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ALGÈBRE Tome 1
GROUPES, CORPS ET THÉORIE DE GALOIS
Daniel Guin – Thomas Hausberger
Collection dirigée par Daniel Guin
17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France
À propos de la couverture : 4 Le groupe de Galois de l’équationx2 = 0est le groupe de GaloisG=Gal(K/Q)du √ √ 4 4 4 4 corpsK=Q(i,2)engendré surQpar les racines complexes±2,±i2du polynômex2. √ √ 4 4 Il existe un élémentσdeGdéfini parσ(i) =ietσ=( 2) i2et un élémentτdéfini par √ √ 4 4 τ(i) =ietτ= 2( 2) . Ces deux éléments engendrantG, on voit que le groupe de Galois est isomorphe au groupe diédralD4des isométries du carré. Les souscorps deKcorrespondent aux sousgroupes deGpar la correspondance de Galois : par exemple, àH=σcorrespond le souscorpsQ(i)des invariants deKsous l’action deH. On peut représenter les inclusions entre les groupes et les extensions de corps par les diagrammes cidessous, où chaque flèche représente une inclusion. 4 K=Q(i,2)                        √ √ √ √ 4 4 4 4 Q(i2)Q( 2)Q(i,2)Q((1 +i) 2)Q((1i) 2)                                     √ √ Q( 2)Q(i)Q(i2)                       Q
D4=σ, τ                  2 2 τσ ,  σ ≃Z/4Zσ , στ                                  2 2 3 σ τ τ σ στ σ τ                                 {e}
Cette correspondance renverse le sens des inclusions, donc celui des flèches. On peut se représenter les deux diagrammes comme deux arbres qui seraient reflet l’un de l’autre, dans 4 l’esprit de la gravure « les 3 mondes » d’Escher. L’équationx2 = 0est le trait d’union entre le monde des groupes et celui des corps. Peutêtre le troisième monde estil celui de l’esprit du mathématicien dont l’inspiration et la raison ont fait naître les concepts, en se heurtant aux contingences de l’univers mathématique ? Le groupe de Galois est le groupe des relations rationnelles entre les racines, par rapport au corps de baseQ. Il est trivial lorsque toutes les racines sont différenciées sur la base. Faire une extension, par exemple adjoindre le nombre imaginairei, permet de regrouper les racines en catégories, selon qu’elles sont invariantes sousσou pas. C’est l’idée qui a guidé Galois lors de l’élaboration de son traité sur la résolution des équations : briser progressivement les symétries entre les racines. Ces travaux ont permis de faire émerger les structures contemporaines de groupe et de corps.
Algèbre T1
En général, les formules donnant les racines ne sont pas connues. La connaissance du groupe de Galois nous renseigne sur leur expression. Lorsque le groupe est résoluble, c’estàdire lorsqu’il existe une suiteGG1. . .Gn={e}formée de sousgroupes normaux emboîtés tels que les quotients successifs soient abéliens, alors les solutions sont exprimables par radicaux. C’est le cas sur notre exemple :D4Z/4Z{e}. (1) Le dessin de la couverture a été réalisé par Jos Leys , ingénieur passionné d’imagerie ma thématique, reconnu internationalement dans le monde de l’édition scientifique pour la qualité de ses illustrations, en relation directe avec le « substrat » mathématique. Les auteurs le remercient chaleureusement.
(1) http://www.josleys.com
iii
Imprimé en France
ISBN: 978-2-86883-974-9 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
c2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A
Avantpropos
Avertissement
Première partie – GROUPES
I
II
TABLE DES MATIÈRES
Généralités sur les groupes I.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Définitions — exemples I.2Sous-groupes — morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . A -Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B -. . . . . . . . . . . . . . . .Sous-groupes engendrés C -. . . . . . . . . . .Ordre d’un groupe, d’un élément D -Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thèmes de réflexion TR.I.A.Étude du groupe symétriqueSn. . . . . . . . . . . . . . TR.I.B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groupes cycliques TR.I.C.Détermination des groupes d’ordren, pour1n9. .
xiii
xvii
1
3 3 8 8 11 13 13 19
25 25 27 30
Travaux pratiques33 TPI.. . . . . . . 33Étude de quelques groupes de permutations .
Groupes quotients II.1. . . . . . . . . . . . . . .Classes modulo un sous-groupe II.2Compatibilité avec la structure . . . . . . . . . . . . . . . II.3Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37 37 41 42
Algèbre T1
vi
III
IV
II.4 II.5 II.6
Caractérisation des sous-groupes normaux . . . . . . . . . Sous-groupes normaux et morphismes . . . . . . . . . . . Sous-groupes d’un groupe quotient . . . . . . . . . . . . .
Thèmes de réflexion TR.II.A.. . . . . . . . . . .Sous-groupes dérivés et abélianisation TR.II.B.Étude des sous-groupes normaux deSn. . . . . . . . . . TR.II.C.Étude des automorphismes deSn. . . . . . . . . . . . . .
Travaux pratiques TP.II.Classes, structure quotient et systèmes générateurs forts
Présentation d’un groupe par générateurs et relations III.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groupes libres III.2Générateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thèmes de réflexion TR.III.A.Présentation du groupe quaternioniqueH. . . . . . . . . TR.III.B.Groupes de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . TR.III.C.Quelques propriétés des groupes libres . . . . . . . . . . . TR.III.D.. . . . . . . . . . . . . . . . . .Produit libre de groupes .
Groupes opérant sur un ensemble IV.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Définitions – Exemples IV.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Stabilisateurs – Orbites IV.3Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A -Groupes opérant sur un groupe . . . . . . . . . . . . B -. . . . . . . . .Produit semi-direct de sous-groupes C -. . . . . . . . . . . .Produit semi-direct de groupes IV.4. . . . . . . . . . . . . . .Opérations transitives, fidèles . IV.5Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thèmes de réflexion TR.IV.A.Groupes diédrauxDn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TR.IV.B.Groupe des isométries du cube . . . . . . . . . . . . . . . TR.IV.C.. . . . . . . . . . . . .Produits et extensions de groupes TR.IV.D.Groupes libres de rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Travaux pratiques TP.IV.A.Générateurs et relations, autour de l’algorithme de Todd-Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 47 48
53 53 54 57
59 59
65 65 72
75 75 75 76 77
81 81 84 87 87 87 88 90 91
93 93 94 94 96
99
99
V
VI
VII
TP.IV.B
Table des matières
Actionsk-transitives, formule de Burnside et énumérations de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Les théorèmes de Sylow117 V.1. . . . . . . . . . . . . . . 117Le premier théorème de Sylow V.2. . . . . . . . . . . . . . . . 119Le second théorème de Sylow V.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Applications .
Thèmes de réflexion125 TR.V.A.Int(S6)=Aut(S6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 TR.V.B.Détermination des groupes d’ordren,n15. . . . . . . 126 TR.V.C.Détermination des groupes d’ordrepq. . . . . . . . . . . 127
Groupes abéliens129 VI.1. . . . . . . . . . . . 129Somme directe de groupes abéliens . A -Somme directe de sous-groupes d’un groupe abélien . 129 B -Somme directe de groupes abéliens . . . . . . . . . . 131 C -Facteur direct d’un groupe abélien . . . . . . . . . . 132 VI.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Groupes abéliens libres A -Définition - Propriété universelle . . . . . . . . . . . 133 B -. . . . . . . . . . . . 137Rang d’un groupe abélien libre C -. . . . . . . . 140Sous-groupes d’un groupe abélien libre VI.3. . . . . . . . . . . . . . . . 142Groupes abéliens de torsion . VI.4. . . . . . . . 145Structure des groupes abéliens de type fini
Thèmes de réflexion155 TR.VI.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Rang d’un groupe libre TR.VI.B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Groupes divisibles TR.VI.C.. . . . . . . . . . . . . . . . 158Calcul des facteurs invariants
Travaux pratiques161 TP.VI.A.. 161Algorithmes de Gauss-Jordan, de Hermite et de Smith . TP.VI.B.. . . . . . . . . 166Courbes elliptiques et groupe de Mordell
Groupes résolubles177 VII.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Suites de composition VII.2Suites de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 VII.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Groupes résolubles VII.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Applications .
vii
Algèbre T1
viii
Deuxième partie – THÉORIE DES CORPS
185
VIII Anneaux de polynômes187 VIII.1Définitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 VIII.2Idéaux – Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 VIII.3. . . . . . . . . . . . 194Idéaux maximaux, idéaux premiers . VIII.4Produit d’anneaux - Théorème chinois . . . . . . . . . . . 196 VIII.5Corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . 198 VIII.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Anneaux de polynômes VIII.7Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 VIII.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Divisibilité . VIII.9Irréductibilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 212 VIII.10Racines – Ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . 217 VIII.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Polynômes symétriques
IX
X
Thèmes de réflexion225 TR.VIII.A.. . . . . . . . . . . . 225Critère d’irrédutibilité par extension TR.VIII.B.. . . . . . . . . . . 226Critère d’irréductibilité par réduction TR.VIII.C.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Résultant - Discriminant TR.VIII.D.Algèbres - Algèbres de polynômes . . . . . . . . . . . . . 228
Travaux pratiques231 TP.VIII.Entiers de Gauss et sommes de deux carrés . . . . . . . . 231
Généralités sur les extensions de corps237 IX.1. . . . . . . 237Corps premiers – Caractéristique d’un corps IX.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Extensions .
Thèmes de réflexion243 TR.IX.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Corps finis TR.IX.B.. . . 244Corps des quaternions et théorème des quatre carrés
Travaux pratiques TP.IX.A.Factorisation des polynômes TP.IX.B.Les quaternions de Hamilton
249 . . . . . . . . . . . . . . . . 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Kmorphismes et groupe de Galois d’une extension263 X.1K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263-morphismes . X.2Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
XI
XII
X.3 X.4
Table des matières
Degré d’une extension et ordre du groupe de Galois . . . 266 Corps intermédiaires et sous-groupes du groupe de Galois 268
Extensions algébriques – extensions transcendantes271 XI.1Extensions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 XI.2. . . . . . . . . . . . . . . . . 276Extensions transcendantes XI.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Appendice .
Thèmes de réflexion285 TR.XI.A.Constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . 285 TR.XI.B.Théorème de Lüroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Travaux pratiques TP.XI.Nombres algébriques et polynôme minimal
289 . . . . . . . . 289
Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques299 XII.1Corps de rupture et corps de décomposition d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 XII.2Clôtures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Thèmes de réflexion TR.XII.Plongements dans une clôture algébrique
Travaux pratiques TP.XII.Calculs dans les corps de nombres
311 . . . . . . . . . 311
315 . . . . . . . . . . . . . 315
XIII Extensions normales, séparables321 XIII.1. . . . . . . . . . . . . 321Extensions et éléments conjugués . XIII.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Extensions normales XIII.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Extensions séparables XIII.4Éléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 XIII.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Norme et trace
Thèmes de réflexion337 TR.XIII.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Corps parfaits TR.XIII.B.Extensions inséparables et radicielles . . . . . . . . . . . . 337 TR.XIII.C.Dérivations et extensions séparables . . . . . . . . . . . . 339
ix