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Relativité restreinte - Des particules à l’astrophysique

De
804 pages
La théorie quantique des champs, la physique des particules, l'astrophysique des hautes énergies, etc. sont autant de domaines de la physique moderne qui s'appuient sur la relativité restreinte. Celle-ci est ici présentée en adoptant directement un point de vue quadridimensionnel, c'est-à-dire en passant par l'espace-temps de Minkowski.
Ce livre scientifique a ceci de particulier qu'il ne se limite pas aux référentiels inertiels et considère des observateurs accélérés ou en rotation. Cela permet de discuter simplement et de manière rigoureuse d'effets physiques tels que la précession de Thomas ou l'effet Sagnac. Les derniers chapitres abordent des aspects plus avancés : champs tensoriels, calcul extérieur, hydrodynamique relativiste et traitement de la gravitation.
Illustré et agrémenté de nombreuses notes historiques, cet ouvrage fait une part belle aux applications, de la physique des particules (accélérateurs, collisions de particules, plasma quark-gluon) à l'astrophysique (jets relativistes, noyaux actifs de galaxie), en passant par les applications pratiques (gyromètres à effet Sagnac, rayonnement synchrotron, GPS). Le livre contient également des développements mathématiques tels que l'analyse détaillée du groupe de Lorentz et de son algèbre de Lie. Ce livre scientifique s'adresse aux étudiants en dernière année de licence de physique (L3) ou en master (M1 et M2), ainsi qu'aux chercheurs et à toute personne intéressée par la relativité. Sa lecture facilitera également l'apprentissage de la relativité générale, en raison de l'approche géométrique adoptée.
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S A V O I R S
P H Y S I Q U E
A C T U E L S
RELATIVITÉ RESTREINTE DES PARTICULES À L’ASTROPHYSIQUE
ÉRIC GOURGOULHON
CNRS ÉDITIONS
Éric Gourgoulhon
Relativité restreinte
Des particules à l’astrophysique
S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS
Illustration de couverture: Cône de lumière et espace local de repos en un point d’une ligne d’univers.
Imprimé en France.
c2010, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili-sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBNEDP Sciences 978-2-7598-0067-4 ISBNCNRSÉditions978-2-271-07018-0
À Valérie et Maxime
matières
Avant-propos
1
Préface
des
xix
Table
L’espace-temps de Minkowski Les quatre dimensions . . . . . . . . . . . . 1.1.1 L’espace-temps comme espace affine 1.1.2 Quelques notations . . . . . . . . . . 1.1.3 Système de coordonnées affines . . . 1.1.4 Constantec. . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 L’espace-temps newtonien . . . . . . Le tenseur métrique . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Produit scalaire sur l’espace-temps . 1.2.2 Matrice du tenseur métrique . . . . 1.2.3 Bases orthonormales . . . . . . . . . 1.2.4 Genre des vecteurs . . . . . . . . . . 1.2.5 Norme d’un vecteur . . . . . . . . . 1.2.6 Diagrammes d’espace-temps . . . . . Cône isotrope et flèche du temps . . . . . . 1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Deux petits lemmes bien utiles . . . 1.3.3 Classification des vecteurs unitaires . Orientation de l’espace-temps . . . . . . . . 1.4.1 Notion d’orientation . . . . . . . . . 1.4.2 Le tenseur de Levi-Civita . . . . . . Dualité vecteurs-formes linéaires . . . . . . 1.5.1 Formes linéaires et espace dual . . . 1.5.2 Dualité métrique . . . . . . . . . . . Bilan : l’espace-temps de Minkowski . . . . Avant d’aller plus loin... . . . . . . . . . . .
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
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xxi
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1 2 2 3 4 5 5 6 7 9 10 11 11 12 15 15 16 1 7 18 18 19 21 21 22 24 26
vi
2
3
Relativité restreinte
Lignes d’univers et temps propre Ligne d’univers d’un point matériel . . . . . . . . . . . Temps propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Horloges idéales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadrivitesse et quadriaccélération . . . . . . . . . . . 2.3.1 Quadrivitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Quadriaccélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Géodésiques lumière . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Cône de lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . Voyageur de Langevin et paradoxe des jumeaux . . . . 2.5.1 Lignes d’univers des jumeaux . . . . . . . . . . 2.5.2 Temps propre de chaque jumeau . . . . . . . . 2.5.3 4-vitesse et 4-accélération . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Un aller-retour vers le centre de la Galaxie . . 2.5.5 Vérifications expérimentales . . . . . . . . . . . Propriétés géométriques d’une ligne d’univers . . . . . 2.6.1 Géodésiques du genre temps . . . . . . . . . . . 2.6.2 Champ de vecteur le long d’une ligne d’univers 2.6.3 Courbure et torsions . . . . . . . . . . . . . . .
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Observateurs 3.1 Simultanéité et mesure du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Critère de simultanéité d’Einstein-Poincaré . . . . . . . 3.1.3 Espace local de repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Inexistence d’un temps absolu . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Projecteur orthogonal sur l’espace local de repos . . . . 3.1.6 Caractère euclidien de l’espace local de repos . . . . . . 3.2 Mesure de distances spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Formule de Synge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Critère de rigidité de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Référentiel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Observateur et son référentiel local . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Coordonnées relatives au référentiel local . . . . . . . . 3.3.3 Espace de référence d’un observateur . . . . . . . . . . . 3.4 Quadrirotation d’un référentiel local . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Variation du référentiel local le long de la ligne d’univers
3.4.2 Décomposition orthogonale des formes bilinéaires antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Application à la variation du référentiel local . . . . . . 3.4.4 Observateurs inertiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Dérivée d’un vecteur le long d’une ligne d’univers . . . . . . . .
29 29 32 32 34 35 35 37 39 39 40 41 41 43 47 51 55 57 57 59 60
65 65 65 66 68 71 73 74 75 75 77 79 79 81 82 83 84
86 88 91 92
Table des matières
4
5
3.6
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
3.5.1 Dérivée absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Dérivée par rapport à un observateur . . . . . . . . . . 3.5.3 Dérivée de Fermi-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . Localité du référentiel d’un observateur . . . . . . . . . . . . .
vii
92 92 93 95
Cinématique 99 Facteur de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.2 Expression en terme de 4-vitesses et 4-accélération . . . 103 4.1.3 Dilatation des temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Vitesse relative à un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.2 4-vitesse et facteur de Lorentz en fonction de la vitesse 108 4.2.3 Vitesse relative maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.4 Expressions en terme de composantes . . . . . . . . . . 112 Vérifications expérimentales de la dilatation des temps . . . . . 113 4.3.1 Muons atmosphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.2 Autres tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Accélération relative à un observateur . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4.2 Relation avec la dérivée seconde du vecteur position . . 116 4.4.3 Expression de la 4-accélération . . . . . . . . . . . . . . 118 Mouvement des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5.1 Direction de propagation d’un photon . . . . . . . . . . 123 4.5.2 Vitesse de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5.3 Vérifications expérimentales de l’invariance de la vitesse de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Changement d’observateur Relations entre deux observateurs . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Réciprocité de la vitesse relative . . . . . . . . . 5.1.2 Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . Loi de composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Décomposition en parties parallèle et transverse . 5.2.3 Cas des vitesses colinéaires . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Formule alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Vérification expérimentale : expérience de Fizeau Loi de composition des accélérations . . . . . . . . . . . Effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Vérifications expérimentales . . . . . . . . . . . . Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Expression théorique . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
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135 135 135 138 141 141 144 147 147 149 151 152 153 156 157 157
viii
6
5.6
Relativité restreinte
5.5.2 Distorsion de la sphère céleste . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Vérifications expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . Images des objets en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Image et position instantanée . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Rotation apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Image d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4 Mouvements superluminiques . . . . . . . . . . . . . . .
Groupe de Lorentz Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Propriétés des transformations de Lorentz . . . . Sous-groupes de O(3,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Groupe de Lorentz propre SO(3,1) . . . . . . . . 6.2.2 Transformations de Lorentz orthochrones . . . . 6.2.3 Transformations de Lorentz restreintes . . . . . . 6.2.4 Réduction du groupe de Lorentz à SOo(3,1). . . Classification des transformations de Lorentz restreintes 6.3.1 Direction lumière invariante . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Décomposition à partir d’une direction lumière invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Rotations spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Transformations de Lorentz spéciales . . . . . . . 6.3.5 Rotations lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.6 Quadrivis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 6.3.7 Vecteurs propres d’une transformation de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.8 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Énoncé et démonstration . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Formes explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compléments sur les transformations de Lorentz spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Expression dans une base générale . . . . . . . . 6.5.3 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composition des transformations spéciales et rotation de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Transformations de même plan . . . . . . . . . . 6.6.2 Rotation de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Expressions de l’angle de la rotation de Thomas 6.6.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161 161 163 163 164 166 169
173 . 174 . 174 . 175 . 176 . 178 . 178 . 178 . 180 . 180 . 182 . 182 . 183 . 187 . 18 9 . 191 . 193 . 194 . 195 . 197 . 197 . 199 . 200 . 200 . 203 . 204 . 207 . 208 . 209 . 211 . 216 . 220
Table des matières
7
8
9
7.1 7.2 7.3 7.4
ix
Le groupe de Lorentz en tant que groupe de Lie 223 Structure de groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.1.2 Dimension de O(3,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.1.3 Topologie de SOo(3,1) et O(3,1) . . . . . . . . . . . . . 225 Générateurs et algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.2.1 Transformations de Lorentz infinitésimales . . . . . . . . 226 7.2.2 Structure d’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.2.3 Générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.2.4 Lien avec la variation du référentiel local d’un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Réduction de O(3,1) à son algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . 233 7.3.1 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.3.2 Génération des transformations de Lorentz spéciales . . 235 7.3.3 Génération des rotations spatiales . . . . . . . . . . . . 238 7.3.4 Constantes de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Liens entre le groupe de Lorentz et SL(2,C) . . . . . . . . . . . 2 42 7.4.1 L’application spineur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.4.2 L’application spineur de SU(2) vers SO(3) . . . . . . . . 247 7.4.3 L’application spineur et les transformations de Lorentz spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.4.4 Revêtement deSOo(3,1). . . . . . . . . . 251par SL(2,C) 7.4.5 Existence de vecteurs propres lumière . . . . . . . . . . 253 7.4.6 Algèbre de Lie de SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.4.7 Application exponentielle sur sl(2,C) . . . . . . . . . . . 257
Observateurs inertiels 8.1 Caractérisation des observateurs inertiels . . . . . . . . . . . 8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Ligne d’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Globalité de l’espace local de repos . . . . . . . . . . 8.1.4 Réseau rigide d’observateurs inertiels . . . . . . . . . 8.2 Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Changement de coordonnées inertielles . . . . . . . . 8.2.2 Transformations de Poincaré actives . . . . . . . . . 8.2.3 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Le groupe de Poincaré en tant que groupe de Lie . .
. . . . . . . . . .
259 . 259 . 259 . 260 . 261 . 262 . 263 . 263 . 265 . 266 . 268
Énergie et impulsion 273 9.1 Quadri-impulsion, masse et énergie . . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.1.1 Quadri-impulsion et masse d’une particule . . . . . . . . 273 9.1.2 Énergie et impulsion relatives à un observateur . . . . . 275 9.1.3 Cas d’une particule massive . . . . . . . . . . . . . . . . 278 9.1.4 Énergie et impulsion d’un photon . . . . . . . . . . . . . 282
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