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S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS
c2005, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBNEDP Sciences 2-86883-799-9 ISBNCNRSÉDITIONS2-271-06186-5
II.
Théorie des résidus de Leray 1. Division et dérivation des formes différentielles . . . . . . . . 2. Théorème des résidus dans le cas d’un pôle simple . . . . . . 3. Théorème des résidus dans le cas d’un pôle multiple . . . . . 4. Résidus composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Généralisation à l’homologie relative . . . . . . . . . . . . . .
55 55 58 62 63 65
Introduction
I.
TABLE DES MATIÈRES
III.
29
Homologie et cohomologie des variétés 1. Chaînes sur une variété (d’après De Rham) Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Dualité de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Familles de supports. Isomorphisme et dualité de Poincaré 6. Courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Indice d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction à l’étude topologique des singularités de Landau
Partie I
29 31 37 39 41 45 49
Préface
1
vii
3
Variétés différentiables 1. Définition d’une variété topologique . . . . . . . . . . . . 2. Structures sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Espace tangent à une variété différentiable . . . . . . . . 5. Formes différentielles sur une variété . . . . . . . . . . . . 6. Partitions de l’unité sur une variétéC. . . . . . . . . . 7. Orientation des variétés. Intégration sur les variétés . . . 8. Appendice sur les ensembles analytiques complexes . . .
7 7 7 10 12 17 20 22 26
. . . . . . . . . . . . . . . .
iv
IV.
V.
VI.
VII.
TABLE DES MATIÈRES
Théorème d’isotopie de Thom 1. Isotopie ambiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Espaces fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Ensembles stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Théorème d’isotopie de Thom . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. « Variétés » de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67 67 70 73 78 81
Ramification autour des « variétés » de Landau 85 1. Exposé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2. Pincement simple. Formules de Picard-Lefschetz . . . . . . . 89 3. Étude de quelques points singuliers des « variétés » de Landau 98
Analyticité d’une intégrale dépendant d’un paramètre 111 1. Holomorphie d’une intégrale dépendant d’un paramètre . . 111 2. Partie singulière d’une intégrale, dépendant d’un paramètre 116
Ramification d’une intégrale dont l’intégrant est lui-même ramifié 131 1. Généralités sur les revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2. Formules de Picard-Lefschetz généralisées . . . . . . . . . . . 133 3. Appendice sur l’homologie relative et les familles de supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Notes techniques
Sources
Bibliographie
Partie II Introduction à l’étude des intégrales singulières et des hyperfonctions
Introduction
141
145
147
151
153
VIII. Fonctions de classe de Nilsson d’une variable complexe 155 1. Fonctions de classe de Nilsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2. Équations différentielles à points singuliers régulier s . . . . . 161
IX.
Fonctions de classe de Nilsson sur une variété analytique complexe 165 1. Définition des fonctions de classe de Nilsson . . . . . . . . . 165 2. Étude locale des fonctions de classe de Nilsson . . . . . . . . 167
X.
XI.
XII.
TABLE DES MATIÈRES
v
L’analyticité des intégrales dépendant de paramètres 173 1. Intégrales uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 2. Intégrales multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3. Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Esquisse de démonstration du théorème de Nilsson
181
Exemples d’intégrales singulières 185 1. Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2. Deuxième exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
XIII. Hyperfonctions d’une variable, hyperfonctions de classe de Nilsson 197 1. Définition des hyperfonctions d’une variable . . . . . . . . . 197 2. Dérivation d’une hyperfonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3. Caractère local de la notion d’hyperfonction . . . . . . . . . 199 4. L’intégrale d’une hyperfonction . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5. Hyperfonctions dont le support est réduit à un point . . . . . 201 6. Hyperfonctions de classe de Nilsson . . . . . . . . . . . . . . 201
XIV. Introduction à l’analyse microlocale de Sato 203 1. Fonction analytique en un pointx203. . . . dans une direction n 2. Fonction analytique dans un champ de directions surR. . 203 3. Valeurs au bord d’une fonction analytique dans un champ de directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4. Support microsingulier d’une hyperfonction (ou support spectral, ou support essentiel, ou spectre singulier, ou wave front set, etc.) . . . . . . . . . . 208 5. Support microsingulier d’une intégrale . . . . . . . . . . . . 210
A
B
Construction du faisceau d’homologie deXsurT
Groupes d’homologie à coefficients locaux
Complément bibliographique
213
217
219