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9782091726724
Correction
@FTDEVOIRS
CorrectionChapitre
Fonction exponentielle1
4 a) Pour tout x > 0,1. Page d’ouverture 1
f¢()xx¥2 ¥ ()21x -•Énigme ✱ 2 x
21x -Pour tout nombre entier n, P est la puissance d’un disque n f¢()xx2
dur en janvier de l’année de rang n sachant qu’en 2011 2 x
P = 4 To. 4x 21x -0
2 f¢()x
n 2 x 2 x3On a PP= 2 .n 0
61x -Pour 2014, n = 3 P = 4 P = 16 To3 0 f¢()x
8 2 xPour 2023, le rang est 12 P = 2 × P = 256 × 4 To12 0
P = 1 024 To -31()xx-¥11 ()- 312 b) g¢()x
2()x 1
Énigme ✱✱ --33-13
g¢()x
2100 ()x 1Remboursement sur 1 an : 1 2 E
100 - 4
g¢()x 2
2Ê ˆ50 ()x 1
Remboursement tous les 6 mois : 1 2,25 EÁ ˜ 2 1Ë 100¯ c) h¢()x - 
2()x -1 2
Remboursement tous les n-ième de l’année :
2()x --14n h¢()x Ê 100ˆ
2n 21()x -Á ˜ Ê 1ˆn1 1 . ()xx--12 ()-12Á ˜ Á ˜Ë ¯ h¢()x 100 Ë n¯ n 2Ê 1ˆ 21x -
u est la suite définie sur * par u 1 .n Á ˜ ()xx-31()Ë n¯ h¢()x
221()x -On saisit u dans la calculatrice afin d’obtenir un tableau
de valeurs de la suite.
Sur un écran calculatrice, il semble que la banque ne 5 f est dérivable sur , et
puisse pas récupérer en un an, 3 E. f¢()xx-10 3
f ¢()21 7
f()21= 62. Vérifier les acquis
T : yx ff¢()22()- ()2
1 Réponse a : f est dérivable en 1 et le nombre dérivé T : -17 18
de f en 1 est – 1.
6 a) f est une fonction dérivable sur I.
2 f¢()1 est égal au coefficient directeur de la tan- Si la dérivée est positive sur I, alors la fonction f est
2 croissante sur I.gente T. f ¢()1
3 Si la dérivée est négative sur I, alors la fonction f est
décroissante sur I.
3 1. a) xxa 2
Si la dérivée est nulle pour toutes valeurs de I alors la
1
b) xa- (avec x ≠ 0) fonction f est constante sur I.2x
b) g est dérivable sur .
2xxa 3 2c) g¢()xx-66x
1 g¢()61()xd) xa (avec x > 0)
2 x
x 0 1– ∞ + ∞
22. a) f¢()xx-65
g¢ + – +0 0
1
b) g¢()x 1 12 gx 0
3
c) h¢()x pour x > 0
2 x
5
Correction
© Nathan. Hyperbole Term S
@FTDEVOIRS13. Activités d’approche g(0) = 3 f(0) = 3 ¥ = 1
3
g(0) = 1•Activité 1
uruu ur g est donc dérivable sur  telle que g¢ = g et g(0) = 1
1 a) NON Pour a = 1, MH= i uruu ur Pour tout x ∈, g(x) = exp(x)
Pour a = 2, MH=1,5 i 1 1uruu ur donc fg()xx== () exp(x)3b) f(x) = (x + 1) : NON Pour a = 0,5, MH= 0,5 i 3 3
1
f()x NON
2 5 a) f est dérivable sur x 1 ur
f()xxexp( )exp(– x)Pour a = – 1, MH= i ur
f¢()-exp( )(exp - x)Pour a = – 0,5, MH=12, 5 i
De même, g est dérivable sur .2 a) Pour tout réel a, tel que f¢(a) ≠ 0
g’(x)exp(xx)(exp - )M = T ∩ (Ox) ⇔ M(x ; O)a M
f()xxexp( )(exp - x)b) T a pour équation y = f¢(a) (x – a) + f(a)a 21 exp(x) 1f¢(a) (x – a) + f(a) = 0M f()exp( )
fa() exp(x) exp()x
x – a = – f¢(a) ≠ 0n 2fa¢() Èexp(x)˘ - 1 (exp()xx-11)(exp() ))Î ˚fa() g()x
x = a – exp(x) exp()xn
fa¢()
22uruu ur fg()xx- ()
2 2b) (1) : MH€i xx– 1HM Èexp(xx)exp()- ˘ --Èexp(xx)exp()- ˘Î ˚ Î ˚fa() 22€aa– 10avecfa¢() exp()e-2 xp()exp()e-xp() fa¢()uruu ur - exp(xx24xp()exp( xx)e--xp() MHH€if()af ¢()a
uruuc) On saisit le point de coordonnées (a ; x )
MH 6 A = exp(2x – 1) ¥ exp(3 – 2x) = exp(2x – 1 + 3 – 2x)
P décrit la droite d’équation y = 1
= exp(2)
63xx()-63•Activité 2 9 a) ee
-2xb) 1 ea) m(x) = u(x) ¥ v(x)
42xx--12x-1c) ee avec u(x) = exp(x) et v(x) = exp(– x) = u(– x) dérivables sur
 (activité 1 et cadre info).
x 5 –2x 5x –2x 5x – 2x 3x10 a) (e ) ¥ e = e ¥ e = e = e
Pour tout réel x, u¢(x) = u(x) = exp(x) et 23x+e 2x+3 – (2x–1) 2x+3 – 2x+1 4v¢(x) = – u¢(x) = – u(– x) = – exp(– x) b) = e = e = e
21x–e
m¢(x) = u¢(x) v(x) + u(x) v¢(x) xx –ee+ x –x x x x –x x x+x –x+xc) = (e + e ) ¥ e = e ¥ e + e ¥ e = e + e = exp(x) exp(– x) + exp(x) [– exp(– x)] –xe
m¢(x) = 0 2x 0 2x= e + e = e + 1
b) Pour tout réel x, m(x) = k constante réelle libre et
2xe –1m(0) = exp(0) ¥ exp(0) = 1 = k, d’où k = 1 –2x 2x1– e ex xPour tout réel x, m(x) = 1. 11 e ¥ ¥e
–x xe 11 e
c) x, xe
exp(x) exp(– x) = 1 ≠ 0 ⇔ exp(x) ≠ 0 2x x 2xe –1 e e –1x¥e ¥
2x x xe e 1 e 1
4. Pour s’exercer x -x -xe - 1 e 1- e
12 a) ¥
x -x -xe 1 e 1 e3 a) f est dérivable sur  donc g l’est aussi et
2x x1 1 e e - 1--xx 2gf¢()xx ¢() fg()xx () b) ee -¥
22x x2 2 e e
1 1
gf()0 ()0 ¥21
2x2 2 e –1
13 Pour tout réel x, f()2x g()xx= exp() 2xb) D’après le a), e 1
x xfg()xx==22() exp()xc) e –1 e –1
2 2
x x2f()x e 1 ee 1
2 2 x 24 On pose g la fonction définie sur  par g(x) = 3 f(x) (–e 1)1 [(f x)] xÊ ˆe –1 1g est dérivable sur  et pour tout x ∈ : 1 x 2Á ˜ ()e 1xe 1Ë ¯g¢(x) = 3 f¢(x) = 3 f(x) = g(x)
6
Correction
@FTDEVOIRS
© Nathan. Hyperbole Term Sx –xxx x 2 21 f(x) = e + e est dérivable comme une somme de 21(–ee )(¥1) 21[(e )– ]
22 deux fonctions dérivables sur .2x xxx 2 x()11(– ) ee 2 12ee– 1
x –xPour tout réel x, f¢(x) = e – e .2xe -1
f()2x f¢(0) = 1 – 1 = 0 et f(0) = 1 + 1.2xe 1
Une équation de la tangente à la courbe de f est y = 2.
xx22 x()ee –(21 e –)1
xx –14 ee– 2  0
x xe e 24 Pour tout réel x :
-54xa) f¢()x - 5e15
43x-b) g¢()x 4e
2-3xc) h¢()xx- 6 e
2xx-3d) k¢()-()23 e
25 a) x est un nombre réel, f ()x et g()x sont strictement 18 a) Pour tout réel x,
-x positivesf¢()x - e  0. Donc f est une fonction décroissante
f ()x xsur .  1 équivaut à e  1 soit x  0
X g()xb) • lim -x et lim e
xÆ- XÆ  est en dessous de  sur ]– ∞ ; 0 [ et au-dessus sur
f g-xDonc lim e ]0 ; + ∞[
xÆ-
X b) x est un nombre réel, f ()x et h()x sont strictement • lim -x -et lim e0
xÆ XÆ- positives
-xDonc lim e 0 f ()x 2xx-2xÆ  1 équivaut à e  1, xx()- 2  0
h()xc)
 est en dessous de  sur ]0 ; 2[ et au-dessus sur ]– ∞ ; 0[ x – ∞ + ∞ f g
et sur ]2 ; + ∞[.+ ∞f(x) 0
d)
5. Accompagnement personnalisé
26 1.
6
5
x4 y e
Les courbes de la fonction exponentielle et de g sont 3
symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
2
19 a)
1
O– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3
– 1
b) La courbe de g admet pour axe de symétrie l’axe des
xordonnées. 2. a) x  1 Æ e  e
–x x xc) Pour tout réel x, g(– x) = e + e = g(x) b) x  1 Æ e  e
xc) Pour tout nombre réel x  0, e  1.
20 1. f est dérivable sur  x xd) e – 1  0 ⇔ e  1 ⇔ x  0.
-xf¢()x - e
a) T¢ :(yx ff¢ )(x -00)( )0
27 a)  est au-dessus de T sur .f 0T¢ : yx- 10 xb) Pour tout nombre réel x, f¢(x) = e – 1
--11b) Te¢ :(yx- -1) e x x1 e – 1  0 ⇔ e  1 ⇔ x  0¢:- 2e1 Donc f est croissante sur [0 ; + ∞[ et décroissante sur
2. T¢ et T sont perpendiculaires comme le sont T¢ et T ]– ∞ ; 0].0 0 1 1
0T : yx-1 et Te= yx donc 11¥- - 1 et f admet donc un minimum f(0) = e – 1 = 0.0 1
x-1 Pour tout réel x, f(x)  0 ⇔ e  x + 1.-¥ee -1
7
Correction
© Nathan. Hyperbole Term S
@FTDEVOIRS28 g()0 1
b) h()0 == = 1, d’où h(0) = 1
f()0 1Fonction Fonction Fonction
Propriété g()x2x –kx –kxx  e x  e x  e Pour tout réel x, h()x ==1 , d’où g(x) = f(x)
f()x0 a pour image 1 OUI OUI OUI
Ce qui prouve l’unicité de f.Fonction croissante OUI NON NON
Fonction décroissante NON OUI NON
35 1. T(0) = 55 exp (0) + 45. T(0) = 100 °C.
NON NON OUIAxe de symétrie 2. a) T est une fonction dérivable sur  car exp est une
Somme en produit OUI OUI NON
fonction dérivable sur .
1
T(t) = 55 exp(at + b) + 45 avec a = – et b = 0.
51
–a a b a+b 29 1. a) e = b) e ¥ e = e Pour tout réel t, T¢(t) = 55 a exp(at + b)ae
a Ê 1ˆ Ê 1 ˆe ab– a n anc) = e d) (e ) = e T¢(t) = 55 ¥ –exp – tÁ ˜ Á ˜b Ë 5¯ Ë 5 ¯e
x+2 2 –4x 2x+4 –4x 2x+4–4x –2x+42. (e ) ¥ e = e ¥ e = e = e Ê ˆ1
T¢(t) = – 11 exp – t est la vitesse de refroidissement.Á ˜Zoé ne connaît pas la propriétét algébrique 4 de la Ë 5 ¯
question 1.
Ê 1 ˆ
45 – T(t) = – 55 exp – tÁ ˜Ë 5 ¯
45 – T(t) = 5 T¢(t)
16. Exercices d’application T¢(t) = 45 –(T t)
5
130 a) Comme f est une fonction dérivable sur , la b)Le coefficient de proportionnalité est .
5fonction g = – 2f est dérivable sur .
3. T(5) = 55 exp(– 1) + 45, d’où T(5) = 65 °C.Pour tout réel x, g¢(x) = – 2f¢(x)
Comme f¢(x) = f(x), g¢(x) = – 2f(x) –536 1. q(0) = A exp(0) = A = 3,84 ¥ 10 .
g¢(x) = g(x), donc g¢ = g. –52. a) Coefficient directeur de T passant par A (0 ; 3,84 ¥ 10 )
Ê 1ˆ –4et B (8 ¥ 10 ; 0)b) g(0) = – 2 f(0) = – 2 ¥ – = 1.Á ˜ –5Ë 2¯ yy– 38, 41¥ 0ABg(0) = 1 et g¢ = g a = a –,0 048
–4xx– –81¥ 0Il existe une unique fonction g telle que, AB
b) q(t) est dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout t ∈ [0 ; + ∞[ :pour tout réel x, g(x) = exp(x).
1 1 A Ê- tˆc) Pour tout réel x, f(x) = – g(x), d’où f(x) = – exp(x) qt¢() - expÁ ˜2 2 tt Ë ¯
c) q¢(0) = a = – 0,0481
31 Comme h = f avec f dérivable sur , alors h est A
5 –– 00, 48 = – 0,048
tdérivable sur  tel que h¢ = h et h(0) = 1, donc pour tout –5A 38, 41¥ 0
–4t ¥810réel x, h¢(x) = exp(x). Donc f = 5 exp.
0,048 0,048
–4Constante de temps : τ = 8 ¥ 101
–432 h = – f dérivable sur  telle que : t 81¥ 0
τ = RC ⇔ R 500W4
–4C 16, ¥101 1
hf()0 –(0)– ¥(–41) et h¢ = h, Résistance ohmique : R = 500 W4 4
Ê ˆtdonc h = exp et f = – 4 exp. 3. i(t) = – 0,048 exp – . i(0) = – 0,048.Á ˜–4Ë 81¥ 0 ¯
1
33 h = f dérivable sur  telle que : 37 1. x(0) = – 4
3
2. a) Comme exp est une fonction dérivable sur , alors 1 1
hf()0 ()0 ¥31 et h¢ = h,
x(t) est une fonction dérivable sur [0 ; + ∞[.3 3
Pour tout réel t ∈ [0 ; + ∞[ :donc h = exp et f = 3 exp.
x¢(t) = u¢(t) v(t) + u(t) v¢(t)
g x¢(t) = 0,4 exp(ct) + (0,4 t – 4) ¥ c ¥ exp(ct)34 a) h = est dérivable sur  comme le quotient de
f b) x¢(0) = 0 ⇔ 0,4 – 4 c = 0
deux fonctions dérivables sur  avec f ≠ 0 sur . 4 c = 0,4
Pour tout réel x, c = 0,1
gf¢¢()xx () –(gfxx)( ) gf()xx () –(gfxx)( ))
h¢()x 0 c) x(t) = (0,4 t – 4) exp(0,1 t)
2 2f ()x f ()x 3. x(t) = 0 ⇔ (0,4 t – 4) exp(– 0,1 t) = 0
h(x) = k avec k constante réelle libre ⇔ 0,4 t – 4 = 0 ⇔ t = 10 s.
8
Correction
@FTDEVOIRS
© Nathan. Hyperbole Term S5a+1 –a 5 5a+1 –5a 138 A = e ¥ (e ) = e ¥ e = e 1¸
S –1 Ì ˝––aa23 13 aa––23a 1 –2B ¥()ee ¥ee ¥ e = e 4Ó ˛a3e 2x x+1 2 2d) e = e ⇔ x = x + 1 ⇔ x – x – 1 = 00 3a 2–3a 3a+2–3a+1 3C = e ¥ e ¥ e ¥ e = e = e
D = 1 + 4 = 5
39 a) Pour tout réel x, 15– 15
xx etx x x 2 x x 2x x 12(e – 1)(e – 4) = (e ) – 4 e – e + 4 = e – 5 e + 4 2 2
b) Pour tout réel x, ¸15– 15
x –x 2 x –x 2 S Ì ; ˝(e + e ) – (e – e ) 2 2Ó ˛x –x x –x x –x x –x= (e + e + e – e )(e + e – e + e )
2x –x–1 2 2e) e = e ⇔ x = – x – 1 ⇔ x + x + 1 = 0x –x 0= 2e ¥ 2e = 4e = 4
D = – 3  0 Pas de solution–x 2x x –xc) Vrai, e (e – 1) = e – e
x 2 x x 2 xf) (e ) – 2e + 1 = 0 ⇔ (e – 1) = 0 ⇔ e – 1 = 0
2()x1 x xe 22 ⇔ e = 1 = e ⇔ x = 0()xx11–( –) 4x40 a) Pourt tout réel x, ee2(–x 1)e S = {0}
b) Pour tout réel x,
x2 32e –––23xx –2x 2x 0 x 1 x –x32ee ––= 3e = 46 a) e  1 = e b) e  e c) e  e3x 3xe e
2x  0 x  1 x  – x
2 x  0 S = ]1 ; + ∞[ 2x  0exp(21xx )– exp(–)2
41 Pour tout réel x, S = ]– ∞ ; 0] S = ]– ∞ ; 0]
exp(5x) 2–x x 2 2d) e  e ⇔ – x  x ⇔ x + x  0 ⇔ x(x + 1)  02 2
exp(21xx)– exp(–) ¥ exp(–)5x
x – ∞ – 1 0 + ∞Èexp(21)– exp(–)˘Èexp(21xx )exp(– )˘Î ˚Î ˚ 2x + x + – +0 05
¥ exp(–)x
2D’après le tableau de signes de x + x :2
xx 2¥2 x + x  0 sur ]– ∞ ; 1] ∪ [0 ; + ∞[x 2 242 1. Pour tout réel x, ee e  0
S = ]– ∞ ; 1] ∪ [0 ; + ∞[
2. a) x –3x –3xe) (e + 1)(e – 1)  0 ⇔ e – 1  0
x – ∞ 1 + ∞ x –3x 0e + 1  0 sur  ⇔ e  1 = e ⇔ – 3 x  0 ⇔ x  0
f(x) – 0 + S = ]– ∞ ; 0[
2 2
b) Ê1ˆ Ê1ˆx 2 x 2f) (e )  ⇔ (e ) –  0Á ˜ Á ˜x – ∞ 1 + ∞ Ëe¯ Ëe¯
(x – 1) – 0 + Ê 11ˆÊ ˆxx⇔ e – e  0x Á ˜Á ˜e + + Ë e¯Ë e¯
x –1 x –1f(x) – 0 + e – e  0 ⇔ e  e ⇔ x  – 1
S = ]– ∞ ; – 1]
x43 a) Pour tout nombre réel x, e + 2  0 est vrai.
1b) x, x 2x 2x47 a) e –  0 ⇔ e – 1  0 ⇔ e  1 ⇔ 2x  0 2 2 2 2 xeff(– xx)( )
–xx x x1 eee1 1 e 1 ⇔ x  0
2xe 3–x 2 6–2x 2b) e – e  0 ⇔ e  e ⇔ 6 – 2x  2 ⇔ x  2
x x x2e 2 22e 21()e
2
x x x x1 e e 1 1 e 1 e
48 a) Il semble que :c) La courbe de f admet le point (0 ; 1) comme centre
5
f(x)  0 sur ]– ∞ ; – ] ∪ [4 ; + ∞[de symétrie.
2
2 5xxe 2 f(x)  0 sur [– ; 4]x44 a) e . Faux. 2xe 2 2x xx––12 xx––12x1 x1 b) f(x) = e e –1  0 ⇔ e –1  0e e 1
2b) . Faux. xx––12 0 22x 1 xx1 ––xx x ⇔ e  1 = e ⇔ x – x – 12  0ee – ee (– ee)– e
xe  0 sur 
–2x45 a) e = 0 Pas de solution – 3 4x – ∞ + ∞
x+1 xb) e = 1 = e ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = – 1 S = {– 1} 2x – x – 12 + – +0 01–3x x+1c) e = e ⇔ – 3x = x + 1 ⇔ 4x = – 1 ⇔ x = –
4 D = 1 + 48 = 49
9
Correction
© Nathan. Hyperbole Term S
@FTDEVOIRS17– 17 u()x x xxx –e3 t 4 54 f ()x = avec u(x) = e et v(x) = e – x dérivables 122 2 v()x
xD’après le tableau de signes : sur  et v(x) ≠ 0 sur . (e  x sur )
f est donc dérivable sur  et pour tout réel x :f(x)  0 sur ]– ∞ ; – 3] ∪ [4 ; + ∞[
xx xxee (– x)– ee (–1)f(x)  0 sur [– 3 ; 4] f ¢()x
x 2(–e x)
xe (– x 1)49 a) Pour tout nombre entier n, f¢()x n2 x 2e (–e x)
n2 2n 32nu 22n e e en1 e –1 ¥ e
n1 22n n 1 33n –xeu e e ee 55 f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 1 – x et v(x) = 2 – e n
2n dérivables sur  :e
u f est donc dérivable sur  et pour tout réel x :n+1b) Pour tout nombre entier n,  1 –x –x f¢(x) = – 1 (2 – e ) + (1 – x)(e )un
–x –x –x f¢(x) = – 2 + e + e – x en, u  0 donc u  u .n n+1 n –x f¢(x) = e (– x + 2) – 2u est une suite décroissante.
56 a) T et T parallèles.50 a) Pour tout nombre entier naturel n : 1 2
22 22–(nn12)– ––nn––1 n b) Coefficient directeur de T : a = f¢(0)vv ––ee ee – 1nn1
2 f dérivable sur  comme le produit de deux fonctions –– 21 – –1–
2 dérivables sur .–nb) e  0 sur 
x xPour tout réel x, f¢(x) = 1 e + x e et f¢(0) = 1––21n ––21n 0 e – 1  0 ⇔ e  1 = e ⇔ – 2n – 1  0
Coefficient directeur de T : g(x) = u(x) + v(x) dérivable sur 1 2–2n–1⇔ n  – donc e – 1  0 sur  2 x avec u(x) = x et v(x) = e dérivables sur .2
xPour tout réel x, g¢(x) = 2x + e et g¢(0) = 0Pour tout nombre entier n : v – v  0 donc v est une n+1 n
Comme f¢(0) = g¢(0) alors T // Tsuite strictement croissante. 1 2
2x51 f dérivable sur  et pour tout réel x : 57 a) f(x) = u(x) + v(x) avec u(x) = e et v(x) = – 2x + 3
x xf¢(x) = 1 e + x e + 3 dérivables sur , donc f dérivable sur .
x 2xf¢(x) = e (1 + x) + 3. Pour tout réel x, f¢(x) = 2 e – 2
2x 2xb) et c) 2 e – 2  0 ⇔ e  1 ⇔ 2x  0 ⇔ x  0
2 –x52 f(x) = u(x) ¥ v(x) avec u(x) = x – 3x + 1 et v(x) = e 2x2 e – 2  0 sur ]0 ; + ∞[
dérivables sur  donc f dérivable sur  et u¢(x) = 2x – 3 2x2 e – 2  0 sur ]– ∞ ; 0[
–xet v¢(x) = – e
x – ∞ 0 + ∞Pour tout réel x, f¢(x) = u¢(x) v(x) + u(x) v¢(x)
–x 2 –x f¢(x) – 0 +f¢(x) = (2x – 3) e + (x – 3x + 1)(– e )
–x 2f¢(x) = e (2x – 3 – x + 3x – 1) f(x) 42 –xf¢(x) = (– x + 5x – 4) e .
0f(0) = e – 2 × 0 + 3 = 4u()x x –x x –x53 f ()x = avec u(x) = e – e et v(x) = e + e
v()x
58 1. Il semble que :
dérivables sur  et v(x) ≠ 0 sur  donc f est dérivable sur
a) Le premier point d’intersection I (– 0,5 ; 0) ;x –x x –x 1 avec u¢(x) = e + e = v(x) et v¢(x) = e – e = u(x)
Le deuxième point d’intersection I (1 ; – 2,5).2uv¢¢()xx () –(uvxx)( )
Pour tout réel x, f ¢()x b)  au-dessus de  sur ]– 0,5 ; 1[.2 f gv ()x
 en dessous de  sur ]– ∞ ; – 0,5[ ∪ ]1 ; + ∞[.xx ––xx xx ––xx f g()ee ()ee –(ee–)(–ee )
f ¢()x c) 2
xx –ee
x – ∞ – 2 1 + ∞
22 Èvu()xx–( )(˘Èvuxx)( )˘˘vu()xx–( ) Î ˚Î ˚f ¢()x 1
2 2 g(x)v ()x v ()x – 2,5
–xx22ee¥
2 x 2 x2 2. f(x) = g(x) ⇔ – x e = (x – x – 1) e v ()x
2 x 2 x x 24 ⇔ x e + (x – x – 1) e ⇔ e (2 x – x – 1)
f ¢()x
2 = 0 xx –ee
2 x⇔ 2 x – x – 1 = 0, d’où e  0
D = 1 + 8 = 9
10
Correction
@FTDEVOIRS
© Nathan. Hyperbole Term S13– 1 1 1 La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe de –,05x == – donc y ==––e1 1 f en + ∞.4 2 4 4 e
13 b) lim( f x) 0 et lim( f x) 1
x 1 donc y = – e xÆ– xÆ2 24 xe1 x2. a) Comme lim e0 , lim 0.I (– 0,5 ; – ) et I (1 ; – e) x1 2 xÆ– xÆ– e24e
b) Pour tout réel x,x 2 23. a) f(x) – g(x)  0 ⇔ e (– x – x + x + 1)  0 x1 1 1 e
2 ⇔ 2 x + x + 1  0 x–x x212 e e 2 e 2
2 1Le signe de – 2 x + x + 1 est donné dans le tableau ci- x xe e
dessous. 1
f(x) =
–x1 12+ ex – ∞ – 1 + ∞
–x2 c) Comme lim e0 , alors lim( f x) 1.
xÆ xÆ2– 2 x + x + 1 – 0 + 0 –
x62 1. lim e0 donc lim( f x) 01
f(x) – g(x)  0 sur ]– ; 1[ xÆ– xÆ–
2
2. a) Pour tout nombre réel x,
b) Ceci est cohérent avec le fait que  est au-dessus de xf 2 2 –2e1 – f()x .
–x x sur ]– ; 1[. 1g 1 e e 112
xe2 x4. a) g(x) = u(x) × v(x) avec u(x) = x – x – 1 et v(x) = e
–xb) lim e0 , donc lim( f x)- 2.dérivable sur , donc g dérivable sur . xÆ xÆ
x 2 xPour tout réel x, g¢(x) = (2x – 1) e + (x – x – 1) e –2
3. Pour tout nombre réel x, f()x  0, donc la
x 2 –x= e (x + x – 2) 1 e
2 courbe de f est au-dessous de l’axe des abscisses.b) g¢(x) a le même signe que x + x – 2 donné dans le
Pour tout nombre réel x,tableau ci-dessous.
–x –x––2 222 e 2e
x – ∞ – 2 1 + ∞ f()x 2 2  0
–x –x –x1 e 1 e 1 e
g¢(x) + 0 – 0 + ⇔ f(x)  – 2, donc la courbe de f est au-dessus de la
2 droite d’équation y = 2.x + x – 2 = 0
13– 13
D = 9 donc xx– ––2 et 1 x12 xe2 2 63 a) Pour tout nombre réel x, f¢()x
2()1 xc) Le signe de g¢(x) permet de dresser le tableau de
aaaeevariation de g ci-dessous. Équation de T : yx (– a)
a 2()11 a a
x – ∞ – 2 1 + ∞ b) T passe par O si, et seulement si, a–2 aa 2 aa5 e aee a eeg(x) 0 (– a) € – e 2 2()1 a 111 a ()
1 2 2g(1) = (1 – 1 – 1) e = – e. ⇔ a = 1 + a ⇔ a – a – 1 = 0.
–2 –2g(–2) = (4 + 2 – 1) e = 5 e . ¸15– 15
S Ì ; ˝.
2 2Ó ˛1x59 a) Pour tout réel x, e =
–xe u(x)64 f(x) = e1–xOr lim e , donc lim 0, d’où 2–x a) Avec u(x) = – x – 3x dérivable sur , donc f dérivable xÆ– xÆ– e
x sur .lim e0
2xÆ– u(x) ––xx 3f¢(x) = u¢(x) e = (– 2x – 3) e
b) lim( ffxx)let im () – b) Avec u(x) = 1 – 3x dérivable sur , donc g dérivable ÆÆ–
sur .
1–3x
–x –x Pour tout réel x, g¢(x) = – 3 e60 a) lim e et lim e0
3xÆ– xÆ c) Avec u(x) = x – 0,01 x dérivable sur , donc h
dérixx – xx –b) lim ee et lim ee vable sur .
xÆ– xÆ 320 xx–,01Pour tout réel x, h¢()xx (–30,)01 e–x –xc) lim( x 1e )– et lim( x 1e )
1xÆ– xÆ 4d) Avec u(x) = – xx+ dérivable sur , donc k dérivable
2
61 Il semble que : sur .
1 41. a) L’axe des abcisses d’équation y = 0 est asymptote Ê 1 ˆ – xx3 2Pour tout réel x, k¢(x) = – 4x eÁ ˜à la courbe de f en – ∞. Ë 2 ¯
11
Correction
© Nathan. Hyperbole Term S
@FTDEVOIRS1 Les deux alliages ont même température à l’instant t = 5.u(x)65 f(x) = e avec u(x) = dérivable sur ]0 ; + ∞[, donc
b) x
f dérivable sur ]0 ; + ∞[.
1
Pour tout réel x  0, u¢()x –
21 x1
xf ¢()x – e
2x
u(x) 2x+1 2x66 f(x) = avec u(x) = e et v(x) = e + 1
dériv()x
vables sur  avec v(x) ≠ 0.
2x+1 2xPour tout réel x, u¢(x) = 2 e et v(x) = 2 e
21xx22xx1221ee () ¥– ee 2
f¢()x x()e 1
41x 21xx 4122e eee – 2
Le temps de fusion pour la fonte 1 est de t = 5,77.
22x()e 1 Le temps de fusion pour la fonte 2 est de t = 6,265.
21x2e
f¢()x
22x()e 1 –2 –171 a) C(0) = 3 ¥ 10 mol.l
u(x) b) C(t) dérivable sur [0 ; + ∞[–x 2x67 f(x) = avec u(x) = 1 – e et v(x) = 1 + e
déri5v()x Pour tout réel t  0, C¢(t) = – 2,37 ¥ 10 C(t)
5 –1 –1vables sur . c) C¢(0) = – 2,37 ¥ 10 mol.l .s
–x 2xPour tout réel x, u¢(x) = e et v¢(x) = 2 e
––xx 22 xxee()11 –( –)ee ()2 72 1. a) N = N(0) nombre d’œufs à l’instant t = 0.0f¢()x –0,3t22x b) N(t) = 1 000 e()1 e
–xx 2xx N(t) dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout réel t  0ee – 2eee 2
–0,3t22x N¢(t) = – 300 e  0 sur [0 ; + ∞[()1 e
2xx –x–23ee e • N est strictement décroissante sur [0 ; + ∞[
f¢()x
22x • lim( N0t)()1 e

68 a)  au-dessus de  sur l’intervalle ]– 3 ; 2[.f g • Le nombre d’œufs décroit pour se rapprocher de 0.
 au-dessous de  sur l’intervalle ]– ∞ ; – 3[ ∪ ]2 ; + ∞[.f g c) et d) N(t)
22xx––66 ––xx xb) f(x) – g(x) = 01,–ee 01,, 01ee (–1) 1 000
–xComme 0,1 e  0, f(x) – g(x) a le même signe que
2xx+ –6e –1
1 740
22xx––66 xx 02ee–10€ 16e €xx-  0
2Le signe de x + x – 6 est donné par le tableau ci-dessous 5481
N
02 406x – ∞ – 3 2 + ∞
301
2 –x + x – 6 + 0 0 + 223
122
96100donc f(x) – g(x)  0 sur ]– ∞ ; – 3[ ∪ ]2 ; + ∞[ 165 49 11,1
tf(x) – g(x)  0 sur ]– 3 ; 2[ OO 1 t ≈ 2,3 15
–4–.7100 ¥69 1. a) T(0) = 19,,51e -05 19,–5105, 2. a) L(0) = 1 000 ⇔ k + k = 1 000
1 2
T(0) = 9 °C L dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout réel t  0,
–0,2t –0,3tb) t = 60 × 24 = 1 440 L¢(t) = – 0,2 k e – 0,3 k e1 2
–4–.710 ¥1440T(1 440) = 19,5 × e – 10,5 L¢(0) = – 0,2 k – 0,3 k = 3001 2
T(1 440) ≈ – 3,4 °C On obtient le système suivant :
–4–.710 t2. lim e 0, donc lim( T1t)– 05, L Lkk 1000 kk 100001 112 12tÆ tÆ €Ì Ì––23kk 3000 – k 5000L LL212 22 21La température a un comportement asymptotique en + ∞. Ó Ó
k –50002
Ì70 a) k 60001Ó
–0,2t –0,3tPour tout réel t  0, L(t) = 6 000 e – 5 000 e
b) L est dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout réel t  0 :
–0,2t –0,3tL¢(t) = – 1 200 e + 1 500 e
–0,2t –0,1tL¢(t) = – 300 e (4 – 5 e )
12
Correction
@FTDEVOIRS
© Nathan. Hyperbole Term S4 76 1. Faux 2. Vrai 3. Vrai–0,1t –0,1tc) L¢(t) = 0 ⇔ 4 – 5 e = 0 ⇔ e =
4. Vrai 5. Vrai 6. Vrai5
a ∈ ]2,2 ; 2,3[
–0,2t– 300 e  0 sur ]0 ; + ∞[ 2
Ê 1ˆ 3 1 3–0,1t x 2xxL¢ a le même signe que 4 – 5 e 77 Partie A : 1. a) e - -ee Á ˜Ë 2¯ 4 4 44 4–0,1t –0,1t –0,1t α4 – 5 e  0 ⇔ – e  – ⇔ e  = e
2xx-ee 1 g()x 5 5⇔ – 0,1t  α ⇔ t  – 10α
b) Pour tout nombre réel x, g(x) > 0–0,1tdonc 4 – 5 e  0 sur ]– 10α ; + ∞[
2. a) ∆ = – 3 > 0L¢(t)  0 sur ]– 10α ; + ∞[
2Donc pour tout nombre réel X, X – X + 1 > 0 (signe du –0,1tdonc 4 – 5 e  0 sur [0 ; – 10α[
2coefficient de X )L¢(t)  0 sur [0 ; – 10α[
x 2 xb) Donc, pour tout nombre réel x, (e ) – e + 1 > 0Le signe de L¢ nous donne le tableau des variations de
Partie B : 1. a) f est dérivable sur ℝL ci-dessous sur [0 ; + ∞[. xx xx31ee () - ee()3
f¢()x -1 0t – 10a + ∞ x 2()e 1
22xx x33ee- 3eL(t) f¢()x -1 1 000 x 2()e 1
xx2()ee-13
f¢()x
x 273 1. f(0) = 170 – 150 = 20 °C. ()e 1
2xx2. a) f est dérivable sur [0 ; 1] et pour tout réel x ∈ [0 ; 1] : -1 g()x
f¢()x –0,6x xx22f¢(x) = – 150 × (– 0,6) e ()ee11 ()
–0,6xf¢(x) = 90 e  0 sur [0 ; 1] b) Pour tout nombre réel x, f¢()x  0 car pour tout
nombre réel x, g()x  0x 0
f(1) x – 5 5f(x) a20
f¢ +
–0,6b) f(1) = 170 – 150 e  8,8 °C 53e
7-c)
-5 5f 3e e 100 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 --3
-5e 1
20 28,7 36,9 44,7 52 58,9 65,3 71,4 77,1 82,5 87,7
d) 2. Pour tout x ∈ [–5 ; α[, f(x)  0 car la fonction est crois-y
sante sur [– 5 ; 5]
90 De même, pour tout x ∈ [α;5], 0  f(x)
80 3. Avec la calculatrice, α∈[– 1,42 ; – 1,41]
60 -x78 1. a) lim e0

-x40 lim 22-e

Donc lim( f x)20

10 –x –x b) f(x) – (2x – 2) = (x – 1)[(2 – e ) – 2] = – e (x – 1)
x
O f(x) – (2x – 2) est du signe de 1 – x.0,10,2 0,4 0,6 0,8 1
 est au-dessus de ∆ sur [0 ; 1] et au-dessous sur [1 ; + ∞[.
e) 5 mètres. 2. a) f est dérivable sur [0 ; + ∞[.
–x –xf¢(x) = 1(2 – e ) + e (x – 1)
–x –x –xf¢(x) = 2 – e + xe – e 7. Objectif Bac
–x –xf¢(x) = 2(1 – e ) + xe
74 1. a) 2. a) 3. b) 4. b) b) Pour tout nombre réel x  0,
– x 02 1221 ()75 1. L’affirmation est fausse car (e) ==eete e
–x 0e e
2. L’affirmation est vraie d’après les propriétés algé- –x 0–e  – e
briques de la fonction exponentielle. –xDonc 2(1 – e ) > 0
3. L’affirmation est fausse car le point de coordonnées
Pour tout nombre réel x  0, f¢(x)  0 1(1 ; e ) n’appartient pas à la droite.
c) f(0) = – 12×04. L’affirmation est fausse car f(0) = 2 et e = 1
13
Correction
© Nathan. Hyperbole Term S
@FTDEVOIRS