Parlez-vous maths?

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Ce livre n’est pas un livre de mathématiques. Pourtant il « parle » mathématiques ! Écrit par deux professeurs de mathématiques confrontés aux difficultés rencontrées par leurs étudiants, leur réflexion et leur recherche les ont amenés à écrire ce dictionnaire « français-maths ».
Depuis plusieurs années, l’enseignement des mathématiques est basé sur un apprentissage du vocabulaire mathématique en dehors de tout cadre structuré. Par exemple, la notion de limite est enseignée par une approche expérimentale à l’aide d’une calculatrice ou d’un ordinateur, mais sans la définition. Le langage mathématique est enseigné comme un langage naturel. Le sens des mots est censé émerger de l’expérience. Cependant, cela ne se passe pas ainsi en mathématiques.
Les auteurs ont développé un point de vue original en abordant les conflits de langage entre les mathématiques et le français qui utilisent souvent les mêmes mots. Volontairement ludique, ce livre s’adresse à un large public. Il ne nécessite pas de grandes connaissances mathématiques, et peut se lire à plusieurs niveaux. Les élèves ou étudiants, anciens ou actuels, les parents et les professeurs y trouveront chacun de quoi alimenter leur réflexion sur cette matière injustement décriée par incompréhension.
Publié le : vendredi 9 janvier 2015
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EAN13 : 9782759817016
Nombre de pages : 216
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Agnès RIGNY – Pierre LÓPEZ
Parlez-v
m mat at
Le langage
mathématique
dans tous
Depuis qu’il s’est mis aux Maths,
on ne le comprend plus !
ses états?
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Parlez-v
m ma at
Le langage
mathématique
dans tous
ses états
Agnès RIGNY
Pierre LÓPEZImprimé en France
ISBN : 978-2-7598-1194-6
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés,
réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3
de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à
l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part,
que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute
représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses
erayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1 de l’article 40). Cette représentation
ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon
sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.
© EDP Sciences 2014Les auteurs
Agnès Rigny
Ancienne élève de l’ENS (École Normale
Supérieure) Saint-Cloud, agrégée de
mathématiques, actuellement professeur en classe
préparatoire B/L au lycée Saint-Sernin à Toulouse.
Pendant plus de 25 ans, professeur dans les classes
préparatoires commerciales et scientif ques au
lycée Corneille à Rouen, puis au lycée Fermat à
Toulouse. S’intéresse particulièrement aux
blocages en mathématiques et développe une activité
de soutien spécif que.
(Voir www.mathssansstress.fr.)
Pierre López
Agrégé de mathématiques, actuellement
professeur en classe préparatoire ATS : adaptation
technicien supérieur au lycée Louis Rascol à
Albi. Ancien responsable du groupe « Sciences
physiques et mathématiques au lycée » à l’IREM
(Institut de recherche sur l’enseignement des
mathématiques) de Toulouse. Ancien
formateur associé à l’IUFM (Institut universitaire de
formation des maîtres) de Toulouse. S’intéresse
particulièrement aux problèmes liés au rapport
des mathématiques avec les autres disciplines.
Anne Fioc, illustratrice
http://annef oc.com7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQNPréface
Traduire les mathématiques
Anne SIETY
Objets mathématiques, avez-vous donc une âme,
Qui s’attache à notre âme et la force d’aimer ?
Alphonse de Lamartine, « Milly ou la terre natale »
Espérance, exposant, inconnue, limite, famille, identité, base, loi, puissance,
image, corps, couple, idéal, spectre, f gure, norme… Inquiétante étrangeté de
termes aussi familiers que mystérieux : autant d’entrées pour cet étonnant
abécédaire. Avec Parlez-vous maths ?, Agnès Rigny et Pierre Lopez osent une démarche
inédite et passionnante : ils nous ouvrent la porte de l’univers mystérieux des
professeurs de mathématiques, leurs convictions, leur humour (un peu
particulier il est vrai), mais aussi leur désir profond de transmettre une discipline
souvent hermétique, et les continuels « quiproquo » où les entraîne le langage
mathématique, si semblable au discours quotidien et si différent à la fois.
Les mathématiques sont abstraites. Conçues par l’Homme pour s’assurer une
prise sur le monde, elles sont extraites, au sens littéral, tirées hors des objets
concrets. Lorsque la chasse a fait place à l’élevage, et la cueillette à l’agriculture,
lorsque les échanges économiques se sont généralisés, il a bien fallu compter,
mesurer, comparer : les chiffres sont apparus, successivement remplacés par les
lettres, les fonctions, les vecteurs… chaque fois un cran plus loin dans
l’immatériel, l’irreprésentable.
Les objets mathématiques, ainsi lancés dans l’espace intersidéral, planeraient
très loin, hors de notre portée, s’ils n’étaient reliés à nous par un dernier f let :
leur nom.
Un f let puissant, à la fois salvateur et illusoire.
Ce filet nous offre une prise précieuse sur les notions mathématiques.
Appartenir : « Un élément appartient à un ensemble, il est dans l’ensemble. »
Nous voilà rassurés, la théorie des ensembles, immatérielle, insaisissable par
excellence, offre une similitude avec notre vie quotidienne. Elle nous tend
une perche. Appartenir, nous connaissons. On pourrait dire que ce terme nous
appartient déjà.
Parlez-vous maths ? VPréface
Mais « traduttore, traditore ». Traduire, du langage des mathématiques à celui de
notre vie, « appartenir » par « appartenir », serait bien présomptueux. En effet,
les auteurs poursuivent : « L’ensemble n’est défni « que » par les éléments qu’il
contient. Ce qui n’est pas le cas dans la vie courante. « Ces boucles d’oreilles
m’appartiennent, mais si je les perds, je reste quand même moi. »
En mathématiques, dire qu’un élément appartient à un ensemble, c’est lui
conférer une valeur constitutive, essentielle. Sans cet élément, l’ensemble n’est plus
l’ensemble. Être ou avoir : la nuance est de taille. Depuis le Veau d’Or, nous
avons appris à ne pas sacraliser les objets. Appartenir en mathématiques, ce
n’est pas exactement comme appartenir pour nous. « Ça change rien… mais
ça change tout ! » remarquait mon professeur de mathématiques de troisième.
« Ces boucles d’oreilles m’appartiennent, mais si je les perds, je reste quand
même moi (quoique…) » Tout est dans ce « quoique ». Les mathématiques
viennent déranger avec bonheur nos automatismes de parole, secouer notre
routine, ranimer les mots que nous laissions en sommeil. Au fond, mon identité
est-elle si bien assise au point que je puisse perdre mes possessions sans qu’elle
en soit ébranlée ? Les mathématiques nous invitent à repenser notre vie.
Drôles, légers en apparence, Agnès Rigny et Pierre Lopez découvrent la
profondeur de champ qui fait la singularité des mathématiques. Ces faux-amis, ces
hiatus où s’entremêlent compréhension et obscurité, sens et non-sens, lumière
et pénombre. Sources de confusions, d’angoisse, des fameux « blocages », mais
aussi richesse à nulle autre pareille, force, âme véritable des mathématiques.
Anne Siety est psychologue clinicienne, psychopédagogue en mathématiques. Elle
travaille auprès d’enfants et d’adultes rencontrant des blocages en mathématiques.
Elle est l’auteur de Qui a peur des mathématiques ? (Le livre de Poche, 2013).
Parlez-vous maths ?VI
Avant-propos
Nous avons souvent l’impression, en cours de mathématiques, de parler
« chinois ». Certains jours, même si nos élèves nous regardent, nous écoutent,
nous voyons dans leurs yeux qu’ils ne nous comprennent pas. Dans leurs copies,
nous lisons parfois des choses totalement dénuées de bon sens, voire des
contradictions f agrantes d’une question à l’autre. Les élèves en ont souvent tout à
fait conscience, mais « ils tentent ». Ils disent pour se justif er : « on ne sait
jamais... ». Comme si cela pouvait être vrai malgré eux, à leur insu. Ou bien
renoncent-ils simplement à donner un sens à leurs écrits mathématiques ? Ils
se sentent dans la peau d’un étranger ne comprenant pas les mots du menu du
restaurant et commandant un plat un peu au hasard.
Notre première réaction, en début de carrière, a été l’incompréhension : « mais
quel est donc le problème ? » Nous leur donnons les déf nitions, les théorèmes,
il n’y a tout simplement qu’à les appliquer. Qu’est-ce qui les en empêche ? La
réponse classique du manque de travail ou d’intérêt ne nous a pas satisfaits.
De notre point de vue de professeurs, d’amateurs de mathématiques, il ne
devrait pas y avoir de diff culté. Il y a une déf nition, des règles, des causes et
des conséquences, il suff t de les utiliser. Quand les élèves nous disent ne pas
comprendre, nous les renvoyons aux déf nitions et aux théorèmes. Mais cela
ne se passe pas comme on l’espère dans leurs têtes, puisque f nalement, c’est le
rôle même de la déf nition qui n’a pas de sens pour eux.
Depuis plusieurs années, l’enseignement des mathématiques est basé sur un
apprentissage du vocabulaire mathématique en dehors de tout cadre structuré.
Par exemple, la notion de limite est enseignée dès la classe de première, par
une approche expérimentale à l’aide d’une calculatrice ou d’un ordinateur, mais
sans la déf nition. Le langage mathématique est enseigné comme un langage
naturel. Le sens des mots est censé émerger de l’expérience.
Une fois que les élèves ont eu ce vécu au lycée, la rencontre ultérieure avec une
formalisation des mathématiques est extrêmement diff cile, voire conf ictuelle.
Comme les mots employés en mathématiques sont également des mots du
langage naturel (le français pour ce qui nous occupe), les élèves cherchent à se
construire une idée intuitive de la signif cation mathématique, en s’appuyant
sur le sens du mot en français. Cela, au f nal, ne leur donne pas une
compréhension correcte de la notion, puisqu’il y a souvent un décalage entre le sens
mathématique et le sens en français.
Parlez-vous maths ? VIIAvant-propos
Ce sentiment d’incompréhension se mue parfois en souffrance, qui perdure
à l’âge adulte. Combien d’adultes ont de mauvais souvenirs de leurs cours de
mathématiques, ou frissonnent encore en entendant parler de mathématiques ?
Cet ouvrage s’adresse à ceux qui ne sont plus élèves et qui se sont éloignés,
souvent avec soulagement, des mathématiques. Nous souhaiterions les aider
à comprendre ce qui s’est dit pendant leurs anciens cours, et apporter des
réponses à des questions enfouies et non résolues, voire leur donner la curiosité
de renouer avec cette matière.
Nous aimerions également expliquer aux élèves actuels (fn du lycée, université
et classes préparatoires) ce que veulent dire les professeurs quand ils « parlent
maths ».
Les enseignants pourront trouver ici des exemples de ce qu’entendent leurs
élèves pendant les cours, ce qui est souvent différent de ce qu’ils ont cru dire et
des pistes de réfexion leur permettant d’enrichir leurs cours.
Les parents y trouveront des explications qui, d’une part, leur éviteront de
transmettre à leurs enfants une éventuelle incompréhension (voire un dégoût)
des mathématiques et qui, d’autre part, leur fourniront des outils pour les aider.
Nous nous adressons enfn à tous ceux qui sont restés curieux des
mathématiques, qui ont des regrets de n’avoir pas pu les apprécier, ou qui se demandent
simplement de quoi parlent les mathématiques.
Nous avons cherché les mots qui ont un sens différent en mathématiques et
en français, les mots qui peuvent renvoyer à d’autres images que les images
mathématiques. Nous proposons chaque fois une sorte de traduction : « quand
un professeur dit..., il veut dire..., mais l’élève peut penser à... ».
Sont rassemblés également dans ce « dictionnaire » des mots français qui ont des
sens différents pour le professeur et pour l’élève, sans pour autant être
mathématiques, par exemple « apprendre son cours » ou encore « un, deux, trois ».
Mais attention, ce n’est pas un livre de mathématiques, ni un « dictionnaire »
de mathématiques, car tous les mots « importants » en mathématiques n’y sont
pas forcément développés.
Nous proposons à ceux qui, après avoir lu ce livre, voudraient apporter leurs
expériences, leurs anecdotes, leurs contributions (il y a sûrement des mots qui
manquent !) de le faire sur notre blog : parlezvousmaths.blogspot.fr.
Parlez-vous maths ?VIIINous remercions chaleureusement nos amis et parents
pour leur relecture attentive, leurs conseils et leur soutien.À part quelques mots en « -morphisme », les termes de
mathématiques sont empruntés à la langue usuelle. Un ensemble, un espace
reçoivent, par exemple, les qualifcations de dense, compact,
clairsemé, dénombrable, mince, maigre, rare, ouvert, fermé, borné,
fbré , feuilleté. Le pittoresque voulu de chacun de ces mots favorise
l’intuition et seconde l’imagination.
René Étiemble, Au secours, Athéna ! Le jargon des sciences,
Éditions Hermann, 1996.
Introduction
Les mathématiques enseignées dans les établissements scolaires et universitaires
en France utilisent le français (pour l’instant…).
Aussi quand un élève ou un étudiant entre dans une salle de cours, il arrive
avec toutes les images que les mots ont construites en lui au travers de ses
expériences de vie.
Le professeur de mathématiques, conscient ou non de cette situation, prend
bien soin de déf nir chaque mot qu’il emploie. Il déf nit ce qu’il appelle un
« vecteur », une « fonction continue », etc.
Il insiste le plus souvent sur le caractère univoque du langage mathématique et
invite ses élèves ou étudiants à revenir aux déf nitions données. Cependant, les
images créées par les mots utilisés dans l’esprit de l’étudiant peuvent perturber
sa compréhension.
Comment un étudiant reçoit-il le vocabulaire employé ?
Quelles résonances affectives cela produit-il en lui ?
Certains y trouvent une forme de poésie et sont entraînés dans un univers
merveilleux (par exemple, une partie qui est à la fois ouverte et fermée). Mais
pour d’autres (la majorité ?), les mots mathématiques et français se mêlent, se
nouent et sont à l’origine de blocages.
Par exemple, comment comprendre que la courbe représentative d’une fonction
peut être une ligne brisée, ou comment un maximum peut-il aussi être un
minimum ? Avoir à sa disposition les déf nitions adéquates ne suff t pas toujours, car
il est diff cile d’utiliser la déf nition mathématique pour ce qu’elle est. Beaucoup
d’idées reçues interfèrent et empêchent de progresser, ou de généraliser.
Si on considère la notion de matrices semblables, est-il « complètement idiot »
–1 –1 2 20 0
de dire que les matrices A 1 2 –1 et T 01 1 ne sont pas
–2 –1 3 00 1
semblables parce qu’elles ne se ressemblent pas ? Pourtant ces matrices sont
bien « mathématiquement » semblables.
Parlez-vous maths ? 1 Introduction
Le professeur de mathématiques doit faire l’effort d’expliquer son vocabulaire.
Pourquoi dit-on que les matrices A et T sont semblables ? Pourquoi a-t-on
choisi ce mot pour traduire cette notion ?
Il est souvent diffcile d’être parfaitement explicite. L’étymologie et l’histoire
1peuvent aider . C’est le parti pris par M. Bertrand Hauchecorne dans son
excellent livre Les Mots & les Maths (éditions Ellipses, 2003). Dans l’avant-
propos, il écrit : « Quelle relation y a-t-il entre une base canonique et une femme
d’âge canonique, entre une combinaison linéaire et les combinaisons de nos
grands-mères, entre une série entière et une série télévisée ? Plus sérieusement,
d’où viennent les mots que nous utilisons en mathématiques ? »
Mais l’étymologie ne fournit pas toujours une explication suffsante, et puis
nous avons décidé de ne pas être systématiquement sérieux…
L’étymologie renvoie souvent à un contexte culturel éloigné de nos étudiants,
donc peu signifant. On peut légitimement douter de leur connaissance du droit
canon. En revanche, ils comprennent très bien la phrase « il (elle) est canon » !
Nous nous proposons, à partir de situations que nous avons vécues en classe,
de mettre en lumière certaines incompréhensions portant sur le vocabulaire
mathématique, et par là d’essayer de redonner le goût de faire (ou de lire) des
mathématiques.
La forme « dictionnaire » qui a été choisie ici permet plusieurs niveaux de
lecture. Certains articles sont traités de manière légère ou humoristique.
2Nous n’avons pas voulu faire un livre de mathématiques . Toutefois, on
trouvera en annexe les défnitions « sérieuses » de certains mots signalés par une
astérisque dans le texte.
1. Les sites de l’Académie française et du Centre national de ressources textuelles et lexicales nous
ont beaucoup servi. À ce propos, nous avons essayé de suivre certaines des recommandations de
la réforme de l’orthographe de 1990.
2. Encore moins un livre de didactique. De nombreux problèmes soulevés dans ce livre peuvent
être abordés sous cet angle. Nous ne minimisons pas l’importance de cette approche qui, pour
un professionnel de l’enseignement, peut s’avérer proftable. Cependant, cela nous aurait
éloignés de notre objectif.
Parlez-vous maths ?2
Sommaire
Comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Condition Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A
nécessaire et suff sante . . . . . . . 40 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Cône* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exposant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Absolu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Abstrait, abstraction . . . . . . . . . . 6
Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Continu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Adhérence* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 F
Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ambiguïté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Convergence* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Corps* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Famille 74Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Couper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Faute (étourderie) . . . . . . . . . . . . 74Anneau* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Couple 45 Fermé* 75Antécédent*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Courbe 46 Figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Appartenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
C. Q. F. D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Fonction* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Application* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Croissante Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Apprendre son cours . . . . . . . . . . 16
(ou décroissante)* . . . . . . . . . . . . . .  47
Argument
Cylindre* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
d’une démonstration . . . . . . . . . .  17
Argument Gd’un nombre complexe* . . . . . . 18
Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 D Groupe* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Astuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Déf nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 H
Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . 51B
Dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Habitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Dériver* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  80Base* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dessin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Beauté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  80
Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Borné* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Hérédité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Développement . . . . . . . . . . . . . . . . 56Boule* 25 Humour82
Dimension* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Branche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Hyperplan* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61C
Distinct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 I
Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Calculer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Idéal* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85ECardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Image* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  63Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Élégance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  63Chiffre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Indécidable89
Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Chtoucas de Drinfeld . . . . . . . . . 34 Indépendance* . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Inférieur (supérieur) . . . . . . . . . . 91
Combinaison linéaire* . . . . . . . . 35 Équivalence Inférieur (ou supérieur)
Compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (relation, classe) . . . . . . . . . . . . .  65 ou égal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  91
Compact* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Équivalence (versus égalité) . .  67 Inf ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . 36 Erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Inf nitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Complexe* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Injection* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Parlez-vous maths ? 3

Sommaire
Intégral (calcul) . . . . . . . . . . . . . . 95 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Intégrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 S
Intervalle (ouvert et fermé) . . . 96 Ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Ouvert* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Semblable* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Inverse*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Irrationnel* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Irréductible* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Simplif cation . . . . . . . . . . . . . . . . . 158P
Soit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  159Pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Sous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127J
Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Suite et série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162L
Période* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . . 164
Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Lemme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Pôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Liberté* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Limite* 105
Postuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Linéaire* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 T
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Projection* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Tangente* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Proportionnel (directement
Temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169ou inversement) . . . . . . . . . . . . . . 138
Termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  170Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139M Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Propre* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Topologie* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Toujours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Majorer (minorer) . . . . . . . . . . . . 109 Tribu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . 110 Trivial 173
Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Q
Méditation 112
Membre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Quadrature du cercle . . . . . . . . 141 U
Mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Quel que soit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Modèle 114 Question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Un (deux, trois…) . . . . . . . . . . . . 175
Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Union (ou réunion) . . . . . . . . . . . 177
Mutatis mutandis . . . . . . . . . . . . . . 116
Utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177R
Racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . 143N
Racine d’un polynôme . . . . . . . 144 V
Raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Naïveté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Rang* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Valeur approchée . . . . . . . . . . . . . 179Naturel* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Rationnel* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Variable* . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  179Négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 182Normal118 Récurrence* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Vecteur* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Norme* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Réduction148
Vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Réel* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Vide* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Numérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Réf échir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Voisinage* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Relatif * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Relation* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
RemettreO la casserole dans le buffet . . . 151 ZRésidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Résoudre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Opération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Rigueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Parlez-vous maths ?4
A
Absolu* . . . . . . . . . . . . . . . .
C’est beau l ’absolu ! En plus, en maths,
on a des « valeurs absolues » !
À partir d’exemples comme la valeur absolue de 3 est égale à 3, et la valeur
absolue de –7 est 7, on retient souvent de la notion de valeur absolue que « c’est
le nombre sans le signe ». Cela entraîne des diff cultés à comprendre que quand
on désigne un nombre par une lettre, a par exemple, si ce nombre est négatif
sa valeur absolue est –a !
Le mot « absolu » en français connote la totalité, la perfection, l’idéal (en
bien ou en mal). On retrouve cette idée en physique avec la notion de « zéro
absolu », qui est la température au-dessous de laquelle on ne peut pas descendre,
inaccessible (l’idéal étant forcément inaccessible...).
On trouve d’ailleurs là l’origine de la terminologie mathématique de « valeur
absolue ». La déf nition de la valeur absolue d’un nombre est sa distance à 0.
C’est donc un nombre positif. En effet, quand le vocabulaire s’est f xé vers la
ef n du xviii siècle, les nombres négatifs étaient considérés comme « moins
parfaits » que les nombres positifs, leur existence était mal cernée. Même
D’Alembert dans l’Encyclopédie souligne que la notion de nombre négatif n’est
pas claire pour les mathématiciens de son époque. Il écrit à la f n de son article :
« –3 pris abstraitement ne présente à l’esprit aucune idée ».
Parlez-vous maths ? 5Abstrait, abstraction
L’introduction des nombres négatifs est un vrai problème pédagogique, et pour
la grande majorité des élèves, le nombre négatif est associé au signe moins. Cette
idée fortement ancrée est un handicap quand on passe à l’écriture des nombres
avec des lettres. (Voir Signe, Notation).
En mathématiques, le mot « absolu », ou l’adverbe « absolument », fait référence
soit à la valeur absolue, comme dans « une série absolument convergente » ou « une
intégrale absolument convergente », soit plutôt à la notion de perfection comme
dans « le maximum absolu d’une fonction* » (on dit aussi maximum global). Au
passage, noter que le maximum absolu d’une fonction peut être un nombre négatif...
Le mot « absolument » en français est employé pour renforcer une idée, exprimer
une certitude, mais pas en mathématiques : il ne faut pas confondre « la série est
absolument convergente » avec « absolument, la série est convergente ». (De
temps en temps, les professeurs de mathématiques parlent français...)
Abstrait, abstraction . . . . . . .
En français, l’abstraction est une opération de la pensée. On isole une
caractéristique pour la considérer séparément, ou bien on trouve un point commun
à différents objets pour en faire un type nouveau (l’idée abstraite de « chien »
s’opposant aux différents chiens rencontrés). Ce terme est lié à celui
d’intelligence, mais il peut également devenir péjoratif, comme désignant ce qui est
trop éloigné de la réalité.
On retrouve cette dualité dans la relation aux mathématiques. Il est
communément admis qu’il faut être intelligent pour faire des mathématiques, mais que
tout de même les mathématiques sont assez éloignées de la réalité !
« Abstrait » s’oppose également à « concret ». Les mathématiques sont
abstraites, contrairement à « la vraie vie » qui est concrète.
2Concret, pour un élève, cela veut souvent dire familier. Si on écrit (a + b) , est-ce
2plus abstrait que (π + 2)  ? Les nombres sont-ils plus concrets que les lettres ?
Quels nombres ? Les nombres entiers sont-ils plus concrets que les nombres
réels* ? Les nombres réels sont-ils plus concrets que les nombres complexes*
(appelés au début imaginaires, c’est tout dire) ?
Le paradoxe réside dans le fait que les mathématiques ne semblent pas se
soucier de la vie, mais qu’elles permettent pourtant tous les jours de résoudre des
problèmes concrets (concevoir un téléphone portable par exemple).
Parlez-vous maths ?6Absurde
Bien entendu, les mathématiques apprennent l’abstraction. On cherche toujours
à s’éloigner des cas particuliers, à écrire des formules générales, qui s’appliquent
à plusieurs cas, on cherche à dégager des lois, à trouver des ressemblances entre
des objets de natures différentes.
(Voir Analogie, Structure.)
Absurde . . . . . . . . . . . . . . .
Coluche : « Quelle est la différence entre un pigeon ? […] Il a les deux pattes
pareilles, surtout la droite. »
Mais c’est absurde ! Si les maths c’est ça, moi j’arrête.
Eh bien non, précisément. Les mathématiques, ce n’est pas ça. Au contraire, elles
sont parvenues à se servir de l’absurde pour démontrer des choses bien sérieuses.
Qu’est-ce que l’absurdité ? Ce qui est contraire à la raison, au bon sens. Tout
d’abord, le bon sens et la raison, est-ce la même chose ? En mathématiques, une
absurdité est une proposition qui serait à la fois vraie et fausse.
Or la théorie mathématique ne comporte pas d’« absurdités », autrement dit de
contradictions. Il est impossible qu’un nombre soit à la fois pair et impair par
exemple. De là découle le principe de la démonstration par l’absurde.
Pour démontrer qu’une propriété est vraie, on suppose qu’elle est fausse, ou pour
être plus positif, on suppose que l’énoncé contraire est vrai. Puis, on regarde tout
ce que l’on peut en déduire, et si on arrive à en déduire que nécessairement une
certaine propriété est vraie, alors qu’il est connu par ailleurs qu’elle est fausse,
on se retrouve face à une contradiction (par exemple si on aboutit à « 0 = 1 »).
Parlez-vous maths ? 7Adhérence
Malheur ! D’où vient ce désordre ? Nécessairement de la propriété supposée
fausse, enf n de la propriété contraire supposée vraie, enf n bref, du machin
supposé au début ! Sus à l’ennemi ! On l’éjecte donc de la belle harmonie
mathématique ! Elle est fausse ! Autrement dit, elle est fausse, parce que si elle
était vraie, ce serait le chaos, plus de certitude ! C’est le principe de la
démonstration par l’absurde. Vous avez mal à la tête ?
Mais non, c’est simple ! Prenons l’exemple de la « démonstration » célèbre de
3 2 23 = 0 . On part de l’équation x + x + 1 = 0. Elle est équivalente à x + 1 = –x .
2 3Comme 0 n’est pas solution de l’équation, elle est équivalente à x + x = –x .
2 3Mais comme x + x + 1 = 0, on aboutit à l’équation x = 1 qui n’a qu’une solution,
21. Donc en reportant dans l’équation de départ, on a bien 1 + 1 + 1 = 3 = 0.
On n’a, bien sûr, pas démontré que 3 = 0 ! Mais alors qu’a-t-on fait ? On a
2démontré par l’absurde que l’équation x + x + 1 = 0 n’a pas de solution réelle.
3En effet, quand on dit que « l’équation x = 1 […] n’a qu’une solution 1 », on
2se place dans l’ensemble des nombres réels et quand on « manipule » x + x + 1
= 0, on sous-entend que cette égalité est vraie pour un nombre réel. Donc le
fait d’arriver à l’égalité 3 = 0, qui est fausse, montre par l’absurde que l’équation
2x + x + 1 = 0 n’a pas de solution réelle. Elle a, en revanche, deux solutions
3 –1 3 –1 3complexes non réelles, celles de l’équation x = 1, qui sont + i et –i .
2 2 2 2
Adhérence* . . . . . . . . . . .
Voici un bon exemple de l’usage que font les mathématiques du français.
Essayons de reconstituer l’enchaînement des idées.
Au départ, il y a un ensemble désigné par la lettre E et un sous-ensemble désigné
par la lettre A. On dit qu’un élément x de E est adhérent à A si sa « distance » à
A est nulle (plus précisément si pour tout nombre positif , il existe un élément
a de A tel que la distance entre x et a soit inférieure à ).
Là, on comprend le mot « adhérent ». On visualise une sorte de sac A, et x
vient « se coller » à A.
Oui, mais attention ! Telle qu’elle est énoncée, la déf nition permet de dire que
les éléments de A sont adhérents à A.
3. Marcel Gotlib en a fait une planche de bande dessinée savoureuse sous la forme d’un dialogue
entre Mme Poussin et Mme Lampion.
Parlez-vous maths ?8Aire
Surprenant, mais admettons. En effet, s’il appartient à A, x « colle » d’autant
mieux à A !
Qu'est ce que l’adhérence alors ?
A priori, on attend une caractéristique d’une relation entre deux objets
(l’Académie française donne : « l’adhérence d’un coquillage au rocher »),
ou quelque chose qui vient en plus (toujours l’Académie : « Des adhérences
postopératoires »).
Eh bien, cela ne sera pas le cas en mathématiques ! L’adhérence d’un ensemble
est l’ensemble de tous les points qui sont adhérents à cet ensemble (donc
l’adhérence contient en particulier l’ensemble de départ).
Pour le matheux, cette déf nition est d’une simplicité biblique. Pourtant, il nous
faut reconnaître que cela a de quoi déstabiliser.
Allons, nous sommes de bonne composition ! Nous admettons cette forme de
« création littéraire » : l’adhérence d’un ensemble n’est pas une propriété de cet
ensemble, mais un ensemble qui contient tous les points adhérents à cet ensemble.
On croit être tranquille. Que nenni !
Quand on étudie les suites, on rencontre l’expression « valeur d’adhérence d’une
suite ». On se dit : « C’est bon, je vois ce que c’est ! En particulier, toutes les
valeurs de la suite sont des valeurs d’adhérence. »
Eh bien, en général, non !
Al ors, si c’est ça, pour moi c’est RIDEAU !
Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ce terme désigne un nombre, et pas une surface. On parle de l’aire d’une surface.
Dans le langage courant, « aire » et « surface » ont des usages interchangeables.
Il faut donc faire attention. En mathématiques, l’aire est une sorte de mesure
de la taille de la surface.
Mais, une aire en mathématique peut être « algébrique », c’est-à-dire qu’elle
peut avoir une valeur négative.
En effet, pour une fonction* continue par morceaux sur l’intervalle [a; b],
bl’intégrale ƒ(t) dt donne l’aire algébrique de la partie du plan comprise entre
a
Parlez-vous maths ? 9Lexique
Vecteur ................................................................
Un vecteur est un élément d’un espace vectoriel. On notera qu’un espace
vectoriel n’est donc pas défni en tant qu’ensemble contenant des vecteurs, mais
c’est un vecteur qui est défni en tant qu’élément d’un espace vectoriel.
Soit un corps commutatif et E un ensemble E muni de deux lois : + et . telles
que : + est une loi interne sur E et (E, +) est un groupe commutatif ; . est une
loi externe, c’est-à-dire une application de × E dans E, vérifant :
• ∀
, ∀ u, v
E, .(u + v) = .u + .v ;
• ∀ ,
, ∀ u, v
E, ( + ) .u = .u + .u ;
• ∀ ,
, ∀ u
E, ( + ) .u = .( .u) ;
• ∀ u
E, 1.u = u .
On dit alors que (E, +,. ) est un -espace vectoriel (ou plus simplement que E
est un espace vectoriel s’il n’y a pas d’ambiguïté sur les lois et le corps).
Le dernier axiome, malgré sa formulation « triviale », est indispensable. Il ne
découle pas des autres axiomes. Il existe des exemples simples pour lesquels
tous les axiomes sont vérifés sauf celui-ci !
Vide ......................................................................
L’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément. On le note ∅.
L’écriture formelle de cet ensemble donnée par N. Bourbaki est

Référence : fascicule XVII, chapitre 2, Théorie des ensembles, note page 68.
Voisinage ............................................................
Dans un espace topologique, un voisinage d’un élément est un sous-ensemble
contenant un ouvert contenant cet élément. (Voir Limite et Topologie.)
Parlez-vous maths ?204

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