Physique et outils mathématiques méthodes et exemples

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Fonctions de réponse, relations de Kramers-Kronig, fonctions de Green, méthode du col, autant de méthodes et d'outils mathématiques omniprésents en physique et en sciences de l'ingénieur qui sont mis à l'honneur par cet ouvrage.
La présentation privilégie arguments et interprétations physiques sans pour autant perdre la rigueur indispensable. Des introductions synthétiques en décrivent les caractéristiques essentielles, établissant ainsi connexions et analogies entre différents domaines. Elles sont complétées d'une vingtaine d'applications portant sur des domaines variés de la physique (électromagnétisme, hydrodynamique, physique statistique, mécanique quantique) qui sont traitées en détail, et accompagnées d'exercices avec des éléments de solution.
La lecture autonome de l'ouvrage est facilitée par une présentation pédagogique évitant les développements trop techniques, ainsi que par la description schématique d'outils importants en annexe. Le public concerné comprend naturellement les étudiants physiciens en Master ou en Doctorat, quelle que soit leur spécialité. Cet ouvrage étant également conçu comme un manuel, il s'adresse aussi aux chercheurs, enseignants, élèves ingénieurs et ingénieurs.
Publié le : lundi 3 décembre 2012
Lecture(s) : 34
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782759803231
Nombre de pages : 406
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S A V O I R S
P H Y S I Q U E
A C T U E L S
PHYSIQUE ETOUTILS MATHÉMATIQUES MÉTHODES ET EXEMPLES
ANGEL ALASTUEY MARC MAGRO PIERRE PUJOL
CNRS ÉDITIONS
Extrait de la publication
Angel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol
Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences / CNRS Éditions Extrait de la publication
Imprimé en France.
c2008,EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtaboeuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili-sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’oeuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBNEDP Sciences 978-2-7598-0043-8
Extrait de la publication
Table
des
Liste des exercices
Préface
Avant-propos
Introduction
1
2
matières
Réponse linéaire et analyticité 1.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Définition de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Analyticité de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Propriétés de parité et dissipation . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Comportement aux basses et aux grandes fréquences . 1.1.6 Relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Règles de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8 Perturbations inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Admittance d’un circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Absorption et dispersion dans un diélectrique . . . . . . 1.2.3 Écoulement oscillant dans un capillaire . . . . . . . . . 1.2.4 Réponse d’un plasma dans l’approximation de Vlasov . 1.2.5 Conductivité et formule de Kubo . . . . . . . . . . . . 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
ix
xi
xiii
1 3 3 7 8 10 11 13 18 19 21 21 25 31 38 45 54
Fonctions de Green indépendantes du temps 61 2.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.1 Définition et propriétés des fonctions de Green . . . . 63 2.1.2 Point de vue opératoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.3 Opérateur Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.1.4 Opérateur de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.1.5 Opérateurs Laplacien et de Helmholtz en basse dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Extrait de la publication
2.2
A Fonctions d’une variable complexe
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Extrait de la publication
309
305
2.1.6 Opérateurs inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2.1 Origine de la méthode des images . . . . . . . . . . . . 104 2.2.2 Boule en mouvement uniforme dans un fluide . . . . . 107 2.2.3 Densité d’états d’une particule quantique . . . . . . . 113 2.2.4 Diffusion par un potentiel répulsif . . . . . . . . . . . . 119 2.2.5 Modélisation simple du vent soufflant sur un mur . . . 122 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
143 145 145 148 155 165 177 181 199 199 203 209 215 221 227 236
301
Fonctions de Green dépendantes du temps 3.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Fonctions de Green et causalité . . . . . . . . . . . 3.1.2 Opérateurs à variables séparables . . . . . . . . . . 3.1.3 Équation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Équation de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Diffusion dans un segment . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Émission d’ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Front d’onde en régime supersonique . . . . . . . . 3.2.5 Sur l’instantanéité de la propagation de la chaleur . 3.2.6 Polarisabilité de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
Méthode du Col 245 4.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.1.1 Intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.1.2 Intégrale sur un chemin du plan complexe . . . . . . . 254 4.1.3 Cas d’une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . 262 4.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 4.2.1 Formule de Stirling et facteur d’indiscernabilité . . . . 267 4.2.2 Équivalence des ensembles canonique et micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 4.2.3 Cristal harmonique à basse température . . . . . . . . 275 4.2.4 Modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.2.5 Approximation semi-classique . . . . . . . . . . . . . . 287 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Transformée de Laplace
C
iv
4
B
3
2.3
Opérateurs différentiels à une variable
Table des matières
D Espaces de Hilbert et notation de Dirac
E
F
Calcul d’intégrales gaussiennes
Généralités sur les transformations de coordonnées
G Harmoniques sphériques
H Dérivée fonctionnelle
I
J
Fonctions de Green usuelles
Solutions des exercices
K Références bibliographiques
Bibliographie
Index
Extrait de la publication
v
313
317
323
327
331
333
337
377
381
387
Liste
des
exercices
Chapitre premier : pages 54-58
1. Fonctions de réponse associées à des opérateurs linéaires 2. Fonction de réponse d’un circuit RLC 3. Particule brownienne chargée 4. Raie d’absorption 5. Application des relations de Kramers-Kronig en astrophysique 6. Règles de somme 7. Réponse à un bruit 8. Relations de Kramers-Kronig pour un métal 9. Propagation des signaux dans les milieux diélectriques
Chapitre 2 : pages 128-141
1. Fonction de GreenGdu Laplacien en 3d 2. Fonction de GreenGdu Laplacien en dimensiond3 3. Fonctions de Green du Laplacien en 1d et 2d 4. Symétrie des fonctions de Green du Laplacien avec C.L. de Dirichlet homogènes 5. Fonctions de Green de Neumann spéciales du Laplacien 6. Règles de somme et résolvante 7. Plan conducteur 8. Fonctions de Green du Laplacien en coordonnées sphériques 9. Charge ponctuelle dans une sphère conductrice 10. Charge ponctuelle et sphère diélectrique 11. Fonction de GreenGdu Laplacien en coordonnées cylindriques 12. Tenseur d’Oseen 13. Fonction de Green en théorie de l’élasticité 14. Laplacien discret et réseau de résistances 15. Méthode des images pour un problème bidimensionnel
Extrait de la publication
viii
Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
16. Hangar semi-cylindrique soumis au vent 17. Opérateur de Dirac 18. Avance du périhélie de Mercure 19. Oscillateur harmonique en présence d’une impureté
Chapitre 3 : pages 236-242
1. Unicité des solutions des équations de diffusion et de d’Alembert 2. Relations de réciprocité 3. Équation pour les câbles longs 4. Conditions de Neumann en théorie de la diffraction 5. Fonction de Green du d’Alembertien en dimension2 + 1 6. Fonction de Green du d’Alembertien en dimension1 + 1 7. Fonction de GreenGdu Laplacien en dimensiond3 8. Diffusion de la chaleur dans une boule 9. Des conditions de Dirichlet aux conditions de Robin 10. Conditions de Robin pour l’équation de la chaleur 11. Équation de Cattaneo en 3d 12. Équation de Klein-Gordon
Chapitre 4 : pages 294-298
1. Comportement asymptotique de la fonction de BesselJ0 2. Coefficients du binôme 3. Forme aymptotique de la fonction de Green de Helmholtz 4. Ensemble isotherme-isobare 5. Évolution d’un paquet d’ondes et vitesse de groupe 6. De la fonction de Green de Cattaneo à celle de l’équation de diffusion 7. Modèle d’Ising avec des interactions à longue portée 8. Marche aléatoire de Bernoulli 9. Oscillateur harmonique et théorie des nombres
Préface
L’enseignement des outils mathématiques nécessaires en physique est une tâche difficile. Bien qu’il existe de nombreux cours de mathématiques pour physiciens, dont certains sous la plume d’auteurs célèbres, ceux-ci ne sus-citent en général pas l’enthousiasme des étudiants. Certains rechignent en effet à s’imposer le minimum de rigueur mathématique nécessaire, alors que les autres, n’ayant peut-être pas su choisir une voie la plus conforme à leurs goûts, souhaitent un enseignement toujours plus formel. Comme dans beau-coup d’autres sujets « à l’interface », il n’est donc pas rare que l’on aboutisse à un résultat qui n’intéresse aucune des deux parties en présence. Ce livre a le grand mérite d’éviter cet écueil en présentant divers outils mathématiques dans le contexte des problèmes de physique, qui bien souvent, en ont motivé l’invention. Ainsi, par exemple, les fonctions analytiques ne sont pas abor-dées comme une construction mathématique abstraite, isolée de tout autre contexte et dont on découvrirait dans un second temps les nombreuses ap-plications potentielles. Au contraire, elles apparaissent naturellement comme motivées par le problème de la réponse linéaire, permettant de trouver des relations sur les susceptibilités d’un système physique et d’appréhender les conséquences des relations de causalité. Les fonctions de Green ou la mé-thode du col sont présentées en insistant sur la diversité de leurs applications, en soulignant ainsi les relations entre divers domaines de la physique, souvent présentés de façon isolée. Cette approche permet de dégager les concepts com-muns à ces différents domaines ainsi que les mécanismes généraux essentiels. J’ai eu l’occasion d’assister au développement initial de ce cours dans le cadre du DEA « Physique statistique et phénomènes non linéaires de l’ENS Lyon ». J’ai pu alors constater son succès, qui a largement dépassé le cadre du DEA en attirant de nombreux étudiants des maîtrises de mathématiques et de phy-sique ainsi qu’une bonne partie des chercheurs du laboratoire de physique. Je souhaite à ce livre un succès comparable.
Extrait de la publication
StephanFauve
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