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Hydrodynamique - Problèmes corrigés L3 M1 M2

De
110 pages
À quelle fréquence oscille une bulle d’air dans de l’eau ? Comment s’étale une couche de lave à la suite d’une éruption volcanique ? À quelle vitesse sédimente une micro-particule ? Pourquoi les tourbillons dans les sillages d’avions sont-ils instables ? Comment se forment les vagues à la surface de la mer ? C’est à ces questions et à quelques autres que ce livre apporte les réponses.
Destinés aux étudiants d’université (L3, M1, M2) et d’écoles d’ingénieurs, les seize problèmes présentés permettent d’appréhender différentes facettes de cette belle science qu’est la Mécanique des fluides, et surtout de faire parler les équations si compliquées qui la gouvernent. La solution de chaque problème est soigneusement détaillée et accompagnée de références bibliographiques.
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COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Physique
L3 M1 M2 Hydrodynamique
PROBLÈMESCORRIGÉS
Stéphane Leblanc
HYDRODYNAMIQUE Problèmes corrigés
Stéphane Leblanc
Préface de Luc Petit
Collection dirigée par Fabrice Mortessagne
17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France
Illustration de couverture: photographie et copyright Graham Jeffery (2007). http://sensitivelight.com/smoke2/
Imprimé en France
ISBN: 978-2-7598-0525-9 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
c2010, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A
À Clara et Lilian
Préface
Avant-Propos
1
2
TABLE DES MATIÈRES
Écoulements laminaires 1.1Écoulement cisaillé autour d’un cylindre . . . . . . . . . . . . 1.2Oscillations radiales et collapse d’une bulle . . . . . . . . . . . 1.3Mouvement d’une sphère de rayon variable . . . . . . . . . . . 1.4Fluide entraîné par une plaque en rotation . . . . . . . . . . . 1.5Étirement et diffusion d’un tourbillon . . . . . . . . . . . . . . 1.6. . . . . . . . . . . .Vagues à la surface d’un fluide visqueux . 1.7Étalement d’un liquide sur une plaque . . . . . . . . . . . . . . 1.8Sédimentation d’une microparticule . . . . . . . . . . . . . . .
Croissance des vagues et instabilités 2.1Propagation et amplification d’un tsunami . . . . . . . . . . . 2.2. . . . . . . . . . . . . . .Critère bidimensionnel de Rayleigh 2.3. . . . . . . . . . . . .Instabilité barocline d’un fluide stratifié 2.4. . . . . . . . . . . . . .Instabilité d’un cisaillement tournant 2.5Stabilité globale d’une rotation uniforme . . . . . . . . . . . . 2.6Instabilité d’un écoulement elliptique . . . . . . . . . . . . . . 2.7. . . . . . . . . . .Film visqueux tombant sur un plan incliné 2.8. . . . . . . . . . . . . . . .Génération des vagues par le vent
Appendice A : Équations du mouvement A.1Équations d’Euler et de NavierStokes . . . . . . . . . . . . . . A.2. . . . . . . . . . . . .Équations en coordonnées cartésiennes
vii
ix
1 3 8 14 19 23 28 32 38
47 48 54 58 62 68 71 77 84
93 93 95
Hydrodynamique
vi
A.3 A.4
Équations en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . Équations en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . .
95 96
Appendice B : Calcul tensoriel99 B.1Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 B.2Quelques identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
PRÉFACE
La publication d’un ouvrage d’enseignement est toujours une bonne nouvelle pour les professionnels de ce domaine. Et lorsqu’il s’agit d’un ouvrage d’hydro dynamique, l’événement revêt un caractère particulièrement heureux pour les spécialistes du sujet. C’est donc avec grand intérêt que j’ai découvert l’ouvrage Hydrodynamique : problèmes corrigésécrit par Stéphane Leblanc. L’expérience d’enseignement de l’auteur dans ce domaine transparaît fort bien à travers la rédaction des solutions des problèmes avec le souci constant d’analyser les phénomènes et de « faire parler les équations » de l’hydrodynamique dont la richesse ne permet pas toujours d’en saisir tout le contenu physique sans une aide. C’est bien là l’un des intérêts de l’ouvrage. Les indications et ouvertures données à la fin de chaque problème dans les rubriques « Pour en savoir plus » sont aussi les bienvenues et soulignent les applications sousjacentes des problèmes traités dont le caractère académique (au sens « fondamental » du terme) ne les rend pas directement explicites. Je souhaite donc grand succès et longue vie à cet ouvrage.
Luc Petit, Professeur des universités
AVANTPROPOS
Ce recueil de problèmes corrigés d’Hydrodynamique est principalement destiné aux étudiants de troisième année de licence ou première et deuxième années de master à l’université, dans des cursus de mécanique, mathématiques ou physique, ainsi qu’aux élèves d’écoles d’ingénieurs. Il a pour objectif de venir compléter les ouvrages publiés par mes confrères en proposant des sujets variés et originaux qui, je l’espère, satisferont la curiosité du plus grand nombre. Les seize problèmes présentés sont académiques et leur résolution peut être me née à terme soit de manière exacte soit de manière approchée à l’aide de méthodes de perturbations. L’étudiant doit posséder une bonne connaissance en hydrodyna mique des fluides incompressibles, doit savoir manipuler les opérateurs différentiels (gradient, divergence, rotationnel, laplacien) et connaître de préférence quelques rudiments d’algèbre tensorielle ; quelques rappels sont fournis en annexe si besoin est. Les problèmes ne nécessitent en revanche pas de connaissances particulières en méthodes asymptotiques ou en stabilité hydrodynamique. La Mécanique des fluides est une discipline complexe mais passionnante, à cheval entre Mathématiques appliquées et Physique. Mon objectif premier au cours des dix années passées en tant qu’enseignant à l’Université de Toulon fut de « faire parler » les équations de l’hydrodynamique — équations d’Euler et de NavierStokes. Le présent recueil est écrit dans cette philosophie : faire parler les équations afin d’expliquer rationnellement des phénomènes que l’on peut aisément observer, comme l’étalement d’une couche de fluide sous l’effet de son propre poids, la formation de vaguelettes à la surface d’un liquide s’écoulant sur un plan incliné, ou encore l’amplification des vagues à la surface de la mer. Certains de ces problèmes permettront également aux étudiants de s’initier à des thématiques de recherche toujours d’actualité, comme l’instabilité d’un écou lement elliptique ou la sonoluminescence. Une courte bibliographie, délibérément sélective, est jointe à la fin de chaque corrigé. Chacune d’entre elles renvoie soit aux articles originaux lorsque leur