Petit traité d'intégration

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Ce Petit traité d’intégration développe une approche originale de l’intégrale. Cette approche, que l’on pourrait qualifier de globale, est due aux deux mathématiciens Jaroslaw Kurzweil et Ralph Henstock.
L’enseignement de l’intégration se fait d’ordinaire en deux temps. On débute en proposant des approximations de l’aire située sous le graphe de la fonction sous la forme de sommes de Riemann, ce qui est bien adapté au calcul différentiel et intégral portant sur des fonctions régulières. On présente ensuite l’intégrale de Lebesgue en lien avec la théorie de la mesure.
L’approche de Kurzweil et Henstock est proche de celle de Riemann, à cela près que le pas des subdivisions de l’intervalle pour le calcul de l’aire peut ne pas être constant. L’intérêt de cette méthode est de contenir la théorie de Lebesgue et d’être optimale pour le calcul différentiel.
Ce livre concerne au premier chef les étudiants de mathématiques de tous les cycles (licence, master, préparation aux concours de l’enseignement…). Il intéressera également les enseignants de mathématiques ou de physique et, plus généralement, les ingénieurs et scientifiques qui font usage de la théorie de l’intégration.
Publié le : mercredi 3 décembre 2014
Lecture(s) : 40
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782759816910
Nombre de pages : 300
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CO L L E C T I O NGR E N O B L ESC I E N C E S DIRIGÉE PAR JEAN BORNAREL
PETIT TRAITÉ D’INTÉGRATION
RIEMANN, LEBESGUE et KURZWEILHENSTOCK JeanYves BRIEND
Petit traité d’intégration Riemann, Lebesgue et KurzweilHenstock
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ISBN 978 2 7598 1241 7 cEDP Sciences 2014
Petit traité d’intégration Riemann, Lebesgue et KurzweilHenstock
JeanYves Briend
17, avenue du Hoggar Parc d’Activité de Courtabuf  BP 112 91944 Les Ulis Cedex A  France
Petit traité d’intégration Riemann, Lebesgue et KurzweilHenstock Cet ouvrage, labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur Mathéma tiques de la collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean Bornarel, Professeur émérite à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1. Comité de lecture : Claude Bardos, Professeur émérite à l’Université ParisDiderot, Paris 7 Elie Belorizky, Professeur émérite à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1 Eric Charpentier, Maître de conférences à l’Université de Bordeaux JeanPierre Demailly, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1 Bruno Demange, Maître de conférences à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1 Denise Grenier, Maître de conférences à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1
Cet ouvrage a été suivi par Stéphanie Trine. Mise en page :ARCHIT X E Bordage et AnneLaure Passavant ; illustration de couverture : Alice une figure de Emes2k/de.wikipedia.
; figures Giraud,
: Sylvie d’après
Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur) : Analyse numérique et équations différentielles (J.P. Demailly)Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours. Tomes I et II (D. Alibert)Nombres et algèbre (J.Y. Mérindol)Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux & B. SilvestreBrac)Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours. De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. SilvestreBrac)Méthodes numé riques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur (J.P. Grivet)Introduction aux variétés différentielles (J. Lafontaine)Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J. Sivardière)Symétrie et propriétés physiques. Des principes de Curie aux brisures de symétrie (J. Sivardière)Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales (M. Attéia & J. Gaches)Outils mathéma tiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belorizky)Analyse statistique des données expérimentales (K. Protassov)Mathématiques pour l’étudiant scientifique. Tomes I et II (P.J. Haug)Mathématiques pour les sciences de la Vie, de la Nature et de la Santé (J.P. Bertrandias & F. Bertrandias)Introduction à la mécanique statis tique (E. Belorizky & W. Gorecki)Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky & W. Gorecki)Magnétisme : I Fondements, II Matériaux (sous la direction d’E. du Trémolet de Lacheisserie)La mécanique quantique. Problèmes résolus. Tomes I et II (V.M. Galitski, B.M. Karnakov & V.I. Kogan)Éléments de Biologie à l’usage d’autres disciplines. De la structure aux fonctions (P. Tracqui & J. Demongeot)Minimum Competence in Scientific English (S. Blattes, V. Jans & J. Upjohn) et d’autres titres sur le site internet https://grenoblesciences.ujfgrenoble.fr
Avantpropos
Ce petit livre est né d’une discussion avec JeanPierre Demailly au début des années 2000. Chargé d’enseigner l’intégration à des étudiants de deuxième année de ce qui s’appelait alors le DEUG, il m’a fourni l’idée de l’enseigner de manière non conventionnelle en construisant l’intégrale d’une fonction réelle d’après la méthode de Kurzweil et Henstock. Après une première année quelque peu tâtonnante (puis une seconde émaillée d’un mouvement social fort, celui contre le contrat première embauche) ce cours m’a procuré beaucoup de plaisir ainsi, je crois, qu’aux étudiants qui l’ont suivi. Il est en effet passionnant de pouvoir construire l’intégrale de Lebesgue (et même un peu mieux) en n’utilisant que des méthodes et outils simples de l’analyse réelle en une variable.
Ce texte n’a rien d’original et je me suis abreuvé à de nombreuses sources, que j’ai parfois allègrement pillées. Je pourrais citer le texte écrit par JeanPierre Demailly soimême, beaucoup plus rigoureux et complet, mais plus difficile d’accès, ou encore les livres de Robert Bartle ou de Jean Mahwin, ce dernier ouvrage étant malheureusement indisponible depuis longtemps.
Le style du livre pourra heurter certains lecteurs, en particulier les collègues mathéma ticiens. Je l’ai voulu relativement informel, et ai pris le parti de ne démontrer certains résultats que partiellement (surtout en ce qui concerne les fonctions de plusieurs variables) voire parfois d’en admettre la démonstration. J’ai volontairement limité le chapitre sur les méthodes de calcul explicite d’intégrales, dont l’intérêt me semble faible si l’on ne se lance pas dans des développements poussés, sur le calcul formel par exemple.
J’ai par contre essayé de motiver le plus possible les théorèmes et surtout les défini tions, nos étudiants ne se contentant plus d’ingurgiter sans barguigner les montagnes de victuailles mathématiques dont nous aimerions les gaver. Et c’est tant mieux !
Mes remerciements vont à JeanPierre Demailly, à Bernard Coupet qui m’a encouragé à enseigner ainsi l’intégrale, et à tous les collègues qui m’ont, parfois à l’insu de leur plein gré, aidé à rédiger ce texte. Je remercie tout particulièrement Peter Haïssinski, Pierre Liardet, JeanPaul Mohsen, Christophe Pittet, Stéphane Rigat et Hamish Short pour leur relecture de versions préliminaires du manuscrit.
VI
Petit traité d’intégration
Je me dois enfin de remercier les lecteurs désignés par les éditions Grenoble Sciences qui ont fait un formidable travail permettant de grandement améliorer le texte, ainsi que toute l’équipe de cette maison d’édition pour la qualité de son écoute au service des auteurs. Et un grand merci à Léon la Migraine, du CDO.
JeanYves Briend
Introduction
Table
des
matières
Partie I – Intégration des fonctions d’une variable réelle
Chapitre 1 – Quelques rappels d’analyse 1.1. Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Complétude deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Topologie deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1.4. Continuité et continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1.5. Dérivabilité et inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Modes de convergence des suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Appendice : les nombres réels d’Eudoxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 2 – Des aires aux primitives, etvice versa 2.1. Intégrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Appendice : calcul numérique d’une primitive par la méthode d’Euler . . . . . . .
Chapitre 3 – Fonctions intégrables, intégrale 3.1. Le lemme de Cousin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Premiers exemples de fonctions intégrables, intégrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3.3.1. Fonctions constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3.3.3. Fonctions intégrables au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Deux fonctions non bornées, intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7 7 9 10 12 13 15 17
23 23 25 28
33 33 36
37 37 37 38 40
VIII
Petit traité d’intégration
3.4. Manipulations de jauges et de subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Coupagecollage d’une subdivision le long de ses points de marquage . . 3.4.2. Forçage des points de marquage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3.4.3. Application : les fonctions en escalier sont intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Appendice : utilisation des jauges en analyse réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4 – Propriétés élémentaires de l’intégrale 4.1. Critère de Cauchy, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4.2. L’intégrale comme forme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4.3. La relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Inégalités de CauchySchwarz, Hölder et Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Appendice : méthodes numériques de calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 5 – Intégrales et primitives 5.1. Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Quelques méthodes pratiques de calcul d’intégrales et de primitives . . . . . . . . . 5.2.1. Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Applications de la formule d’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Applications de la formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Appendice : irrationalité deeet deπ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 6 – Intégrales impropres 6.1. Intégrabilité et intégrale sur[a,+[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Extension de quelques théorèmes aux intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Appendice : preuve du théorème de Hake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
Partie II – Intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence et séries de Fourier
Chapitre 7 – Ensembles de mesure nulle et notion de « presque partout » 7.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Intégrale et ensembles de mesure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7.3. L’ensemble triadique de Cantor et l’escalier du diable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Appendice : lemme de Vitali, application à la mesure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Lemme de Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Mesure nulle et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
41 41 41 42 43
49 49 52 53 55 56
61 61 64 64 64 69 71 72
77 77 79 80 83
87 87 88 90 93 94 97
Table des matières
IX
Chapitre 8 – Les théorèmes de convergence. Applications 101 8.1. Le lemme de Henstock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2. Fonctions Lebesgueintégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 104 8.3. Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 107 8.4. Intégrales dépendant d’un paramètre et dérivation sous le signe somme . . . . . 111 8.5. Appendice : le théorème de dérivation de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Chapitre 9 – Séries de Fourier 117 9.1. L’équation des cordes vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 118 9.2. Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 123 9.2.1. Coefficients et série de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.2.2. Décroissance rapide des coefficients de Fourier des fonctions régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 126 9.2.3. Le lemme de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 127 9.2.4. Le noyau de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2.5. Application : calcul d’une somme de nature arithmétique . . . . . . . . . . . . . . 133 9.3. Appendice : convergence uniforme de la série de Fourier d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Partie III – Intégration des fonctions de plusieurs variables réelles et espaces de Lebesgue
Chapitre 10 – Intégration des fonctions de plusieurs variables 141 10.1. Pavés, subdivisions, sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.2. Intégration sur un ouvert quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 144 d 10.3. Extension des résultats vrais dansRau cas deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.4. Les théorèmes de Fubini et de Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 148 10.5. La formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 153 10.5.1. Prélude : le cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 154 10.5.2. Fugue : le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 155 10.6. La formule de GreenRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 159 10.6.1. Chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.6.2. Domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.6.3.1formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 10.6.4. Intégration sur un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 165 10.6.5. La formule de GreenRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 10.6.6. La formule de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 170
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