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S A V O I RS
MATHÉMATIQUES
A C T U E L S
THÉORIE ERGODIQUE  ET SYSTÈMES  DYNAMIQUES
YVES COUDÈNE
CNRS ÉDITIONS
Yves Coudène
Théorie ergodique et systèmes dynamiques
S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS
Y. Coudène Département de mathématiques Université de Bretagne Occidentale 6 avenue Le Gorgeu 29238 Brest Cedex 3 France Email : yves.coudene@univbrest.fr
Illustration de couverture: Un attracteur dérivé d’Anosov, étudié au chapitre 9.
Imprimé en France.
c2012, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 1224, L. 1225 et L. 3352 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBNEDP Sciences 9782759807604 ISBNCNRSÉditions9782271076038
TABLE DES MATIÈRES
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie I.
Théorie ergodique
1
1. Théorème ergodique en moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Théorème ergodique en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Application à la mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Théorème ergodique presque partout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Théorème ergodique ponctuel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Ergodicité du décalage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Définition du mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Exemple de la multiplication par2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Exemple du décalage de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Exemple des endomorphismes des tores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 31 32 33 34 34 37 38
4. L’argument de Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 41 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Feuilletage stable et fonctions invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Application aux automorphismes du tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4. Flots sur les quotients dePSL2(R)46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iv
TABLE DES MATIÈRES
Partie II.
Systèmes dynamiques
5. Dynamique topologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2. Transitivité et mélange topologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3. Points récurrents et ensemble non errant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6. Nonerrance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2. Nonerrance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3. Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4. Graphe associé à la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7. Conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Conjugaison et semiconjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Fonctions elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Les exemples de Schröder (1871). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75 75 76 78 79 79 82 83
8. Linéarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2. Le théorème du point fixe hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3. Théorème de linéarisation, cas lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4. Théorème de linéarisation, cas différentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9. Un attracteur étrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2. Perturbation d’un automorphisme du tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3. Étude de la dynamique perturbée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4. Transitivité et mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
TABLE DES MATIÈRES
Partie III.
Théorie de l’entropie
v
10. Entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2. Définition de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3. Propriétés de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4. Partitions génératrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5. Entropie et isomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11. Entropie et théorie de l’information. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2. La notion d’information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3. Le jeu des questions et des réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4. Information et chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5. Interprétation dans le cadre dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12. Calculs d’entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 131 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2. Formule de Rokhlin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3. Entropie des décalages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4. Entropie des applications dilatantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Partie IV.
Décomposition ergodique
13. Espaces de Lebesgue et isomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2. Isomorphisme mesurable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3. Espace de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4. Théorème de StoneWeierstraß mesurable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14. Décomposition ergodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2. Désintégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3. Décomposition ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
vi
TABLE DES MATIÈRES
15. Partitions mesurables etσalgèbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2. Partitions mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Algèbre associée à une partition 4. Partition associée à uneσ167algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Facteurs et partitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170. . . . . Algèbres et algèbres de fonctions 7. Correspondance de Rokhlin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Partie V.
Annexes
A. Convergence faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 177 1. Convergence dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2. Compacité séquentielle faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3. Fermés convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B. Espérance conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 1. Définition de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2. Propriétés de l’espérance conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 2 3. Théorème de convergenceLdes martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C. Topologie et mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 1. Séparabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2. Support d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 p 3. Densité dans les espacesL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4. Régularité intérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 191
Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
Index des auteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
Index terminologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
INTRODUCTION
Mais malheur à l’auteur qui veut toujours instruire ! Le secret d’ennuyer est celui de tout dire. Voltaire (1694–1778)
Ces notes sont issues d’un cours de Master 2 donné à l’université de Rennes 1 pendant la période 2005–2008. Il s’agissait d’un cours d’introduc tion à la théorie ergodique et aux systèmes dynamiques ; le but était de présenter quelques idées générales qui sont à la base de ces deux théories, avant que les étudiants ne se spécialisent en suivant des cours plus appro fondis.
Le cours était composé de douze séances de deux heures chacune ; il m’a paru judicieux de focaliser chaque séance sur un concept particulier et de faire en sorte que les différentes séances soient largement indépendantes entre elles. De fait, le matériel présenté est à l’intersection de théories ma thématiques très diverses et l’auditoire intéressé par le sujet est souvent composé d’étudiants et de chercheurs d’horizons très différents : probabi listes, dynamiciens, géomètres, physiciens, etc.
Chaque chapitre commence par une présentation informelle des concepts et des problèmes que l’on cherche à résoudre. Viennent ensuite les définitions rigoureuses et les démonstrations, que l’on a cherché à illustrer par des exemples à la fois simples et pertinents. Les figures forgent l’intuition du lecteur tandis que les exercices lui permettent de tester sa compréhension du sujet. Il m’a semblé intéressant de rajouter quelques commentaires à la fin de chaque chapitre, afin de remettre le matériel étudié dans son contexte historique, présenter quelques problèmes actuels et orienter le lecteur dans la littérature, en fonction de ses intérêts propres. Ces commentaires sont plutôt destinés à une seconde lecture et supposent une certaine maîtrise des concepts présentés dans ce livre.
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INTRODUCTION
Pour ce qui est du contenu, j’ai voulu insister sur les idées plus que sur les aspects théoriques, sur les exemples plus que sur la technique. Il existe plu sieurs livres présentant les théories générales avec un grand luxe de détails, aussi bien dans le domaine des systèmes dynamiques que dans celui de la théorie ergodique. Ces notes n’ont pas vocation à les remplacer. J’ai donné pour quelques résultats classiques des preuves nouvelles ou inhabituelles, afin d’illustrer certains aspects méconnus du sujet. Ces preuves sont suscep tibles d’intéresser même les chercheurs les plus aguerris. Le lecteur est bien sûr invité à consulter les ouvrages de référence pour prendre connaissance des approches plus classiques, qui sont résumées dans les commentaires. Thèmes abordés Théorie ergodique et systèmes dynamiques sont deux théories qui vont très bien ensemble. La première apporte à la seconde ses résultats quan titatifs les plus remarquables, tandis que la seconde est une pourvoyeuse infatigable d’exemples prompts à infirmer les conjectures les plus chères à la première. Toutes deux nées au début du vingtième siècle, au moins d’un point de vue mathématique et moderne, sous la houlette d’un des géants du siècle, Henri Poincaré (1854–1912), elles ont connu un développement sou tenu jusqu’à aujourd’hui. Les ouvrages qui prétendent rendre compte d’une part non négligeable de ces théories sont susceptibles, de par leur taille et leur style, d’effrayer même les étudiants les plus motivés.
Ce livre a été écrit dans le but d’être accessible au plus grand nombre, de susciter l’intérêt pour un domaine très actif des mathématiques, et peut servir d’introduction à la littérature plus avancée.
Les grands problèmes que l’on cherche à élucider n’ont pas tellement évolué en un siècle. Prenons l’exemple d’une application qui agit sur un cer tain espace de configurationsX. Les points deXreprésentent les différents états que peut prendre le système au cours de son mouvement. Partant d’une configuration initiale donnée par un pointxdeX, les itérés dex correspondent aux états successifs que visite le système au cours de son évolution. Ce livre s’intéresse aux questions suivantes :
Le système repassetil près de son état initial au cours de son évolu tion ?
C’est ce qu’essaient de errance, aussi bien sur le (topologie).
formaliser les concepts de récurrence et de non plan quantitatif (mesure) que sur le plan qualitatif
Estil possible de construire une représentation du système dans laquelle l’évolution prend une forme particulièrement simple à décrire ?
INTRODUCTION
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Les notions de conjugaison locale ou globale, d’isomorphisme, de codage et de modèle symbolique cherchent chacune, à leur façon, à mettre le système sous une forme où l’évolution peut être effectivement calculée. Le système peutil évoluer de manière à se rapprocher d’un état donné a priori, si on le perturbe au cours de son évolution ? Ce thème est prépondérant en dynamique hyperbolique, où l’existence d’in stabilités locales, modélisées par les variétés stables et instables, conduit à un comportement uniforme du système, stable par perturbation. Dans quelle mesure l’évolution du système peutelle être prédite à long terme, ou encore quelle quantité de hasard le système estil susceptible de simuler ? Le concept d’entropie, introduit en 1958 par A. N. Kolmogorov en théorie des systèmes dynamiques, a permis de faire des progrès décisifs sur cette question. Plan de l’ouvrage Les quatre premiers chapitres sont consacrés à des résultats de théorie ergodique (récurrence, ergodicité, mélange), illustrés par des exemples de nature algébrique, mécanique ou probabiliste : flots hamiltoniens, décalages de Bernoulli, automorphismes des tores, flots surSL2(R), etc. On a cherché à mettre en valeur le rôle joué par la topologie faible dans les questions d’ergodicité et de mélange ; les propriétés de cette topologie sont rappe lées en annexe. Le quatrième chapitre présente l’argument de Hopf, un des arguments fameux de la théorie hyperbolique des systèmes dynamiques. Les cinq chapitres suivants sont dédiés à la dynamique des transforma tions, d’un point de vue topologique. On introduit les concepts de non errance, de transitivité et de conjugaison, illustrés par la construction de quelques transformations de type MorseSmale et par l’étude de la dyna mique de quelques polynômes (exemples de Schröder). Le théorème de li néarisation de HartmanGrobman permet d’analyser le comportement du système au voisinage de ses points périodiques hyperboliques ; on l’applique à l’étude d’un système obtenu par perturbation d’un automorphisme du tore (dit dérivé d’Anosov). Trois chapitres sont consacrés à l’entropie. On démontre le théorème de KolmogorovSinaï sur les partitions génératrices. Comme application, on calcule l’entropie des applications dilatantes (formule de Rokhlin) et de quelques applications de l’intervalle. Un chapitre est consacré à l’interpré tation de l’entropie en théorie de l’information. Les notions d’espace de Lebesgue et de décomposition ergodique sont étudiées dans les trois derniers chapitres. Ces notions importantes sont ra rement traitées en détail dans la littérature. L’objectif de ces chapitres est