Cette publication ne fait pas partie de la bibliothèque YouScribe
Elle est disponible uniquement à l'achat (la librairie de YouScribe)
Achetez pour : 13,50 € Lire un extrait

Téléchargement

Format(s) : PDF

avec DRM

Un pas vers la sup en mathématiques

De
192 pages


Cet ouvrage permet de faire la transition en mathématiques entre la Terminale et la classe préparatoire. Ainsi il aide les élèves à :

- réviser et approfondir les notions de Terminale réinvesties en classes préparatoires, avec quelques prolongements indispensables

- se familiariser avec l'esprit et le langage « prépa »

- apprendre à organiser leur travail en combinant étroitement le cours, les méthodes et les exercices.

Il comprend un cours très synthétique, des méthodes en oeuvres sur des cas concrets et des exercices, intégralement corrigés et commentés.

Voir plus Voir moins

Vous aimerez aussi

4
Sommaire Chapitre 1. . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul algébrique Fiche 1 :Éléments de logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chapitre 2
Chapitre 3
Chapitre 4
Chapitre 5
Chapitre 6
Chapitre 7
Chapitre 8
Chapitre 9
Chapitre 10
Chapitre 11
Chapitre 12
Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Fiche 2 :Définition rigoureuse dune limite. . . . . . . . . . . . . . 36
Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fiche 3 :La continuité à travers les suites. . . . . . . . . . . . . . . 47
Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Fiche 4 :Linégalité des accroissements finis. . . . . . . . . . . . . 64
Étude des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Fiche 5 :La formule du binôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Fiche 6 :Limites et convergences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Fiche 7 :La variation de la constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Fiche 8 :Méthodes des trapèzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Fiche 9 :Racines nièmes dun nombre complexe. . . . . . . . 176
Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Fiche 10 :Le produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Chapitre 13Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Fiche 11 :Le petit théorème de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . 215 Réussir sa prépa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Comment travailler efficacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Choisir la bonne filière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
C H A P I T R E 1
1. 5 est un entier relatif.
3 2.sont des nombres 5 et 4 rationnels.
3 3.sont des nombres2,  5, 4 réels.
4.Il existe aussi lensembledes nombres complexes, avec(voirchapitre 11).
Calcul algébrique
A. Généralités A.1.Les ensembles et les nombres = {0, 1, 2, } est lensemble des entiers naturels. 1 = {,  2,  1, 0, 1, 2, } est lensemble des entiers relatifs .  est lensemble des nombres rationnels (quotient de deux 2 entiers relatifs) . 3 .est lensemble des nombres réels
Propriété 1 4 chaque inclusion est stricte. et
A.2.Notations et Σ Π Définition 1 n a=a+a+  +a. Σ k0 1n k= 0 n Π ak=a0a1an. k= 0
Exemple : n n Sixk0 pour toutk, lnxk= lnxk. Σ(Π) k= 0k= 0
Propriété 2 n n n Σ Σ Σ (ak+bk) =ak+bk. k= 0k= 0k= 0 n n n (akbk) =akbk. Π(Π) (Π) k= 0k= 0k= 0 Soitl, alors : n n Σ Σ (lak) =lak. k= 0k= 0
Cours
5
6
5.Par convention : 0 ! = 1.
6.n= 0 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4
1 1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6
1 4
1
Chapitre 1 : Calcul algébrique
B. Identités remarquables Formule du binôme B.1.Identités
2 2 2 (a+b) =a+ 2a b+b 2 2 2 (ab) =a 2a b+b 3 3 2 2 3 (a+b) =a+ 3a b+ 3a b+b 3 3 2 2 3 (ab) =a 3a b+ 3a bb 2 2 2 2 (a+b+c) =a+b+c+ 2a b+ 2a c+ 2b c 2 2 ab= (a+b) (ab) 3 3 2 2 ab= (ab) (a+a b+b) 3 3 2 2 a+b= (a+b) (aa b+b)
B.2.Binôme de Newton n est appelé coefficient binominal, oùketnsont deux entiers ( ) k naturels tels que 0kn: n n! 5 = . ( ) k k! (nk) ! n Il donne le développement de (a+b) , avecn: n n n n n k nk nk k (a+b) =a b=a b. Σ( )Σ( ) k k k= 0k= 0
Propriété 3 Soientketndeux entiers naturels tels que 0kn. Alors : n n n n n n = = 1 ; = =n; = ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n1n 1k nk n n 1n 1 = +sikn 1. ( ) ( ) ( ) k k k 1
Cette dernière propriété permet de construire le triangle de Pascal. Il donne les valeurs des coefficients binomiaux, pour les 6 premiers entiers naturels .
C. Polynôme C.1.Équation de degré 2 Soita,b,c,xdes réels avecanon nul. 2 Pour résoudre P(x) =a x+b x+c= 0, on calcule : 2 Δ=b 4a c.  SiΔ0, léquation na pas de racine réelle. P(x) ne se factorise pas danset est toujours du signe dea.
7.Il est parfois utile de connaître les identités particulières : b S =x+x= 1 2 a c et P =x x= . 1 2 a
8.Cf.méthode n°1.
 SiΔ= 0, léquation admet une racine double : b 2 2 x0=  eta x+b x+c=a(xx0) . 2a b P(x) est du signe deapour toutx.différent de 2a  SiΔ0, léquation admet deux racines réelles distinctes : bΔb+Δ x= ;x= 1 2 2a2a 2 a x+b x+c=a(xx1) (xx2). Supposonsx1x2: six];x1[]x2; +[, P(x) est du 7 signe dea, et six]x1;x2[, P(x) est du signe de (a) .
C.2.Factorisation dun polynôme
Définition 1 Soit P un polynôme etaun réel. On dit queaest une racine de P siP(a) = 0.
Théorème 1 Soit P un polynôme de degrén2 etaun réel. Alorsaest racine de P si, et seulement si, il existe un polynôme Q de 8 degrén 1 tel queP(x) = (xa) Q(x).
Remarque : Un polynôme de degrénadmet au plusnracines (éventuelle ment confondues).
D. Résolution de systèmes D.1.Utilisation dune équation de second degré Soit S et P des réels donnés. On considère le système suivant : x+y= S (*) { x y= P alors (x,y) est solution de (*) si, et seulement si,x ety sont racines de : 2 X SX+ P = 0.
D.2.Système linéaire de deux équations à deux inconnues Soita,b,c,a',b',c' des réels. On considère le système suivant : a x+b y=c (S) { a'x+b'y=c' Pour résoudre le système (S), dinconnuesxety, on calcule le déterminant du système : a b D = =a b' a'b. | | a' b'
Cours
7
8
9.Il y a une infinité de solutions si, et seulement si, les coefficientsa,b,c,a',b',b' sont proportionnels.
Chapitre 1 : Calcul algébrique
 Si D0, (S) admet un couple unique solution. On détermine alors (x,y) par substitution ou combinaison linéaire.  Si D = 0, (S) admet soit une infinité de solutions, soit aucune 9 solution . Exemple : Soitmun réel. On veut résoudre le système : (m 2)x+y= 1 { x+ 2y= 3 On calcule le déterminant du système : m 2 1 D = = 2 (m 2)  1 = 2m 5. | | 1 2 5  1 3m 7 Simalors (x,y, est ) = lunique solution. ( ) 2 2m 5 2m 5 1 5 x+y= 1 Sim= , le système devient : 2 2{ x+ 2y= 3 et on constate que ce système na pas de solution.
D.3.Systèmes linéaires dordre supérieur Système triangulaire Soienta1,b1,c1,d1,b2,c2,d2,c3etd3des réels. On considère le système dordre 3 : a1x+b1y +c1z=d1L1 b2y +c2z=d2L2 { c3z=d3L3 On note L1, L2, L3les trois lignes du système. Sia10,b20 etc30, le système admet un unique triplet solution. L3permet de calculerz, puis L2de calculeryet enfin L1de calculerx.  Transformation dun système déquations
Définition 3
Soient deux réelsα0 etβ. On appelleopération élémen taireentre les lignes Lktoute opération qui transforme Lien αLiou enαLi+βLj(ji). On écrit : LiαLi+βLj.
Théorème 2 Toute opération élémentaire transforme un système en un systèmeéquivalent.
Une succession dopérations élémentaires permet de transfor mer le système proposé en un système triangulaire, quil est alors simple de résoudre.