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COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques
Gérard Biau, Jérôme Droniou et Marc Herzlich
L1L3 Mathématiques et statistique pour les sciences de la nature Modéliser, comprendre et appliquer
MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUE POUR LES SCIENCES DE LA NATURE Modéliser, comprendre et appliquer
Gérard Biau, Jérôme Droniou et Marc Herzlich
Collection dirigée par Daniel Guin
17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France
Illustration de couverture: Antoine Fournier (antoine@chimachima.net)
Imprimé en France
ISBN: 978-2-7598-0481-8 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
c2010, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A
AvantPropos
I
1
Bases
TABLE DES MATIÈRES
Fonctions d’une variable 1.1. . .Problème : évolution d’un pathogène 1.2Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1Fonctions . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2Représentations graphiques . . . . 1.2.3Variations . . . . . . . . . . . . . . 1.3Quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . 1.3.1. . . . . . .Fonctions puissances . 1.3.2Logarithme . . . . . . . . . . . . . 1.3.3Exponentielle . . . . . . . . . . . . 1.4Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. . . . . . . . . .Notion de limite 1.4.2. . . .Règles de calcul de limites 1.5Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . 1.5.1Définition et propriétés . . . . . . 1.5.2Valeurs intermédiaires . . . . . . . 1.5.3. . . . . . . . . . . . .Extrema . 1.5.4. . . . . . . .Bijection réciproque 1.6. . . . . . . . . . . . . . . . .Dérivabilité . 1.6.1. . .Définition et règles de calcul 1.6.2Dérivée et sens de variation . . . . 1.6.3. . . . . . . .Dérivée et extrema .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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xi
1
3 3 4 4 6 6 8 9 9 11 14 14 16 19 19 20 21 23 25 25 27 28
Mathématiques et statistique pour les sciences de la nature
iv
2
3
1.7 1.8
1.9
1.10
Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . Évolution d’un pathogène : une solution . 1.8.1.? . Vous avez dit modélisation 1.8.2Premier exemple :βsurlinéaire 1.8.3Second exemple :βsouslinéaire Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1Notations usuelles . . . . . . . . 1.9.2. . .Manipulations d’inégalités 1.9.3Intégrales et primitives . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions de plusieurs variables 2.1Problème : étude thermodynamique d’un gaz . . . . . . . . . 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Définitions générales . 2.2.1Préliminaire : l’espace àndimensions . . . . . . . . 2.2.2Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . 2.2.3Représentations graphiques, surfacesgraphe . . . . 2.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . .Fonctions partielles 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Dérivées partielles 2.3.1Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2Variations et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3Notation différentielle et formes différentielles . . . . 2.3.4Dérivée directionnelle et fonctions composées . . . . 2.3.5. . . . . . . . . . . . . .Dérivées d’ordre supérieur . 2.4Intégration le long d’un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. . . . . . . . . .Intégrale d’une forme différentielle 2.4.2Formule fondamentale du calcul différentiel . . . . . 2.5Formes exactes et fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. . . . . . .Étude thermodynamique d’un gaz : une solution 2.7Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilités 3.1. . . . . . . .Problème : évaluation d’un risque de trisomie 21 3.2. . . . . . . . . . . . .Modélisation des phénomènes aléatoires 3.2.1. . . . . . . . . . . . . . . .L’univers (des possibles) . 3.2.2Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5Probabilités conditionnelles, indépendance d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 34 34 36 38 39 39 40 41 43
49 49 50 50 52 54 55 57 57 59 62 64 66 67 68 70 72 74 75
79 79 80 80 81 82 85
87
4
3.3 3.4
3.5
3.6
3.7
Table des matières
3.2.6Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.7Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Évaluation d’un risque de trisomie 21 : une solution . . . . . . 93 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.1Variables discrètes 97. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Variables continues Caractéristiques des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 103 3.5.1Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Espérance . 3.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Variance . 3.5.4. . . . . . . . 111Indépendance entre variables aléatoires Quelques exemples de lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Loi de Bernoulli 3.6.2Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.6.3Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Loi exponentielle . 3.6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Loi normale 3.6.6. . . . . . . . . . . . . 118Trois lois utiles en statistique . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Des probabilités aux statistiques127 4.1. . . . . . . . . . . . . . . 127Problème : obésité chez les enfants . 4.2L’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2.1Individus et population . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130L’échantillon aléatoire 4.3Moyenne et variance empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Moyenne empirique 4.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Variance empirique 4.4Distributions théorique et empirique . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Définition . 4.5.2Quantiles et quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . 144 4.6Obésité chez les enfants : une solution . . . . . . . . . . . . . 149 4.7. . 152Annexe : loi des grands nombres et théorème central limite 4.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . 152Loi des grands nombres 4.7.2Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.8Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
v
Mathématiques et statistique pour les sciences de la nature
vi
II
5
6
Statistique
161
Estimation ponctuelle et par intervalle163 5.1. . . . . . . . 163Problème : estimation d’un taux de germination 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Estimation ponctuelle 5.2.1Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.2.2. . . . . . . . . . . . 165Moyenne et variance empiriques 5.3Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3.1Définition et principe de construction . . . . . . . . . 169 5.3.2Estimation par intervalle de la moyenne à variance connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3.3Estimation par intervalle de la moyenne à variance inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.3.4Estimation par intervalle de la variance : le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4. . . . . . 181Estimation d’un taux de germination : une solution 5.4.1. . . . . . . . . . . . . . 181Estimation d’une proportion 5.4.2Application au problème du pépiniériste . . . . . . . . 184 5.5Estimation de la différence de deux moyennes . . . . . . . . . 184 5.5.1. . . . . . . . . . . . . . . 185Échantillons indépendants . 5.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Échantillons appariés 5.6192Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tests d’hypothèses197 6.1Problème : croisement génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.2. . . . . . . . . . . 199Notions générales sur les tests statistiques . 6.3. . . . . . . . 203Test de la moyenne dans un échantillon gaussien 6.4Étude de la puissance d’un test de moyenne . . . . . . . . . . 213 6.5. . . . . . . . . . . . . . . 216Croisement génétique : une solution 6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . 218Comparaison de deux moyennes 6.6.1Échantillons indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.6.2Échantillons appariés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 2 6.7Tests duχ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 2 6.7.1Test duχ. . . . . . . . . . . . . . . 226d’ajustement . 2 6.7.2Test duχ. . . . . . . . . . . . . . 230d’indépendance . 2 6.7.3Test duχd’homogénéité . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.8Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7
III
8
Table des matières
Régression243 7.1Problème : taux de croissance d’une population . . . . . . . . 243 7.2Régression linéaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.2.1Le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Ajustement . . 7.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Généralisations . 7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 254Qualité de l’ajustement linéaire 7.3.1Coefficient de détermination . . . . . . . . . . . . . . 254 7.3.2Corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.3.3. . . . . . . . . . . . . . . . 259Corrélation et covariance 7.4. . . . . . . . . . . . 2 61Intervalles de confiance, tests et prévision 7.4.1Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 7.4.2Tests de signification des coefficients de régression . . 265 7.4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Prévision . 7.5. . . . . . 269Taux de croissance d’une population : une solution . 7.6. . . . . . . . . . . . . . . . 275Analyse de variance à un facteur . 7.6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Données et modèle . 7.6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Test de Fisher 7.6.3Estimation des effets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.6.4Comparaisons multiples de moyennes . . . . . . . . . 285 7.6.5. . . . . . . . . . . . . 287Quelques remarques terminales 7.7Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Systèmes dynamiques
291
Équations différentielles293 8.1. . . . 293Problème : modélisation d’une population de parasites . 8.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Motivation . 8.1.2Bilans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.1.3. . . . . . . 297Qu’estce qu’une équation différentielle ? . 8.28Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2.1. . . . . . 298Forme des équations différentielles linéaires 8.2.2Résolution des équations différentielles linéaires . . . . 299 8.2.3Comment trouver une solution particulière ? . . . . . 301 8.3Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 8.3.1Forme des équations différentielles à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.3.2. . . . . 304Résolution des équations à variables séparées 8.4. . . . . . . . . . . . . . . . . 307Un mot sur la condition initiale
vii
Mathématiques et statistique pour les sciences de la nature
viii
9
10
8.5
8.6
8.7
Commentaire sur la résolution des équations différentielles en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Modélisation d’une population de parasites : une solution . . . 309 8.6.1Les œufs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.6.2Les larves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Calcul matriciel et applications Problème : croissance d’une population . . . . . . . . . . . . . Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2. . . . . . . . . . . . . . .Multiplication de matrices Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. . . . . . . . . . .Deux équations et deux inconnues 9.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cas général 9.3.3Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2. . . . . . . . . . . . . . . . .Changement de repère . 9.4.3Changements de repère et applications linéaires . . . Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . 9.5.2. . . . . . . . . . . . . .Diagonalisation en pratique . Croissance d’une population : une solution . . . . . . . . . . . Annexe : la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8
317 317 319 321 322 325 325 328 329 331 331 332 336 337 338 340 344 348 357
Équations différentielles couplées et systèmes dynamiques361 10.1. 361Problème : concentration d’un composé injecté dans le sang . 10.1.1? . . . 361Phénomène à temps discret ou à temps continu 10.1.2Systèmes couplés d’équations différentielles . . . . . . 362 10.2Systèmes d’équations différentielles linéaires du premier ordre 363 10.2.1Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . 366 10.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Résolution pratique 10.3Concentration d’un composé injecté dans le sang : une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.4Sur l’allure des solutions lorsquen= 2. . . . . . . . . . . . . 378 10.4.1Informations qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . 380 10.4.2Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . 380
IV
11
12
13
10.5
10.6
Table des matières
Quelques exemples de dynamiques non linéaires en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 10.5.1. . . . . . . . . . . . 384Problème : proies et prédateurs . 10.5.2Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 10.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Portraits de phase 10.5.4. . . . . . . . . 390Courbes isoclines et points d’équilibre 10.5.5Proies et prédateurs : une solution . . . . . . . . . . 394 10.5.6Stabilité des équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Solutions des exercices
407
Solutions de la partie I : Bases409 11.1Solutions des exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . 409 11.2. . . . . . . . . . . . . . 419Solutions des exercices du chapitre 2 . 11.3. . . . . . . . . . . . . . 422Solutions des exercices du chapitre 3 . 11.4Solutions des exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . 432
Solutions de la partie II : Statistique445 12.1Solutions des exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . 445 12.2. . . . . . . . . . . . . . 457Solutions des exercices du chapitre 6 . 12.3Solutions des exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . 479
Solutions de la partie III : Systèmes dynamiques491 13.1. . . . . . . . . . . . . . 491Solutions des exercices du chapitre 8 . 13.2. . . . . . . . . . . . . . 499Solutions des exercices du chapitre 9 . 13.3Solutions des exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . 510
Bibliographie
Index
525
527
ix