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S A V O I R S
P H Y S I Q U E
A C T U E L S
PHYSIQUE ETOUTILS MATHÉMATIQUES MÉTHODES ET EXEMPLES
ANGEL ALASTUEY MARC MAGRO PIERRE PUJOL
CNRS ÉDITIONS
Angel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol
Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences / CNRS Éditions
Imprimé en France.
c2008,EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtaboeuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili-sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’oeuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBNEDP Sciences 978-2-7598-0043-8
Table
des
Liste des exercices
Préface
Avant-propos
Introduction
1
2
matières
Réponse linéaire et analyticité Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Définition de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Analyticité de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Propriétés de parité et dissipation . . . . . . . . . . . 1.1.5 Comportement aux basses et aux grandes fréquences 1.1.6 Relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Règles de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8 Perturbations inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Admittance d’un circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Absorption et dispersion dans un diélectrique . . . . . 1.2.3 Écoulement oscillant dans un capillaire . . . . . . . . 1.2.4 Réponse d’un plasma dans l’approximation de Vlasov 1.2.5 Conductivité et formule de Kubo . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 1.2 1.3
. . . . . . . . . . . . . . . .
vii
ix
xi
xiii
1 3 3 7 8 10 11 13 18 19 21 21 25 31 38 45 54
Fonctions de Green indépendantes du temps 61 2.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.1 Définition et propriétés des fonctions de Green . . . . 63 2.1.2 Point de vue opératoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.3 Opérateur Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.1.4 Opérateur de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.1.5 Opérateurs Laplacien et de Helmholtz en basse dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
iv
3
4
2.2
2.3
Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
2.1.6 Opérateurs inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Origine de la méthode des images . . . . . . . . . . 2.2.2 Boule en mouvement uniforme dans un fluide . . . 2.2.3 Densité d’états d’une particule quantique . . . . . 2.2.4 Diffusion par un potentiel répulsif . . . . . . . . . . 2.2.5 Modélisation simple du vent soufflant sur un mur . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions de Green dépendantes du temps Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Fonctions de Green et causalité . . . . 3.1.2 Opérateurs à variables séparables . . . 3.1.3 Équation de diffusion . . . . . . . . . . 3.1.4 Équation de Schrödinger . . . . . . . . 3.1.5 Équation de Bloch . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Équation de d’Alembert . . . . . . . . Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Diffusion dans un segment . . . . . . . 3.2.2 Diffraction de Fraunhofer . . . . . . . 3.2.3 Émission d’ondes sonores . . . . . . . 3.2.4 Front d’onde en régime supersonique .
3.1 3.2 3.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Sur l’instantanéité de la propagation de la chaleur . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Polarisabilité de l’atome d’hydrogène . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode du Col 4.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Intégrale sur un chemin du plan complexe . . . . 4.1.3 Cas d’une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . 4.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Formule de Stirling et facteur d’indiscernabilité . 4.2.2 Équivalence des ensembles canonique et micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Cristal harmonique à basse température . . . . . 4.2.4 Modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Approximation semi-classique . . . . . . . . . . . 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Fonctions d’une variable complexe
B
C
Transformée de Laplace
Opérateurs différentiels à une variable
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . 97 . . 104 . . 104 . . 107 . . 11 3 . . 119 . . 122 . . 128
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
143 145 145 148 155 165 177 181 199 199 203 209 215 221 227 236
245 . . 247 . . 247 . . 254 . . 262 . . 267 . . 267 . . 270 . . 275 . . 280 . . 287 . . 294
301
305
309
Table des matières
D Espaces de Hilbert et notation de Dirac
E
F
Calcul d’intégrales gaussiennes
Généralités sur les transformations de coordonnées
G Harmoniques sphériques
H Dérivée fonctionnelle
I
J
Fonctions de Green usuelles
Solutions des exercices
K Références bibliographiques
Bibliographie
Index
v
313
317
323
327
331
333
337
377
381
387
Liste
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
des
exercices
Chapitre premier : pages 54-58
Fonctions de réponse associées à des opérateurs linéaires Fonction de réponse d’un circuit RLC Particule brownienne chargée Raie d’absorption Application des relations de Kramers-Kronig en astrophysique Règles de somme Réponse à un bruit Relations de Kramers-Kronig pour un métal Propagation des signaux dans les milieux diélectriques
Chapitre 2 : pages 128-141
Fonction de GreenGdu Laplacien en 3d Fonction de GreenGdu Laplacien en dimensiond3 Fonctions de Green du Laplacien en 1d et 2d Symétrie des fonctions de Green du Laplacien avec C.L. de Dirichlet homogènes Fonctions de Green de Neumann spéciales du Laplacien Règles de somme et résolvante Plan conducteur Fonctions de Green du Laplacien en coordonnées sphériques Charge ponctuelle dans une sphère conductrice Charge ponctuelle et sphère diélectrique Fonction de GreenGdu Laplacien en coordonnées cylindriques Tenseur d’Oseen Fonction de Green en théorie de l’élasticité Laplacien discret et réseau de résistances Méthode des images pour un problème bidimensionnel
viii
Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
16. Hangar semi-cylindrique soumis au vent 17. Opérateur de Dirac 18. Avance du périhélie de Mercure 19. Oscillateur harmonique en présence d’une impureté
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Chapitre 3 : pages 236-242
Unicité des solutions des équations de diffusion et de d’Alembert Relations de réciprocité Équation pour les câbles longs Conditions de Neumann en théorie de la diffraction Fonction de Green du d’Alembertien en dimension2 + 1 Fonction de Green du d’Alembertien en dimension1 + 1 Fonction de GreenGdu Laplacien en dimensiond3 Diffusion de la chaleur dans une boule Des conditions de Dirichlet aux conditions de Robin Conditions de Robin pour l’équation de la chaleur Équation de Cattaneo en 3d Équation de Klein-Gordon
Chapitre 4 : pages 294-298
Comportement asymptotique de la fonction de BesselJ0 Coefficients du binôme Forme aymptotique de la fonction de Green de Helmholtz Ensemble isotherme-isobare Évolution d’un paquet d’ondes et vitesse de groupe De la fonction de Green de Cattaneo à celle de l’équation de diffusion Modèle d’Ising avec des interactions à longue portée Marche aléatoire de Bernoulli Oscillateur harmonique et théorie des nombres
Préface
L’enseignement des outils mathématiques nécessaires en physique est une tâche difficile. Bien qu’il existe de nombreux cours de mathématiques pour physiciens, dont certains sous la plume d’auteurs célèbres, ceux-ci ne sus-citent en général pas l’enthousiasme des étudiants. Certains rechignent en effet à s’imposer le minimum de rigueur mathématique nécessaire, alors que les autres, n’ayant peut-être pas su choisir une voie la plus conforme à leurs goûts, souhaitent un enseignement toujours plus formel. Comme dans beau-coup d’autres sujets « à l’interface », il n’est donc pas rare que l’on aboutisse à un résultat qui n’intéresse aucune des deux parties en présence. Ce livre a le grand mérite d’éviter cet écueil en présentant divers outils mathématiques dans le contexte des problèmes de physique, qui bien souvent, en ont motivé l’invention. Ainsi, par exemple, les fonctions analytiques ne sont pas abor-dées comme une construction mathématique abstraite, isolée de tout autre contexte et dont on découvrirait dans un second temps les nombreuses ap-plications potentielles. Au contraire, elles apparaissent naturellement comme motivées par le problème de la réponse linéaire, permettant de trouver des relations sur les susceptibilités d’un système physique et d’appréhender les conséquences des relations de causalité. Les fonctions de Green ou la mé-thode du col sont présentées en insistant sur la diversité de leurs applications, en soulignant ainsi les relations entre divers domaines de la physique, souvent présentés de façon isolée. Cette approche permet de dégager les concepts com-muns à ces différents domaines ainsi que les mécanismes généraux essentiels. J’ai eu l’occasion d’assister au développement initial de ce cours dans le cadre du DEA « Physique statistique et phénomènes non linéaires de l’ENS Lyon ». J’ai pu alors constater son succès, qui a largement dépassé le cadre du DEA en attirant de nombreux étudiants des maîtrises de mathématiques et de phy-sique ainsi qu’une bonne partie des chercheurs du laboratoire de physique. Je souhaite à ce livre un succès comparable.
StephanFauve
Un pour Un
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