ − τCxx(τ)=Tx(t)x(t− τ)dtetCxy(τ)Tx(t)y(t)dt T2T2 Autocorrlation et intercorrlation des fonctions alatoires T 1+ 2 Cxx(τ)=E[x(t)x(t− τ)]=limTx(t)x(t− τ)dt T→ +∞ T2 T 1+∗ ∗ 2 etCxy(τ)=E[x(t)y(t− τ)]=LimTx(t)y(t− τ)dt T→ +∞T 2 Formules dEuler. 1jxjx1jxjx cos x=e+sin xe et =ee()()()() 2 2j Formules de trigonomtrie. cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) sin(ab)=sin(a)cos(b)sin(b)cos(a) 1 cos(a)cos(b)=[cos(a+b)+cos(ab)] 2 1 sin(a)sin(b)=[cos(ab)cos(a+b)] 2 1 sin cos (a)(b)=[sin(a+b)+sin(ab)] 2 t0δ(t)=0 δ(0)= +∞ Dirac+∞ δ(t)dt=1 −∞ 1 δ(at)= δ(t) a f(t)(tt )=ftt()(t )0 0 0
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